高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型-含详解

高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型.含详解

直线和圆锥曲线常考题型与经典结论

圆

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直

径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若PO(xO,yO)在椭圆6.

若PO(xO,yO)在椭圆

xaxa

2222

yby

2222

1±,则过P0的椭圆的切线方程是

xOxa

2

yOyb

2

1.

点弦P1P2的直线方程是7.椭圆

xa

22

b

xOx

a

2

1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为Pl、P2,则切

yOyb

2

1.

yb

22

1(a>b>0)的左右焦点分别为Fl,F2,点P为椭圆上任意一点

2

F1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan

2

8.椭圆

x

22

ab

|MF1|aexO,|MF2|aexO(Fl(c,0),F2(c,O)M(xO,y0)).

y

22

1(a>b>0)的焦半径公式：

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP

I

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFLNF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Al,A2为椭圆长轴上的顶点，A1P

A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF_LNF,11.AB是椭圆

kOMk

xa

2222

yb

22

1的不平行于对称轴的弦，M(xO,yO)为AB的中点，则

AB

ba

22

，。

xa

22

即KAB

bxOayO

12.若PO(xO,yO)在椭圆

xOxa

2

yb

22

1内，则被P。所平分的中点弦的方程是

yOyb

2

xOa

2

2

yOb

2

2

,xa

22

13.若PO(xO,yO)在椭圆

yb

22

1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是xa

22

yb

22

xOxa

2

yOyb

2

双曲线

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2.PT平分aPFlF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴

为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:

P在左支)

5.若P0(x0,y0)在双曲线

是

xOxa

2

xa

22

yb

22

1(a>O,b>O)上，则过PO的双曲线的切线方程

yOyb

2

1.

6.若PO(xO,yO)在双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切

xOxa

2

线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是7.双曲线

xa

22

yOyb

2

1.

yb

22

1(a>0,b>o)的左右焦点分别为Fl,F2,点P为双曲线上任意

2

一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SFPFbcot

1

2

2

8.双曲线

xa

22

b

当M(xO,yO)在右支上时，|MF1|exOa,|MF2exOa.

y

22

1(a>0,b>o)的焦半径公式:(Fl(c.O),F2(c,0)

当M(xO,yO)在左支上时，|MF11exOa,MF2|exOa

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，则MFLNF.10.过双曲

线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,Al、A2为双曲线实轴上的顶

点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,贝MF_LNF.11.AB是双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(xO,yO)为AB

bxOayO

22

的中点，则KOMKAB12.若PO(xO,yO)在双曲线

程是

xOxa

2

,E|JKAB

bxOayO

2

2

xa

22

2

yb

22

1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方

yOyb

2

xOa

2

2

yOb

2.

13.若P0(x0,y0)在双曲线

是xa

22

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程

yb

22

xOxa

2

yOyb

2

椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)

高三数学备课组

椭圆

1.椭圆

xa

22

yb

22

1(a>b>o)的两个顶点为Al(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直

xa

22

线交椭圆于Pl、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2.过椭圆

xa

22

yb

22

1.

yb

22

1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线

bxOayO

22

交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC

xa

22

(常数).

3.若P为椭圆

yb

22

1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fl,F2是焦点，

acac

PF1F2,PF2F1,则

tan

2

cot

2

4.设椭圆

xa

22

yb

22

1(a>b>0)的两个焦点为Fl、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上

任意一点，在aPFlF2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P,则有

sinsinsin

xa

22

ca

e.

5.若椭圆

yb

22

1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fl、F2,左准线为L,则当0

<e

c

1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.

P为椭圆

xa

22

yb

22

1(a>b>0)上任一点,Fl,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

则2aAF2|PA||PF1|2a|AFI|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7.椭圆

2

2

(xxO)a

22

2

2

(yyO)

b

22

2

2

1与直线AxByC0有公共点的充要条件是

2

AaBb(AxOByOC).

8.已知椭圆

xa

22

yb

,0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且1(a>b>0)1

1

22

;22;(2)|OP|+10Q|的最大值为20P0Q.(1)222

ab|OP||0Q|ab(3)SOPQ的最小值是9.过椭圆

xa

22

11

22

4ab

22

ab

2

2

ab

yb

22

1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

|PF|MN|

e2

MN的垂直平分线交x轴于P,则10.J知椭圆

xa

22

yb

22

1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平

aba

2

2

分线与x轴相交于点P(xO,O),则

xa

22

xO

aba

22

11.设p点是椭圆

yb

22

1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fl、F2为其焦点

记F1PF2,则⑴|PF1||PF2|

X

22

2b

2

1cos

.(2)SPFFbtan

1

2

2

2

12.设A、B是椭圆

ab

PAB,PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2abcosaccos

2

2

2

2

y

22

1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

⑴PA|

.(2)tantan1e.(3)SPAB

2

2ab

2

222

ba

cot.

13.已知椭圆

xa

22

yb

22

的右准线1与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F1（a>b>0）

的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线1上，且BCx轴，则直线AC经过线段

EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于-点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e（离心率）.

（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中，半

焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1.双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的两个顶点为Al(a,0),A2(a,0),与y轴

xa

22

平行的直线交双曲线于Pl、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2.过双曲线

xa

22

yb

22

yb

22

上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补1(a>0,b>o)

bxOayO

22

的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC

22

(常数).

3.若P为双曲线

F

yb

22

1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,Fl,

caca

2

是焦点，PF1F2,PF2F1,则

tata

co(或

22

caca

co).

22

4.设双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的两个焦点为Fl、F2,P(异于长轴端点)

为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2

PF1F2,F1F2P,则有

sin(sinsin)

ca

e.

5.若双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fl、F2,左准线为L,则当IVe

石

1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.

P为双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)上任一点,Fl,F2为二焦点，A为双曲线内

-定点，则|AF2|2a|PA|PF11,当且仅当A,F2,P三点共线且P和

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

7.双曲线

xa

22

ybx

22

1(a>0,b>0)与直线AxByC0有公共点的充要条

件是A2a2B2b2C2.

22

8.已知双曲线

ab

点，且OPOQ.

1|OP|

2

y

22

,0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动1(b>a>0)

(1)

l|0Q|

2

22

2

la

2

lb

2

；(2)|OP+|OQ|的最小值为

22

4ab

2

222

ba

;(3)SOPQ

的最小值是

ab

2

baxa

22

.yb

22

9.过双曲线1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

|PF|MN|

e2

M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则10.已知双曲线

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的

aba

2

2

垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则x011.设P点是双曲线

xa

22

或x0

aba

22

yb

22

1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,Fl、F2

2b

2

为其焦点记F1PF2,则⑴|PF1||PF2|12.设A、B是双曲线

x

22

1cos

.(2)SPFFbcot

1

2

2

2

ab

一点，PAB,PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距离

y

22

1(a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的

心率，则有⑴|PA

2abcosaccos

2

2

222

,2ab

2

2

22

(2)tantan1e.(3)SPAB

xa

22

ba

cot.

13.已知双曲线

yb

22

1(a>0,b>0)的右准线1与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

交于A、B两点，点C在右准线1上，且BCx

轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

线必与焦半径互相垂直.

16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e（离心率）.

（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情

况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线

来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行

于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组

成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：

（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，

（2）联立直线和曲线的方程组；

（3）讨论类一元二次方程

（4）一元二次方程的判别式

（5）韦达定理，同类坐标变换

（6）同点纵横坐标变换

（7）x,y,k（斜率）的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：

1、中点坐标公式：x点坐标。

xlx2

2

>y

yly2

2

，其中x,y是点A(xl,yl),B(x2,y2)的中

2、弦长公式：若点A(xl,yD,B(x2,y2)在直线ykxb(k0)±,

则ylkxlb,y2kx2b,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,

X2)-+(yt-y2y

2

-x2)+(H;-kx.Y

+/；(册-.丁

AB

2

^(1+k)[(xt+x2y-4.vrv,J

2

^(x,-x2)+(y,-y2)'

Jn(V七一1~丁工厂+(弘一力7厂

VKk

jl+占(-2)，

或者AB

(1+17)[(乂+口)-4%%]

3、两条直线ll:yklxbl,12:yk2xb2垂直：则klk21两条直线垂直，则

直线所在的向量vlv20

4、韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根xl,x2,则

xlx2

ba,xlx2

ca

常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:

x

2

4

y

2

m

1始终有交点，求m的取值范围

思路点拨：直线方程的特点是过定点(0,1),椭圆的特点是过定点(-2,0)和(2,

0),

(0,和动点

且m4O

解：根据直线l：ykx1的方程可知，直线恒过定点（0,1）,椭圆C:

x

2

4

y

2

m

1过动

（0,点且m4,如果直线l:ykx1和椭圆C:

x

2

4

y

2

m

1始终有交点，

则

1,且m4,即1m且m4。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

l:ykx1过定点（0,1）

l：yk（x1）过定点（1,0）

l:y2k（x1）过定点（1,2）

证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以匕三种形式之一，再得出结论。练

习：1、过点P（3,2）和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有（）条。

A.4B.3C.2D.1

分析：作出抛物线yx23x2,判断点P（3,2）相对抛物线的位置。

解：抛物线yx23x2如图，点P（3,2）在抛物线的内部，

根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知

过点P（3,2）和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有一条。故选择D

规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图）

一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切

线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切

线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物

线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有•个公共点的直线有2条：和双曲

线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；

（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切

线，2条和渐近线平行的直线；

（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线

有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；

(4)若定点P在双曲线外且在一条渐近线匕而不在另一条渐近线匕则过点P和双

曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；

(5)若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有•个公共点

的直线不存在。

题型二：弦的垂直平分线问题

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称

轴，用到的知识是：垂直(两直线的斜率之积为T)和平分(中点坐标公式)。

例题2、过点T(7,0)作直线1与曲线N：y2x交于A、B两点，在x轴上是否存在一

点E(x0,0),使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。

分析：过点T(T,0)的直线和曲线N：y2x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等

于0,可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦

达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最

后由

正

2倍。运用弦长公式求弦长。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l：yk(x1),k0,A(xl,yl),B(x2,y2)。

由yk(x1)

yx

222消y整理，得kx(2kl)xk。①22

由直线和抛物线交于两点，得

(2k1)4k4k102242

即0k21

4②2k1

k22由韦达定理，得：xlx2

2,xlx211,

则线段AB的中点为(2k1

2k2,12k)o

线段的垂直平分线方程为：

y1

2k1

k(x

1

2k212k2k1222)12k2令y=0,得xO,则后(12,0)

ABE为正三角形，E(1

2k212,0)到直线AB的距离d

\j\+k1

21H

扃

解得k

此时xO5313满足②式。

思维规律：直线过定点设直线的斜率k,利用韦达定理法，符弦的中点用k表示出来，

再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的

性质：

6

2倍，将k确定，进而求出xO的坐标。

x2

例题3、已知椭圆2y21的左焦点为F,0为坐标原点。

(I)求过点0、F,并且与x2相切的圆的方程；

(11)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与

x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。

分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离

等于圆心到定点的距离：第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和X轴相交，则弦的斜率

存在，且不等于0,设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由

弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，

就可以得到点G的坐标。

解：(I)Va2=2,b2=l,.,.c=l,F(T,0),l:x=-2.

♦.•圆过点0、F,圆心M在直线x=-±21

设M(T

2,t),则圆半径：r=|(-12)-(-2)|=32

由|0M|=r,得(1

2)t

1

22232,解得t=±2,2二所求圆的方程为&+)+«±2)=29

4.

(n)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为

y=k(x+1)(kWO),代入x2

2

2+y2=l,整理得222(l+2k)x+4kx+2k-2=0

•.•直线AB过椭圆的左焦点F,

•••方程一定有两个不等实根，

设A(xLyl),B(x2,y2),AB中点N(xO,yO),则xl+xl=-4k2k221,

xO12(x1x2)2k222k1

k,yOk(xO1)2k12

：.AB垂直平分线NG的方程为

yyOlk(xxO)

令y=0,得

2k

22xCxOkyO

22k11k222k1k

22k11

24k22Vk0,12xc0.

.•.点G横坐标的取值范围为(1

2。,0)

技巧提示：直线过定点设直线的斜率k,利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦

达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第

一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标

(关于k的函数)。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。

练习1：已知椭圆C:x

a22yb221(ab0)过点(1,32),且离心率e1

2。

(I)求椭圆方程；

(H)若直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线

过定点G(,0),求k的取值范围。

分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到a,b的关系式，再根据“过点(l,a,b的第

2个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。32)”得到

第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出k,m的不

等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵

坐标，由中点坐标和定点G(,0),得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率

之81

积为-1,可得k,m的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。

1

2

1

a2解：(I)离心率e32,94bba22211434,即4b3a(1)；222又椭

圆过点(1,),贝IJ

x21,(1)式代入上式，解得a4,b3,椭圆方程为2

4y2

31。

(II)设M(xl,yl),N(x2,y2),弦MN的中点A(xO,yO)

由ykxm

3x4y1222得：(34k)x8mkx4m120,222直线l:ykxm(k0)与椭

圆交于不同的两点，

64mk4(34k)(4m12)0,即m4k(1)

2

2

2

2

22

由韦达定理得：xlx2

8mk34k

2

,xlx2

22

4m1234k

2

2

则xO

4mk3妹

2

,yOkxOm

4mk

34k

m

3m34k

2

f

3m

直线AG的斜率为：KAG

34k4mk3北

2

2

18

24m32mk3妹

2

f

由直线AG和直线MN垂直可得:

24m32mk3妹

120

2

k1,即m

34k8k

2

，代入⑴

式，可得(

34k8k

2

)4k3,即k

222

,则k

10

或k

10

o

老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直

接设直线的方程为：ykxm,再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题

的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与

点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充

分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设Fl、F2分别是椭圆圆交于不同的两点C、

D,使得明理由.分析：由

F2CF2D

x25

y24

1的左右焦点.是否存在过点A(5,0)的直线1与椭

F2CF2D

?若存在，求直线1的方程；若不存在，请说

得，点C、D关于过F2

的直线对称，由直线1过的定点A(5,0)不在

x25y24

1的内部，可以设直线

1的方程为：

yk(x5),联立方程组，得一元二次方

程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M

和点F1的坐标，得斜率为

1k

，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。

解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线1

的方程为：yk(x5),(k0),C(xl,yl)>D(x2,y2),CD的中点M(x0,yO).

4x5y2022得：(45k2)x250k2x125k2200,

又直线1与椭圆交于不同的两点C、D,则=(50k2)24(45k2)(125k220)0,即

0k21

5。50k2

2由韦达定理得：xlx2

xlx2

2

245k,x1x2125k2045k22,则

xO20k45k25k2245k,yOk(xO5)k(25k2245k5)20k45k2,

M(25k2245k,)(.

20k

又点F2(l,0),则直线MF2的斜率为kMF225k,2225kl5k1245k

根据CDMF2得：kMFk1,即25k2215k1,此方程无解，即k不存在，也就

是不存在满足条件的直线。

老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即

对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程(或类一元

二次方程)，通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关

系，得出斜率之积为T,或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方

程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。

题型三：动弦过定点的问题

圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关

系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实

现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨

后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让

我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

例题4、已知椭圆C：

Al(-2,0),A2⑵0).

(I)求椭圆的方程；xa22yb221(ab

6

0)的离心率为2,且在X轴上的顶点分别为

(II)若直线l：xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线1上异于点T的任一点，直线

PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点Al、A2的坐标都知道，可以设直

线PAI、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是Al(-2,0)和M,通过韦达定理，可以求出点M

的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:xt(t2)上，相当于知道了点P的

横坐标了，由直线PAI、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关

系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的

t>2,就可以了，否则就不存在。

解：(I)由己知椭圆C

的离心率e

2ca2,a2,

则得cb1,从而椭圆的方程为X

4y12

(II)设M(xl,yl),N(x2,y2),直线AIM的

斜率为kl,则直线AIM的方程为ykl(x2),

由ykl(x2)22x4y4

2消y整理得(lkl4x)22klx621kl640

2和xl是方程的两个根，

16kl4

14kl

2222x1则xl28kll4k2

1,yl4kll4k

221,

即点M的坐标为(28k1

14kl2,4kll4kl2),

同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为（8k22

14k2

ypkl(t2),ypk2(t2)

klk2klk2

2t

直线MN的方程为：

yylxxl

y2ylx2xl

令y=0,得x

x2ylxly2

yly24t2

,将点M、N的坐标代入，化简后得：x

4t

又t2,0

6

椭圆的焦点为0)

4t

6

t

3

4出

故当t

3

时，MN过椭圆的焦点。

222

方法总结：本题由点Al(-2,0)的横坐标一2是方程(14kl)x16k2x16kl40的一

个

根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：xl

28kll4k1

2

2

再利用直线AIM的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：yl

yk2(x2)x4y4

2

2

2

4kll4k

2

1

其实由

2

222

消y整理得(14k2)x16k2x16k240,得到

2x2

16k2414k2

2

,BPx2

8k2214k2

2

，y2

2

妹214k2

2

很快。

不过如果看到：将2x1

8k22

22

16kl414k

21

中的kl用k2换下来，xl前的系数2用一2换下来，

就得点N的坐标(

14k214k2

4k2

2

),如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样

真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P的双重身份：点P

即

在直线AIM上也在直线A2N上，进而得到

klk2klk2

2t

,由直线MN的方程

yylxxl

y2ylx2xl

4t

得直线与X轴的交点，即横截距X

x2ylxly2

yly2

,将点M、N的坐标代入，化简易得x,

6

由

4t

45/3

t

4G

3

t

3

是否满足t2o

另外：也可以直接设P（t,yO）,通过Al,A2的坐标写出直线PAI,PA2的直线方程，再

分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。再过点F,求

出t值。

例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到

焦点距离的最大值为3；最小值为1；

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线1：ykxm与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB

为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线1：ykxm与椭圆C

相交于A,B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线1过定点，就是

通过垂直建立k、m的一次函数关系。

解（I）由题意设椭圆的标准方程为

xa

22

yb

22

l（ab0）

ac3,ac1,a2,c1,b3

2

x

2

4

y

2

3

1

ykxm

A(x,y),B(x,y)(II)设得1122,由22

3x4y12

(34k)x8mkx4(m3)0,

64mk16(34k)(m3)0,34km0

2

2

2

2

222

22

xlx2

8mk34k

2

,xlx2

4(m3)34k

2

2

(注意：这一步是同类坐标变换)

yly2(kxlm)(kx2m)kxlx2mk(xlx2)m

22

3(m4k)34k

2

22

(注意：这一

步叫同点纵、横坐标间的变换)

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D⑵0),且kADkBD1,

yl

y2

xl2x22

2

2

1,yly2xlx22(x1x2)40,

3(m4k)34k

2

2

4(m3)34k

2

2

2

16mk34k

2

40,

7m16mk4k0,解得ml2k,m2

2k7

,且满足34k2m20

当m2k时，l:yk(x2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；当m

2k7

时，l:yk(x

27

),直线过定点(

2

27

,0)

综上可知，直线1过定点，定点坐标为(,0).

7

名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦

对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1,建立等

式。直线不过定点，也不知道斜率，设出Lykxm,是经常用的一招，在第二讲中就

遇到了这样设的直线。

练习：直线1：ykxm和抛物线y2Px相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的顶

点，证明：直线1：ykxm过定点，并求定点的坐标。

分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点0,则0A0B,若设A(xl,yl),B(x2,y2),则

xlx2yly20,再通过yly2(kxlm)(kx2m)kxlx2mk(xlx2)m,将条

件

22

转化为(kl)xlx2mk(xlx2)m0,再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可

2

2

2

以得到xlx2,xlx2,解出k、m的等式,就可以了。解:设A(xl,yl),B(x2,y2),由

ykxmy2px

2

得，ky2py2mp0,(这里消x得到的)2

则4p28mkp0,(1)由韦达定理，得：yly22pk,yly22mpk,

2ymy2myym(yly2)m则xlx21,122kkk

以AB为直径的圆过抛物线的顶点0,则0A0B,即xlx2yly20,可得

yly2m(yly2)m

k22yly20,贝lj(lk)2mp2pmmk0,22

即k22mpm2k0,又mk0,则m2kp,且使(1)成立，

此时1：ykxmkx2kpk(x2p),直线恒过点(2p,0)。

名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、(07山东理)就是在这个题的基础

上，由出题人迁移得到的，解题思维都是•样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老

师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。

本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量

小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换------直线方程的

纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？

题型四：过一知曲线上定点的弦的问题

若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方

程(或类一元二次方程)，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点

的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。

例题6、已知点A、B、C是椭圆E：x

a22yb221(ab0)上的三点，其中点

是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心0,且

ACBC0,BC2AC,如图

(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;

(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC

关于直线x

的斜率。

解:(I)BC2AC,且BC过椭圆的中心0

0CAC

ACBC

ACO

2

又0)

点C

的坐标为。

A0)是椭圆的右顶点,

x2

12y

b221

将点

6

C代入方程，得b24,

x2

椭圆E的方程为12y2

41

(II)直线PC与直线QC

关于直线x设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为k,从而直线PC的方程

为：

yk(x,即

ykxk),

由ykx

22k)消y,整理得:

x3y120

222(13k)x(1k)x9k18k

6

30x是方程的一个根，

xP

29k18k313k22

疝1+3小）

即xP同理可得:

6（1+3卜）

xQ

2

yPyQkxPk)kxQk)=k(xPxQ)

6(1+31)

G1+3k。

/1+3昌

2

xPxQ9k18k39k18k32

61+3小)

kPQyPyQxPxQ13

1则直线PQ的斜率为定值。3

方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC

关于直线x互为相反数，设直线PC的斜率为k,就得直线QC的斜率为-k

222(13k)x(1k)x9k18k30的根，易得点P的横坐标:

xP22,再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：

6(1+3&2)

xQ,这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。

接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出

来，计算量会增加许多。

直接计算yPyQ、XPXQ,就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一

想，如何解决此类问题，•是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元

后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目

的。练习1、已知椭圆C：

A1(-2,0),A2(2,0)o

(I)求椭圆的方程；

(II)若直线l：xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线1上异于点T的任一点，直线

PAl,PA2xa22yb221(ab

0)的离心率为2,且在x轴上的顶点分别为分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否

通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：(I)由已知椭圆C

的离心率e

2

ca

2

a2,

日

则得cblo

从而椭圆的方程为

x

4

y1

2

(II)设M(xl,yl),N(x2,y2),直线AIM的斜率为kl,则直线AIM的方程为

ykl(x2),

ykl(x2)由x2消y整理得(14kl2)x216k2x16kl240

2

y14

2和xl是方程的两个根

16kl414k

2

212

2x1

则xl

28kll4kl

2

，yi

4kll4kl

2

2

即点M的坐标为(

28kll4k

21

4kli

4k

21

)

同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为（

8k22

22

14k214k2

>

4k2

2

)

ypkl(t2),ypk2(t2)

klk2klk2

2t

直线MN的方程为：

yylxxl

y2ylx2xl,

令y=0,得x

x2ylxly2

yly24t2

,将点M、N的坐标代入，化简后得：x

4t

又t2,0

椭圆的焦点为0)

4t

t

3

G

故当t

3

时，MN过椭圆的焦点。

方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标一2是方程(14k12)x216k2x16kl240

的一个根，结合韦达定理得到点M的横坐标：

xl

28kll4k

2

2

1

，利用直线AIM的方程通过坐标变换，得点M的纵坐标：yl

16kl414kl

22

4kll4k

21

>

再将2x1

2

中的kl用k2换下来，xl前的系数2用一2换下来，就得点N的坐标

(

8k2214k

22

4k214k

22

),如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，

在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费

时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。

本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线AIM上也在直线A2N上，进而得到

klk2klk2

2t

，由直线MN的方程

yylxxl

y2ylx2xl

得直线与x轴的交点，即横截距

x

x2ylxly2

yiy2

，将点M、N的坐标代入，化简易得x

4t

,由

4t

t

3

，到此

不要忘了考察t

3

是否满足t2。

练习2、：（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C以过点A（1,0）。

（1）求椭圆C的方程；

32

),两个焦点为(-1,0)(1,(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜

率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

ab1分析：第一问中，知道焦点，则，再根据过点A,通过解方程组，

a,b就可以求出，求出方程。

2

2

22

第二问中，设出直线AE的斜率k,写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方

程，由韦达定理和点A的坐标，可以求出点E的坐标，将点E中的k,用-k换下来，就可以

得到点F的坐标，通过计算yE-yF,xE-xF,就可以求出直线EF的斜率了

22xy21解：(I)由题意，c=l,可设椭圆方程为，将点A的坐标代入方2aa1

119222程：，解得，(舍去)a1cla422

4a4(a