叶轮应力状态公式推导详解

叶轮应力状态公式推导详解I.截取微元体叶轮的应力状态是轴对称平面应力状态。叶轮主平面内只有径向应力和切向应力，且同一半径上各点的径向应力、切向应力各自相等，即叶轮任一过轴线的径向截面上的应力可以代表其他径向截面上的应力状态。从叶轮中切出一块微元体，分析微元体的受力平衡。为了表示叶轮各点的应力状态，在叶轮任意部位上，取半径相距的两个圆弧面和夹角为的两个径向截面所切出的无穷小微元体。在微元体的四个截面上只有两个方向的主应力：径向方向的径向应力，用表示；圆周方向的切向应力，用表示，如图1。由于叶轮应力随半径而变化，在微元体AB截面上的径向应力比CD截面上的径向应力大，为径向应力增量。在不同径向截面AD和BC上的切向应力是相等的。图1微元体参数及其应力分布图示II.受力分析作用在微元体上的力有五个，如图2所示：=1\*GB3①.微元体的离心力dC；=2\*GB3②.作用在AB截面上的径向力dP′；=3\*GB3③.作用在CD截面上的径向力dP；=4\*GB3④.两个作用在径向截面上的切向力dT。图2微元体受力分析离心力dC：其中，略去三阶及以上高阶无穷小，得：，即：（1）式中：—叶轮材料密度；R—叶轮某截面的半径；—叶轮旋转角速度；y—半径R处叶轮厚度。2.径向力dP、dP’是径向应力和面积的乘积CD截面：（2）AB截面：，将上式展开，并略去三阶及以上高阶无穷小项即得：（3）切向力dT（4）受力平衡叶轮稳定旋转时，微元体处于相对平衡状态，因此作用在微元休上诸力在任意方向的分力之和等于零，如图2。其径向方向力的平衡条件为：。因为非常小，有，化简上式得：。将式（1）~（4）代入上式，略去三阶及以上高阶无穷小，并消去，可得：（5）上式是叶轮受力平衡方程式，它表示叶轮应力（、）和叶轮尺寸（R、y）及叶轮旋转角速度之间的关系。III.平面状态下胡克定律、，联立两式可得：其中：-径向应变；-切向应变；-泊松系数。由于微元体是处于叶轮之中，微元体的径向应变和切向应变是相互联系的，它们之间的关系可以用载荷作用下叶轮的位移（变形量）联系起来。分析微元体的变形，微元体的半径R处的径向位移为v(不考虑温差引起的位移)，此时半径变为R+v；在半径R+dR处的径向位移为v+dv。这样，微元体在载荷作用下厚度变为dR+dv。根据相对变形的定义可以求得和。、；代入（、）中可得：（6）（7）将式（6）、（7）代入式（5）中，并略去三阶及以上高阶无穷小，可化简式（5）为：（8）IV.等厚叶轮应力分析对于等厚叶轮，厚度不随半径变化，即；代入（8）式得：（9）其中。求解该微分方程方程（9）可简化为：；积分一次可得：；再积分一次得：；可写成：；则：。经过整理后将代入式（6）、（7），等厚度叶轮径向应力和切向应力的公式为：(10)(11)积分常数由边界条件确定。V.空心等厚叶轮应力叶轮以角速度旋转时，叶轮除承受自身质量的离心力外，在叶轮外表面上承受叶片和部分轮缘的离心力，该离心力在叶轮外表面上产生的径向应力用表示，对套装叶轮，叶轮内孔受到轴的压力，它在叶轮内表面上产生的径向应力用表示，如图3。在这些载荷作用下，叶轮的边界条件为：当时，；当时，;图3空心等厚叶轮应力示意图将边界条件代入式（11）中可得：联立上