考点26 概率、二项分布与正态分布（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）解析版

考点26概率、二项分布与正态分布(核心考点讲与

练)

y专点考肃)

i.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率P(E)=\.

(3)不可能事件的概率P(F)=O.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(崖=1—尸(8).

2.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互区的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

3.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个

基本事件的概率都是，如果某个事件4包括的结果有m个，那么事件4的概率P(A)=餐

4.古典概型的概率公式

事件A包含的可能结果数

RA)一试验的所有可能结果数.

5.全概率公式

(1)完备事件组：

设Q是试验E的样本空间，事件Ai，A2,…，4是样本空间的一个划分，满足：

①41M

②AI,A2，…，4两两互不相容，则称事件4,A2,4组成样本空间C的一个完备事

件组.

(2)全概率公式

设S为随机试验的样本空间，A，A2,…，4“是两两互斥的事件,且有P(A»>0,i=l,2,…，

小UA=S,则对任一事件B,有P(B)=ZP(Ai)P(BA)称满足上述条件的Al,A,A”

e,=i2

为完备事件组.

6.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

①定义：在相同的条件下,重复地做〃次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它

们为n次独立重复试验.

②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p,则〃次独立重复试验中，事件A恰好发

生k次的概率为P”优)=C£z/(l—P)"*仅=0,1,2,…，”).

(2)二项分布：在"次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q

=1—p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X=4=C知％"*,其中k

=0,1,2,…，”.于是X的分布列：

X01・・・k…n

PC羯%"C岳・・•・・・C财於

此时称离散型随机变量X服从参数为〃，p的二项分布，记作X〜仇〃，随.

7.正态分布

(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为7(x)=*-e

72Tlp

2

--瓦一，x@R(其中"，。为参数，且A0,—8<〃<+8).

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上左，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；

②曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称:

③曲线在x=“处达到峰值焉高:

④当〃-定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；0

越大,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(〃一0<XW〃+cr)=0.6826；

@P(/i~+2#=0.9544；

③-30<XW/+3Q=0.9974.

彳方法技

1.求古典概型概率的基本步骤:

(1)算出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.

求出P(A).

2.求相互独立事件同忖发生的概率的方法主要有:

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

3.判断随机变量X服从二项分布的条件(X〜B(〃，p))

①X的取值为0,1,2,n；

3I19

②P(X=A)=C?az2)■汽,八；炉(1—p)"r/=0,1,2,…，〃,p

为试验成功的概率).

［提醒］在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大'"'非常大''等字眼，这表明试验可视为独

立重复试验，进而判定是否服从二项分布.

4.超几何分布的特点

(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出.

(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取

值的概率实质上是古典概型.

5.正态分布下的概率计算常见的两类问题

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直

线对称，及曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3。原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的“进行对比联

系，确定它们属于3一c,〃+<7),(//—2o,〃+2c),(//—3<7,〃+3。)中的哪一个.

堂曳豆概率

1.(2021重庆市九龙坡区高三上学期期中)有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把

不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开,试开后不放回，

则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是()

【答案】B

【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都

能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不

能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出

来的概率.

【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.

现准备通过-一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：

①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，

③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

・•・恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：

„3212313213

r=—X—x-+—X—x-+—X—x-=—.

54354354310

故选：B.

2.（2021重庆市第一中学高三下学期第二次月考）我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：

某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十

二节气的日影长依次是一个等差数列.已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为II尺和10

尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（）

5453^21c1°

AA.D.C.U.—

555522II

【答案】C

【分析】令冬至影长为q，公差为〃，则％=-1，进而确定十二节气日影长，再应用组

合数及对立事件的概率求法求概率即可.

【详解】由题意，令冬至影长为q,公差为</,则必-4=2d=IO-ll=-l,故〃一-；.

二冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节

气的日影长依次为［12512.1151

・••随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率「与-—.

（22

故选：c

3.（2021新疆乌鲁木齐市第八中学高三检测）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生

活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何

必重重叠叠.”现从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成log“6（。。1）,则恰

好能使得log*>1的概率是—

2

【答案】-

【分析】列举基本事件，直接求概率即可.

【详解】1,2,3,4,5,6这6个数字中满足log/>1的数对有:

a=2,〃=3,4,5,6,

a=3,〃=4,5,6；

。=4,b=5、6：

a=5,b=6，共10种，

而。=2,b=l,3,4,5,6,

67=3,b=1,2,4,5,6,

q=4,h=l,2,3,5,6,

a=5,b=1,2,3,4,6,

4=6,b=1,2,3,4,5,共有25种,

所求概率为p=W=2.

255

故答案为：

5

1_1_1一

4.事件相互独立，如果PQ4B)=一,P(豆。二一,二g,则尸⑸=;P(AB”

688

【答案】①.一.②.一.

23

【解析】

P(A)P⑻=1,

O

_1

【详解】分析：根据独立事件的概率公式可得<P(B)P(C)=w，结合对立事件概率公式

O

_1

P(A)尸⑻尸(C)=7,

O

可得结果.

尸(A)P⑻=，,

6

-1

详解：由题意得《P(B)P(C)=j,

O

-1

P(A)P⑻P(C)=£,

o

得尸(A)=1,P(B)=1.

所以可砺)=尸(可P⑻=|x|=l

点睛：本题主要考查独立事件、对立事件的概率，属于中档题.解答这类综合性的概率问题

一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说

能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的

事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计

算中特别重要.

色耳高二项分布

1.(多选)(2022年高考数学一轮复习)若随机变量'服从参数为4，'的二项分布，则()

A.尸(X=l)P(*3)B.尸(-=2)=3P(XI)

C.-0)=2P(14)D./8:3)4P(\I)

【答案】BD

【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】由题意，根据二项分布中概率的计算公式尸=0.1.

尸(*=2卜。侪(臼吟，

『"=3)=4)’("扪器

尸(…可凯可哈,

因此尸(4=2)=3尸=尸(X=3)=4P(X=1),

P(X=4)=I6P(X=O).

故选：BD.

2.设X为随机变量，X~B(6,p),若随机变量X的期望为4,则P(XN1)=

，小728

【答案】—

729

【分析】利用二项分布的数学期望计算公式求出P,再根据二项分布

的概率计算公式求解即可.

【详解】由题意可知,X~8（6,p）,所以E（X）=6〃,

因为随机变量X的期望为4，

2

所以6〃=4,解得p=1,

728

所以「(XNl)=l-C：

I3,-729

72X

故答案为：——

729

3.已知X~8（3,；）,且y=2X+l,求y的分布列.

【分析】列举y的可能取值，求概率即可求解

【详解】x~故X可能取值为0,1,2,3,则y=2X+l的可能取值为1,357

27

p(y=i)=p(x=o)=《

64

p(y=3)=p(x=i)=WJ__27

4-64

1\/1x29

i■/i

X=

一

-)-—

P(Y=5)=P(X47l4

\764

P（y=7）=P（X=3）=C“Tx申*

故分布列为：

Y1357

272791

p

64646464

超几何分布

1.（2021江苏省镇江中学高三检测）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X

表示取得次品的个数，则尸（X<2）等于（）

【答案】D

【分析】P（X<2）=P（X=l）+P（X=0）,然后算出即可.

【详解】P（X<2）=P（X=l）+P（X=0）=^^+^=^

£oGo15

故选：D

【点睛】本题考查的是利用组合数解决超几何分布的问题，较简单.

2.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）

ll2

Ac3c57Lc3cL4°7

iv•.2B.2C.

Jc50Lc50

【答案】D

【分析】直接利用超几何分布概率求解.

【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件,

则至少取到1件次品的概率为P=。3c以二^

故选：D

【点睛】本题主要考查超几何分布概率的求法，属于基础题.

3.（2021辽宁省锦州市第二高级中学高三检测）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选

出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X,求八\<1|二

【答案】-

7

【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题.

根据题意，X的取值为0或1,代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可.

【详解】解：由题意可得

尸（X=0卜营・石行,

一546

所以「+

故答案为：

7

正态分布

1.（多选）（2021广东省普宁市华侨中学高三上学期期中）甲、乙两名高中同学历次数学测

试成绩（百分制）分别服从正态分布、1”.”J,，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（）

附：若随机变量X服从正态分布则尸（〃一b<X<〃+cr）a0.6826.

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D.若必:5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

【答案】ACD

【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐

一分析判断即可.

【详解】解：由图象可知，甲的图象关于，”对称，乙的图象关于x=对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，

故选项A正确，B错误；

因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，

所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，

则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，

故选项C正确；

若5=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为上等为

故选项。正确.

故选：ACD.

2.（2021广西桂林普通高中高三检测）已知随机变量X服从正态分布NQ,。?），若

P（X<3）=0.8,则尸（XW1）=.

【答案】0.2

【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得

P（XW1）.

【详解】V随机变量X服从正态分布N（2d）,

...正态曲线的对称轴是x=2.

又尸（X<3）=0.8,.（XN3）=0.2,

由对称性可知，

P（XWl）=P（X23）=0.2.

故答案为：0.2.

1.（2021年全国高考乙卷数学）在区间（0,；随机取1个数，则取到的数小于g的概率为

（）

3211

A.—B.-C.-D.一

4336

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】设£2="区间（0,；）随机取1个数”，对应集合为：p|0<x<|L区间长度

呜,

A=”取到的数小于!”对应集合为：区间长度为g,

3

所以P（A）=

/(Q)1-03.

2

故选：B.

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于g”对应的范围，再根据几何概型的概

率公式即可准确求出.

2.（2021.全国.高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布'（IO,/）,下列结论中不正确

的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中在（9910.1）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】对于A,4为数据的方差，所以。越小，数据在〃=1。附近越集中，所以测量结

果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B

正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于

9.99的概率相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所

以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.

故选：D.

3.（2021•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回

的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第

二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次

取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】P（甲）=，，尸（乙）=2，P（丙）=己，P（丁）=£=!，，

6636366

p（甲丙）=o*P（甲）尸（丙），尸（甲T）=—=p（甲）玖丁），

36

P（乙丙）=5#尸（乙）尸（丙），P（丙丁）=0*P（丁）「（丙），

36

故选：B

【点睛】判断事件AB是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）尸（3）=尸（A3）是否成立

4.（2020年全国统一高考（新课标I））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如

下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的

两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比

赛，内轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为!，

2

（1）求甲连胜四场的概率;

（2）求需要进行第五场比赛的概率;

（3）求丙最终获胜的概率.

137

【答案】（1）--:（2）—；（3）—.

16416

【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；

（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概

率；

（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性

可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【详解】（1）记事件M：甲连胜四场，则

（2）记事件A为甲输，事件3为乙输，事件C为丙输，

则四局内结束比赛的概率为

（1A1

P'=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+P（BABA）=4x—=一,

4

3

所以，需要进行第五场比赛的概率为P=l-P'=一；

4

（3）记事件A为甲输，事件8为乙输，事件C为丙输，

记事件般：甲赢，记事件N：丙赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB>

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,

所以，甲赢的概率为尸（M）=

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等,

O

所以丙赢的概率为P（N）=1-2x57

16

【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查

计算能力，属于中等题.

5.（2017全国高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生

产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条

生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（〃,b2）.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（〃-3b,〃+3cr）之外

的零件数，求产（X21）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（"-3』〃+3b）之外的零件，就认为这条生产

线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得元与%=9.97,s=j步辱1640.212,其

中厮为抽取的第i个零件的尺寸，i=l,2,,16.

用样本平均数元作为"的估计值A,用样本标准差s作为”的估计值6,利用估计值判断

是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（2-33,。+33）之外的数据，用剩下的数据估计

”和。（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布N（〃,cr2）,则pQ/—3b<Z<〃+3b）=0.9974,

0.997416x0.9592，J0.008«0.09.

【答案】⑴P（Xi1）=0.0408,EY=0.0416（2）（i）见详解；（ii）需要.〃=10.02,

b=0.09

【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在（4—3cr，4+3cr）之内的概率，可知尺寸在

（M-3b，M+3b）之外的概率为0.0026,而X~3（16,0.0026）,进而可以求出X的数学期

望.

（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现

尺寸在（〃-3b,4+3cr）之外的零件的概率是大还是小，若小即合理：

（ii）计算。,33,剔除（衣一33,。+33）之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为〃的

估计值，剔除（4一3比衣+36）之外的数据，剩下数据的样本方差，即为。的估计值.

【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在（〃-3cr，M+3cr）之内的概率为0.9974,

从而零件的尺寸在（4-3cr，4+3b）之外的概率为0.0026,

故X〜8（16,0.0026）.

因此P（X21）=1—P（X=0）=l—0.99746=0.0408.

X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生产状态正常,

一个零件尺寸在(M-3cr,〃+3cr)之外的概率只有0.0026,

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃-3cr，4+3cr)之外的零件

概率只有0.0408,发生的概率很小.

因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程

可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，

可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,sQ0.212,

得4的估计值为A=9.97,。的估计值为3=0.212,

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在("-36-,/)+36)之外，

因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除一33,4+33)之外的数据9.22，

剩下数据的平均数为七(16x9.97—9.22)=10.02,

因此〃的估计值为10.02.

16

=16x0.2122+16x9.972«1591.134,

/=1

剔除(A—33,4+33)之外的数据9.22,

剩下数据的样本方差为七(1591.134-9.22?—15x10.022b0.008,

因此b的估计值为V0.008«0.09.

【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重

要的分布，尤其是正态分布的3o•原则，审清题意，细心计算，属中档题.

一、单选题

1.(2022•全国♦赣州市第三中学模拟预测(理))中国习俗讲究“十全十美、红红火火某次元

宵节游园会中有这么一个活动：一个不透明的箱子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,

其中有5个红球，10个黑球，每次随机取出一球(取出后不放回)，取出的第10个球为红

球则获得小礼品一份，每人只能参与该游戏一次.则小明参与该游戏获奖的概率为()

c.14

【答案】B

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】（方法一）从箱子中逐次取出15个球，一共有种15!取法，

而第10个球确定为红球，有5种取法，其余14个球可以随机排列，共有14!种方式，

所以取出的第10个球为红球的概率为5x1蓝41=：1

（方法二）可以类比为3个小球，2黑1红，

共有红黑黑、黑红黑、黑黑红3中取法，

则取出的第二个小球为红球是黑红黑1种取法，

所以取出的第二个小球为红球的概率为

故选：B

2.（2022•黑龙江•哈师大附中三模（理））七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以港

《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内

游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由下面七块板组成；

五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形）、一块正方

形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1600种以上图案.现从七巧板

的五块三角形中任意取出两块，则两块板恰好是全等三角形的概率为（）

【答案】D

【分析】根据古典概型，结合组合数公式，即可求解.

【详解】五块三角形中有两组全等三角形，

所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块，则两块板恰好是全等三角形的概率

故选：D

3.（2022・辽宁•二模）在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对

上半场0-2落后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯

冠军！足球比赛中点球射门是队员练习的必修课.己知某足球队员在进行点球射门时命中率

为87%,由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为70%,踢向球门右侧的概率为30%.经

统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为90%,那么他踢向球门右侧时，球进的概率为（）

A.87%B.84%C.81%D.80%

【答案】D

【分析】某足球队员在进行点球射门时命中率87%=他踢向球门左侧的概率x他踢向球门左

侧时球进的概率+他踢向球门右侧的概率x他踢向球门右侧时球进的概率，据此即可列式求

解.

【详解】设某队员踢向球门右侧时，球进的概率为x,则由题可知：

70%x90%+30%-x=87%,解得x=80%.

故选：D.

4.（2022•江苏・南京市第一中学三模）柯西分布（Ca“c7zydistribution）是一个数学期望不存在

的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X〜C（y,%）,其中当y=/,%=。时

的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为/（力=天=可.己知x〜c（i，。），

P（|X|<73）=|,P（1<X<V3）=^,则P（|X|M1）=（）

A.-B.-C.-D.；

6342

【答案】D

【分析】由标准柯西分布的概率密度函数可知，其图象关于y轴对称，则

P（|X|<1）=2P（O<X<1）,利用条件求解即可.

【详解】由题，因为「（|X|4⑹=：,尸（1<X4⑹=*,

7111

所以P（0<X41）=-x--------=-,

'732124

所以P（|X|41）=2P（O<X41）=；,

故选：D

二、多选题

5.（2022・广东•三模）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多

会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下

柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（）

1001、生产周期内各车件故障情况发生次数统计图

A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8

B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大

C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大

D.已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大

【答案】AD

【分析】由统计图表得出各概率比较可判断各选项.

【详解】由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为2芸0=0.2,则至少有一个零件

1vU

发生故障的概率为0.8,A正确；

有两个零件发生故障的概率为电盖0=0.3,只有一个零件发生故障的概率为

1“胃10=0.45,则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B

100

错误;

乙零件发生故障的概率为20+管+5=0.4,甲零件发生故障的概率为

100

I"需5+5=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误;

由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.

故选：AD.

6.（2022•江苏南京•三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要

么反面向上，且两种结果等可能.记事件4表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”,

事件3表示“3次结果中最多一次正面向上“，事件C表示“3次结果中没有正面向上“，则（）

A.事件B与事件C互斥

p（A）q

B.

C.事件A与事件8独立

D.记C的对立事件为乙则=g

【答案】BCD

【分析】对A,根据事件B包含事件C判断即可；

对B,根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；

对C,根据相互独立事件的公式判断即可；

对D,先求得P（C）=J,再利用条件概率公式求解即可

O

【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C,故可同时发生，错误；

13

选项B：P（A）=1-—x2=^,正确；

选项C：尸（B）=*+C；x*=；,P（4?）=C；x*=：=P（A）尸（8）

故A与B独立，正确；

11,1_、P（BC\C；x^

选项D：尸（0=声=履尸（同0=寸汗=子正确；

-8

故选：BCD.

7.（2022.全国.模拟预测）下列命题正确的是（）

A.若事件A与B相互独立，且0<P（A）,P（B）<1,则P（A|B）=P（A）

B.设随机变量X服从正态分布N（0,l）,则P（|X|<£|=1-2P（X<£|

C.在回归分析中，对一组给定的样本数据（%,乂）,（々，必），，区,为）而言，当样本相关系数,I

越接近1时，样本数据的线性相关程度越强

D.在回归分析中，对一组给定的样本数据（％,））（%,%），，（%，%）而言，若残差平方和越

大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

【答案】ACD

【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A正确；根据正态分布曲

线的对称性，可判定B错误；根据相关系数的含义，可判定C正确；根据残差的含义，可

判定D正确.

【详解】对于A中，若事件A与8相互独立，且0<P（A）,P（B）<1,

可得P（M）=P（A）P（B）,则P（4|8）=T；『二P（A）,所以A正确；

对于B中，设随机变量X服从正态分布N（O,1）,可得〃=0,4=1,

根据正态分布曲线的对称性，可得P（|Xkg）=l-2?所以B错误；

对于c中，在回归分析中，对一组给定的样本数据（%,必）,（马，%），，（x〃，y“）而言，根据相关

系数的含义，可得当样本相关系数卜|越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，

所以c正确；

对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据（为,%）,（%,%）,,（%,”）而言，根据残差

的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所

以D正确.

故选：ACD

8.（2022.全国.模拟预测）下列说法正确的是（）

A.频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值

B.已知一组数据的方差为5,则这组数据的每个数都加上3后方差为8

C.若随机变量4服从二项分布则E（24+3）=5

D.已知随机变量自服从正态分布7（〃，〃），若P（4>-2）+P（4N6）=l,则〃=3

【答案】AC

【分析】由频率分布直方图中众数的求解方法即可判断A；

将一组数据中的每一个数都加上同一常数后，方差不变即可判B；

由二项分布和均值的性质即可判C；

由正态分布的对称性即可判断D.

【详解】对于A,根据频率分布直方图中众数的求解方法知A正确.

对于B,由方差的计算公式知，将一组数据中每一个数都加上同一常数后，方差不变，故B

错误.

对于C,由二项分布的性质得E（4）=4x；=l,E（24+3）=2E⑷+3=2xl+3=5,故C正

确.

对于D,易知尸（4>一2）+尸（。4-2）=1,乂尸（J>—2）+P（jN6）=l,所以

P（^<-2）=P（^>6）,则〃="义=2,故D错误.

故选：AC.

9.（2021・海南•模拟预测）设随机变量X服从正态分布N（-l,4）,随机变量y服从正态分布

下列判断正确的是（）

A.p（x>o）>p（y>o）B.P（x<0）>P（Y<0）

C.存在f>0,满足P(X4f)=P(y4f)D.存在t<0,满足尸(X2f)=尸(YNf)

【答案】BC

【分析】根据已知X、y的正态分布，利用正态分布曲线的性质，即可判断各选项的正误

【详解】由题设知，X的正态分布的参数为从=7,5=2,y的正态分布的参数为〃2=2,

1

2

A：P(X>O)<-,p(r>o)>-,所以p(x±o)<p(yzo),错误；

22

B：P(X<0)>-,P(F<O)<1,所以尸(X40)>尸(140),正确；

22

C：由3=必+25=4+2%,所以P(X43)=尸"43),正确；

D：大致作出x和y的正态曲线，如图所示，可知在y轴左侧，y的正态曲线总在x的正态

曲线的下方，y的正态曲线下方的区域面积总小于x的正态曲线下方的区域面积，即

10.(2021・河北唐山•三模)下列说法正确的是()

A.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功,

并停止投掷，已知每次投中的概率为9,则游戏者闯关成功的概率为凄

B.从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为

C.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=«W»(i=l,2,3),则尸(x=2)=g

D.若随机变量〃N(2,〃)，且5=3〃+1.则尸何<2)=0.5,E传)=6

【答案】AC

【分析】选项A先求5次都没投中的概率，由对立事件的概率关系判断；选项B.由其中

至少有一名女生分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都

是女生四种情况，可判断；选项C.由分布列的性质先求即可判断；选项C.由正态分布

的性质和期望的性质可判断.

【详解】选项A.5次都没投中的概率为

所以游戏者闯关成功的概率为故A正确.

选项B.从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：

1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.

共有C；仁+C；O+C；C：。+C；=1155种情况.而C；C：=1820

所以其中至少有一名女生的概率为:.故不正确.

chc：B

选项C.由尸（X=?'）=不可（i=l,2,3）,则4（；+[+看）=],解得a=g

412

所以P（X=2）=§x砺=3,故C正确.

选项D.由随机变量〃N（2,o2）,则尸（〃<2）=0.5,E⑺=2

所以E（S）=E（3〃+1）=3£（〃）+1=7,故D不正确.

故选：AC

11.（2021•江苏江苏•二模）某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高

三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：单位：人

身高

性别合计

低于170cm不低于170cm

女801696

男2084104

合计100100200

下列说法正确的有（）

=a+h+c+d\

附h人（a+b）（c+d,）（o+c）（b…+d）、（其中〃:

临界值表：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

附2：若乂~"（〃,"），则随机变量*取值落在区间（//-6〃+。）上的概率约为68.3%人.从

列联表可以判断该样本是由分层抽样而得

B.从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生

C.有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联

D.若该样本中男生身高外单位：cm）服从正态分布N（175,25）,则该样本中身高在区间

（175,180］内的男生超过30人

【答案】CD

【分析】A.由分层抽样的特点判断；B.从列联表的特点判断；C.求出/判断；D.由正态分

布求解判断.

【详解】A.高三年级学生没有差异，所以不用分层抽样，故错误；

B.从列联表可以看出该中学高三学生身高的人数，故错误；

200(80x84-16x20)2200x6400x6400必犯y82.05>10.828，故正确

96x104x100x10096x104x100x1003x13

D.g尸（170</?<180）xl04»35.5>30,故正确，

故选：CD.

三、填空题

12.（2022•福建莆田•三模）五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游,

在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是

【答案】

【分析】根据全排列求出7人总的排法种数，再利用插空法求出小孩不站在两端，且每个小

孩左右两边都有大人的排法种数，根据古典概型求解.

【详解】7个人全排列有A；种排法，利用插空法，其中小孩不站在两端，且每个小孩左右

两边都有大人的排法有A：A；种，

A4A31

所以小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率尸=军上=汆.

故答案为：表

13.（2022•全国•河源市河源中学模拟预测）A、8两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.己

知在货车B准点的情况下，货车A晚点的概率为!；而在货车A晚点的情况下，货车8准

点的概率为J若货车A、8准点的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，

O

则货车B晚点的概率为.

【答案】I

【分析】设A晚点为事件X,8准点为事件匕由条件概率公式得p(x)=2P(y)