新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第03讲 平面向量的数量积 高频精讲（原卷版）

第03讲平面向量的数量积(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第03讲平面向量的数量积(精讲） 1第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 4第二部分：高频考点一遍过 4高频考点一：平面向量数量积的定义 4角度1：平面向量数量积的定义及辨析 4角度2：平面向量数量积的几何意义 5高频考点二：平面向量数量积的运算 6角度1：求数量积 6角度2：向量模运算 8角度3：向量的夹角 9角度4：两向量成锐角（钝角）求参数 10角度5：已知模求数量积 11角度6：已知模求参数 12高频考点三：向量的垂直关系 13高频考点四：向量的投影（投影向量） 14高频考点五：平面向量的综合应用 16高频考点六：最值范围问题 17高频考点七：极化恒等式 20第四部分：数学文化题 21第五部分：高考新题型 23①开放性试题 23②探究性试题 23第六部分：数学思想方法 24①函数与方程的思想 24②数形结合的思想 25温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形中，则②三角形形式：在中，为的中点，所以5、常用结论①②③第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．62．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）已知向量．若，则______________．5．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________第二部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知在方向上的投影为，则的值为A．3 B． C．2 D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，||＝6，||＝3.若点是的中点，点是的三等分点，且，则·＝（

）A．6 B．4 C．3 D．2例题3．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在中，为边上上的中点，，．（1）___________．（2）为内一点，最小值为___________练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．22．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为的外心，则（

）A．5 B．2 C． D．角度2：平面向量数量积的几何意义典型例题例题1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心例题2．（2023·全国·高一专题练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（

）A． B． C．D．例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______练透核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．22．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．3．（2023·全国·高一专题练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：求数量积典型例题例题1．（2023·河南郑州·统考二模）已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．12 B．4 C．3 D．1例题2．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．9 B． C．16 D．例题3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形中，，，则（

）A． B． C． D．例题4．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是___________.练透核心考点1．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，其中．满足，则（

）A． B． C．9 D．223．（多选）（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的可能取值是（

）A．－2 B．2C．4 D．84．（2023春·吉林·高一校考阶段练习）在中，，，，D是边BC上一点，，设，．(1)试用，表示；(2)求的值．角度2：向量模运算典型例题例题1．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）已知向量与的夹角为60°，，，则（

）A．12 B．16 C． D．4例题2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（

）A． B． C．5或2 D．10或4例题3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知向量，满足，，，则等于（

）A． B． C． D．例题4．（2023春·山西运城·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则________．练透核心考点1．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，若与方向相反，则=（

）A．54 B．8 C． D．2．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量，，若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______．4．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，且，则_________.角度3：向量的夹角典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，则（

）A． B．C． D．例题2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）在以为边､为对角线的菱形中，，，则（

）A． B． C． D．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，若，则______例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则_______.练透核心考点1．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为(

)A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则______．4．（2023·广东·统考一模）已知向量满足，则与的夹角为___________.5．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）如图，在梯形，，，，，.(1)若，求的值；(2)若，求与的夹角的正切值.角度4：两向量成锐角（钝角）求参数典型例题例题1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________．例题3．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知，且向量与不共线.(1)若与的夹角为，求；(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.例题4．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．练透核心考点1．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.2．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．4．（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设两个向量满足，(1)求方向的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．角度5：已知模求数量积典型例题例题1．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知向量满足则＝（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高一专题练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．练透核心考点1．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）空间向量，，若，，，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（2023春·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知向量，满足，，则，则______．3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.角度6：已知模求参数典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．例题2．（2023·山西吕梁·高一校联考）已知单位向量，，与的夹角为.(1)求证；(2)若，，且，求的值.练透核心考点1．（2023春·安徽·高一校联考阶段练习）已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·高二课时练习）已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.(1)求证：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范围.高频考点三：向量的垂直关系典型例题例题1．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，若，则__________例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．例题4．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，，．(1)求与的夹角；(2)若，且，求实数的值．练透核心考点1．（多选）（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知向量，，与垂直，则（

）A． B． C．D．2．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．3．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量与不共线，(1)试确定实数k，使得与共线；(2)若，且，求实数的值．4．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知，.(1)若与的夹角为，求；(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？高频考点四：向量的投影（投影向量）典型例题例题1．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·河南·统考模拟预测）已知，，且，则在方向上的投影为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知向量，则在方向上的数量投影为___________例题4．（2023·浙江温州·统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.练透核心考点1．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知的外接圆圆心为O，，，则向量在向量上的投影向量为（

）．A． B．C． D．2．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.高频考点五：平面向量的综合应用典型例题例题1．（多选）（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在方向上的投影等于2C．D．的最小值为例题2．（多选）（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．例题3．（2023春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知平面向量，，函数.(1)若，，求满足方程的值；(2)已知函数为定义在上的减函数，且对任意的，都满足，是否存在实数，使对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.练透核心考点1．（多选）（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，，，则B．为锐角的充要条件是C．若O为所在平面内一点，且，则O为的重心D．若，且，则为等边三角形2．（2023春·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，，，，．(1)若，，为轴上的一动点，点．当，，三点共线时，求点的坐标；(2)若，，且与的夹角，求的取值范围．高频考点六：最值范围问题典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，，，，设点为直角梯形内一点（不包含边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.例题4．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________.练透核心考点1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（

）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]2．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为_______．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________.4．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的边长为6，求的取值范围.高频考点七：极化恒等式典型例题例题1．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）圆为锐角的外接圆，，则的取值范围为__________．练透核心考点1．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知为圆的直径，点为直线上的任意一点，则的最小值为______．第四部分：数学文化题1．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023·河南安阳·统考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（

）．A． B． C． D．3．（多选）（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在向量上的投影向量为C．若，则为的中点D．若在线段上，且，则的取值范围为4．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．5．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则__________．第五部分：高考新题型①开放性试题1．（2023·山东青岛·统考一模）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南