2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题04 不等式与不等关系（解析版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题04不等式与不等关系目录一览①2023真题展现考向一线性规划考向二由函数的单调性解不等式②真题考查解读③近年真题对比考向一线性规划考向二基本不等式及其应用考向三比较大小④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一线性规划1．（2023·全国乙卷文数第15题）若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】8【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，故答案为：8.

2．（2023·全国乙卷理数第14题）若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】15【详解】作出可行域，如图，

由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：15考向二由函数的单调性解不等式1．（2023·全国乙卷理数第16题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.【答案】【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.【命题意图】1．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【考查要点】线性规划这部分内容主要是以课程学习情境为主，备考以常见的简单题型为主；基本不等式这部分内容在全国卷主要以选做题的形式出现，在2020年的新高考中为多选题，题目难度为中等难度，在备考中以中等难度题型为主训练思维的灵活性，同时注意三个正数的算数—几何平均不等式这一题型；绝对值不等式这部分内容在全国卷中通常为选做题，考查的频率较高，题目的难度为中等难度，在备考中要注意与函数知识相结合【得分要点】高频考点：线性规划中频考点：基本不等式、比较大小低频考点：利用函数单调性解不等式考向一线性规划一、单选题1．（2022·全国乙卷理数第5题）若x，y满足约束条件则的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.2．（2021·全国乙卷文数第5题）若满足约束条件则的最小值为（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.考向二基本不等式及其应用一、单选题1．（2021·全国乙卷文数第8题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．二、填空题1．（2022·全国甲卷理数第16题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．【答案】【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.考向三比较大小一、单选题1．（2022·全国甲卷文数第12题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.线性规划内容在近年的全国卷中考查的频率很高，属于基础性内容。大多属于课程学习为情境，具体是数学运算学习情境，应用线性规划可以求简单的最值问题。这类题目主要考查考生的运算求解能力，难度较低。基本不等式及其应用在高考中的考查大部分属于综合性题目，属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境。这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。从近年的频率来看本部分知识考查有减少的趋势，难度通常为中上等难度。考向一线性规划一、单选题1．（2023·河南开封三模）若实数，满足约束条件，则的最大值为（

）A．5 B．9 C．10 D．12【答案】C【详解】由题意画出可行域，如图所示，由图可知在点A处取到最大值，因为此处的直线的截距最大，

联立，可得，即，所以的最大值为10.故选:C.2．（2023·陕西咸阳三模）若实数x，y满足，则的取值范围为（

）A． B．（1,5） C．（2,6） D．【答案】D【详解】由不等式组，作出可行域，如图，令，则，作直线，平移直线，当直线经过点B时，z取得最小值，当直线经过点A时，z取得最大值，又，此时，由，解得，即，此时，所以的取值范围为.故选：D.3．（2023·四川自贡三模）已知x，y满足不等式组，则z＝2x＋y的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【详解】画出可行域，如图阴影部分所示，当时，画出初始目标函数表示的直线，平移目标函数后，当直线过点时，取得最小值.故选：B4．（2023·河南·校联考三模）若x，y满足约束条件则的最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．10【答案】C【详解】画出可行域如图所示，联立，解得，即，由图可知当直线过点时，z取得最大值，最大值为8．故选：C.5．（2023·内蒙古赤峰三模）已知x，y满足约束条件，则的最小值为（

）A．1 B． C．-2 D．【答案】D【详解】

由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的点与点连线的斜率，联立方程，得交点坐标，由图得，当过点时，斜率最小为，所以的最小值为.故选：D.6．（2023·四川遂宁三模）已知实数，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】画出可行域与目标函数，联立，解得，当直线过点时，取得最小值，，故最小值为.故选：A7．（2023·全国·校联考三模）已知x，y满足约束条件则的最大值为（

）A．4 B．9 C．11 D．12【答案】C【详解】作出可行域，如图中阴影部分所示，由可得，平移直线，当直线经过点时，取最大值.由解得所以.故.故选：C.8．（2023·四川绵阳三模）设x，y满足约束条件，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】作出可行域，如图所示，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，所以，解得，所以.此时取得最小值，即．故选：C.二、填空题9．（2023·陕西安康三模）已知满足约束条件,则的最大值是.【答案】1【详解】如图,可行域为图中阴影部分,当目标函数平移至点时,取得最大值1.故答案为:1.10．（2023·四川资阳三模）已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为.【答案】5【详解】画出可行域，当直线，即经过时，z取得最大值，且最大值为.故答案为：511．（2023·江西·江西师大附中三模）已知实数满足，则目标函数的最大值为．【答案】0【详解】作出可行域如图，设，平移可得经过点时，取到最大值；由得，所以的最大值为.故答案为：012．（2023·四川成都三模）已知，则的最大值为【答案】2【详解】不等式组所表示的阴影部分如图所示，

因为与y轴的交点为，所以当直线平移至点时，取得最大值为2.故答案为：2.13．（2023·四川泸州三模）已知x，y满足约束条件则的最小值为．【答案】【详解】作出可行域，如图，内部（含边界），作直线，在直线即中，为直线的纵截距，因此直线向上平移时，减小，由得，即，平移直线，当它过点时，取得最小值．故答案为：．14．（2023·河南驻马店三模）已知实数满足，则的最大值为．【答案】1【详解】根据已知画出可行域(如图所示阴影部分)，移动直线，当直线经过点A时，最小，即最大，对直线，令，则，即，故此时．

故答案为：15．（2023·广西玉林三模）设满足约束条件，则的最小值为．【答案】【详解】根据约束条件，作出可行域，如图：因为表示点与点之间的距离的平方，由图可知，的最小值是到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：16．（2023·四川成都三模）已知实数x，y满足不等式组，且的最大值为，则实数m的值为.【答案】【详解】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，且点，，，.由题意，知在点C处取得最大值，即，解得.故答案为：考向二基本不等式及其应用一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知正实数满足，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18【答案】D【详解】由题意正实数满足，则，故，当且仅当，结合，即时取得等号，即的最小值是18，故选：D2．（2023·山东淄博三模）若函数是偶函数，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【详解】由为偶函数可得，即，所以．因为，且，，所以，所以，则，当且仅当，即时，取最小值4．故选：A3．（2023·四川凉山·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上任意一点．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则的最大值为（

）．A． B． C． D．1【答案】C【详解】如图，由得，则，由正弦定理得，即，所以.设内切圆的圆心为,连接,则到的距离均为.所以，又因为，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.所以的最大值为.故选：C4．（2023·河北石家庄三模）已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（

）A．9 B． C．1 D．【答案】A【详解】圆的圆心为，依题意，，即，由，知，令，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值9.故选：A5．（2023·湖南长沙三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.6．（2023·内蒙古赤峰三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】（当且仅当，也即时取等号）∴，故选：C.7．（2023·广东珠海三模）已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示，点为球心，为切点，设内切球的半径为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以，则，易知，所以，则，即，圆锥的体积，当且仅当时，等号成立.故选:A8．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，平分，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图，记，

在中，，则，在中，，则,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，当时，为等腰三角形，∴，，∴；当时，，即，∴，当且仅当，即时，等号成立，∵，∴的最小值为.故选：C.二、填空题9．（2023·宁夏银川三模）若圆（）被直线平分，则的最小值为．【答案】【详解】由，所以该圆的圆心坐标为，因为圆被直线平分，所以圆心在直线上，因此有，所以，当且仅当即时，取等号故答案为：10．（2023·河南新乡三模）已知数列满足，，则的最小值为．【答案】6【详解】由得，当时，，，…，，将这个式子累加得，则，时也适合，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：6.11．（2023·安徽阜阳三模）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为.【答案】【详解】设M：，则半径为1；圆N：，则，半径为2.以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，如图:

则，又，所以F为BO的中点，由对称性可得，，及，所以，故当最大时，最大，故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，对于一个单位圆内接三角形的面积，，又，，所以，当且仅当时，即三角形为等边三角形时等号成立，此时，所以，即三角形OEF的面积的最大值为，所以最大值为.故答案为：12．（2023·上海黄浦三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，当时，由，得到，当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以，综上，实数的取值范围为.故答案为：.13．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是．【答案】【详解】设，因为为边上的中线，则，可得，即，整理得，设，则，可得，整理得，关于的方程有正根，则有：①当，即时，则，解得；②当，即时，则，解得或（舍去），符合题意；③当，即时，则，解得；综上所述：，即的取值范围是.故答案为：14．（2023·新疆乌鲁木齐三模）已知正实数a，b满足，则的最小值是．【答案】【详解】由题意可得将等式变形成,又因为都是正数，所以,可构造函数，则，所以函数在区间上为增函数，由知，所以，则，当且仅当，即取等号，因此的最小值是.故答案为：15．（2023·湖北武汉三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为．【答案】【详解】抛物线的准线为，抛物线的焦点为，如下图所示：设点、，接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，联立可得，可得，所以，抛物线在点处的切线方程为，所以，直线的方程为，若与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，在直线的方程中，令可得，可得，即点，，，所以，，即，因为，当时，因为，则，则；当轴时，则，直线的方程为，联立可得，解得，取点、，此时，直线的方程为，即，在直线的方程中，令可得，即点，所以，，则，则，此时，.综上所述，，.因为，则，又因为，所以，，所以，，即，因此，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.16．（2023·河北沧州三模）若存在实数a，b，使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是.【答案】【详解】令，得.当且时，原命题等价于恒成立，由恒成立可知，又当时，，所以不存在a，使得该不等式恒成立.当，且时，由，得.设，令，解得当，，此时在上单调递增，当，此时在上单调递减，，得.等价于，而，当且仅当，即时等号成立，所以，则，解得，所以b的最大值是.故答案为：.考向三比较大小一、单选题1．（2023·北京密云三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，，所以.故选：B2．（2023·山东聊城三模）设，，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由单调递减可知：.由单调递增可知：，所以，即，且.由单调递减可知：，所以.故选：D3．（2023·江西九江三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解析：，，，.故选：C.4．（2023·河南·襄城三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，，，所以，故.故选：A．5．（2023·北京大兴三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为在上单调递减，所以，，又，即，所以.故选：D6．（2023·江西九江三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，∴．故选：A．7．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，，，，，，故选：B.8．（2023·山西晋中三模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】只需比较，，的大小；令，则，当时，单调递减，当时单调递增，又，故，即；故选：A.9．（2023·北京通州三模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增，且，所以，化简得；因为在上单调递减，且，所以，化简得；因为在上单调递增，且，所以，化简得；综上，可知.故选：A10．（2023·湖南益阳三模）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又，，因为，，，所以，则，即，所以.故选：B11．（2023·辽宁沈阳三模）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，则．∵，∴，，，则，∵，∴，则，故．故选：C．12．（2023·天津滨三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.又函数在上单调递增，则，又，则.综上，.故选：A13．（2023·上海普陀三模）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C