大学文科数学课件：数理统计基础

数理统计基础13.1总体和样本13.2统计量及其分布

13.1总体和样本

13.1.1总体

总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体.总体中的每一个研究对象称为个体．例如：研究某钢厂生产的一批钢筋的质量，则这批钢筋就是一个总体，其中每一根钢筋是个体；对某一地区农民家庭的经济情况进行调查，该地区的全体农户是总体，每一农户是个体；为了治理某一江水的污染问题，以500毫升的水为单位进行各种化验，这一条江的江水是总体，每500毫升的水是个体．

总体所含个体的数量称为总体容量．当总体容量有限时，称为有限总体；否则，称为无限总体．显然，上述例子中前两个总体都是有限总体，后一个则是无限总体．在实际研究中，人们所关心的并不是总体中的每个个体本身，而是它们的某一项数量指标，以及这项数量指标取值的分布情况．如在上述例子中，主要是考察每根钢筋的抗拉强度、每个农民家庭一年的收入、每500毫升的水中磷酸盐的浓度，以及每个数值在所有可能的数值中所占的比率．因此，我们把总体也可以看做由所考察的某一项数量指标所有可能取的值组成的集合，记做X.集合X中的数值可能有重复，每一个数值表示一个个体，且不相等的数值在X中所占的比率可能不同．总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布．13.1.2样本

样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体.样本中的每个个体又称为样品．一个样本中所含样品的个数称为样本容量．抽取样本的过程称为抽样.抽取样本的方式称为抽样方法．应当指出，样本是具有二重性的．一方面，抽样前样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定的数值．在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看做随机变量.总体X的一个容量为n的样本,通常用n个随机变量X1,X2,…,Xn来表示,记做(X1,X2,…,Xn)，这是一个n维随机变量.进行一次具体的抽样之后得到n个确定的数值，记为(x1,x2,…,xn),称之为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观测值，简称样本值.

定义13.1.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，若X1,X2,…,Xn相互独立，且每个样品Xi(i=1,2,…,n)都与总体X

有相同的概率分布，则称(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个简单随机样本，简称样本．若总体X具有分布函数F（x），则样本(X1,X2,…,Xn)的

联合分布函数为

F*(x1,x2,…,xn)＝F（x1）F（x2）…F（xn）(13.1.1)

如果总体X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=xi}=

p(xi)，i=1，2，…，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合概率分

布为

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=p(x1)p(x2)…p(xn)

(13.1.2)其中x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的任一个可能的观测值；若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合密度函数为

f*(x1,x2,…,xn)=f（x1）f（x2）…f（xn）(13.1.3)

13.1.3频率直方图

（1）将样本值适当分组：先从样本值中找出最小值m和最大值M，即

m=min{x1,x2,…,xn}，

M=max{x1,x2,…,xn}

取a略小于m，b略大于M，则区间［a，b］是包含样本值的区间．再将区间［a，b］等分为一个小区间，分点记为a=t0<t1<…<tl=b，且每个分点ti的值应比样本值多取一位小数．（2）确定频数和频率：设第i个小区间(ti－1,ti］中样本值的个数称为频数fi；频数除以样本容量n，则相应的频率为vi=fi／n（1≤i≤l）；把第1组至第i组的频数、频率累加，称为第i组的累计频率．（3）作频率直方图：在每个小区间(ti－1,ti］上，以小

区间为底、yi为高作矩形，矩形面积即为vi，由l个矩形构成的图形就叫做频率直方图．频率直方图近似总体密度函数

f(x)的图形，且样本容量n愈大，近似程度愈好．

例13.1.1

某厂生产圆钉的长度L是一个连续型随机变量，从中抽取100个测量其长度后得数据如下：（单位为mm）解因数据中的最小值m=147.0，最大值M=165.8，取a=145.95,b=165.95．将区间［145.95，165.95］10等分，每个小区间的长h=2．这样，将100个数据分为10组，每组数据的频数fi和频率vi及yi值如表13.1.1所示．在每个小区间上以对应的yi值为高作矩形，即得试验数据的频率直方图（见图13.1.1）．从直观上看，直方图的上边近似于正态密度曲线．图13.1.113.2统计量及其分布

定义13.2.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，且g(X1,X2,…,Xn)是(X1,X2,…,Xn)的一个函数．若g(X1,X2,…,Xn)中不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量．

(1)样本均值:（13.2.1）(2)样本方差:（13.2.2）(3)样本标准差:（13.2.3）(4)样本k阶原点矩:（13.2.4）(5)样本k阶中心矩:（13.2.5）

1．χ2分布

设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的标准正态随机变量，则它们的平方和

χ2=X21+X22+…+X2n

(13.2.6)

称做自由度为n的χ2变量，其概率分布称做自由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2(n)．f(x)的图形如图13.2.1所示．图13.2.1由χ2分布的定义容易证明：若X~χ2(n),Y~χ2(m),

且X与Y相互独立，则

X+Y~χ2(n+m)

即两个独立的χ2变量和仍为χ2变量，且和的自由度等于两

个χ2变量的自由度之和，称之为χ2的可加性．

2．t分布

设X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X和Y相互独立，则称做自由度为n的t变量，其概率分布称做自由度为n的t分布，记为t~t(n)．f(x)的图形如图13.2.2所示．图13.2.2

3．F分布

设X~χ2(n1),Y~χ2(n2)，且X与Y相互独立，则

称做自由度为(n1,n2)的F变量，其概率分布称做自由度为

(n1,n2)的F分布，记为F~F(n1,n2)．其中n1和n2分别称做

F(n1,n2)分布的第一自由度和第二自由度．f(x)的图形如图13.2.3所示．(13.2.8)图13.2.3定义13.2.2设X是一连续型随机变量，其密度函数为f(x)．对于给定的正数α（0<α<1），称满足的点xα为X的上侧α分位点．

X的上侧α分位点xα的几何意义：对于给定的正数α（0<α<1），在x轴上必存在一点xα，使得在点xα右侧X的密度曲线y=f(x)与x轴所围成的图形面积等于α（见图13.2.4）．图13.2.4

例13.2.1

查表求u0.05、u0.995和χ20.1(25)．

解对于u0.05，α=0.05，1－α=0.95，从附表2中查

Φ（z）取0.95所对应的z点为1.645，即得u0.05=1.645．

对于u0.995，α=0.995>0.5,查表得u0.005=2.575，所以u0.995=

－2.575．

对于α=0.1，n=25，从附表4可查得χ20.1(25)=34.382．

例13.2.2

查表求t0.01(10)和t0.95(30)的值．

解对于t0.01(10)，从附表3可查得t0.01(10)=2.764．对于t0.95(30)，从附表3可查得t0.05(30)=1.697，则t0.95(30)=－1.697.

F分布的上侧α分位点记为Fα(n1,n2)．附表5详细列出了α=0.001到α=0.10的上侧分点．对于α=0.90到α=0.999的情况，可由关系式(13.2.9)确定Fα(n1,n2)．

例13.2.3

查表求F0.95(12,9)．

解先从附表5查得F0.05(9,12)=2.80,再由式(13.2.9)可得当总体的分布已知时，统计量的分布理论上是可以确定的，然而要求出其分布的具体表示形式（如分布函数、密度函数、分布律）,一般来说是困难的．

定理13.2.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，E(X)=μ，D(X)=σ2，则，定理13.2.2设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X是样本均值，则～

定理13.2.3

设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，则

定理13.2.4

设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X