线性代数复习知识点

PAGE5/5线性代数复习基本知识点小结2012.05第2章行列式的运算性质；如习题书P5选择题1；展开定理；典型的三角化方法及降阶法.准（次准）对角（上下三角）行列式的计算；克拉默法则。第3章一、矩阵的基本运算矩阵的基本运算；矩阵乘法技巧；重要的运算性质（如乘法的结合律，特性：乘法一般不满足交换性，消去律，有零因子）；各种运算混合在一起时的关系（课本68页矩阵转置与其他运算的关系；69页定理3.1：行列式与其他运算的关系；70页推论2下面的注,即一般）；方阵的迹及其运算性质（课本70页）；准对角矩阵的结论（课本75页命题3.2）；1）掌握定理3.3（初等变换与初等矩阵的联系）；掌握初等矩阵的转置及逆矩阵.如109页11题;习题书15页选择题5.2）当可逆时，二、可逆矩阵1、运算性质：可逆性的判定：定理3.4及命题3.7求逆矩阵的方法：※伴随矩阵法（如2阶矩阵）；分离因子（命题3.7）；初等行变换；※分块求逆：（分块化为准对角，次准对角）课本96-97页公式3-30及3-31，例3.33，习题书也有相应的综合练习题。课本110页26题伴随矩阵：（定义及相关结论）（1）伴随矩阵的定义（课本87页）；（2）；特别当可逆时，（也是一种求的方法）；（3），故二者可逆性一致；（4）当时，有例如：课本110页25题，31题；习题书15页填空题5,6四、矩阵方程：（一般先化简，然后用初等行变换解第一型矩阵方程）五、矩阵的秩：求法：1、原始定义（最高阶非零子式的阶数）；2、初等变换法；3、秩的估计式（主要的4个例如：；；；若则；）六、矩阵的相抵（等价）：定义3.12及定理3.9七、掌握求方阵的幂的主要方法：▲1、结合律（特别是秩1的矩阵）；例如：课本102页例3.38；习题书15页填空题1▲2、对角化方法；例如：习题书55页填空题5；▲3、分块化为准对角阵求幂；例如课本75页例3.154、二项式定理；例如课本66页例3.7第4章一、子空间的证明（两种方法），并会求子空间的基和维数。例如：课本113页例4.2；122页例4.9；141页例4.35；152页题4；156页题41；习题书30页综合题2相关性的判定1、数组向量的相关性的判定：（1）定义（待定系数法）（及与齐次方程组的联系）；（2）命题4.5+定理4.4定理4.1，即利用矩阵的秩求向量组的秩（例如习题书27页填空题1），从而判断相关性。特别n个n元向量可用行列式（例如习题书27页填空题3）。一般线性空间中相关性的判定：（1）定义（待定系数法）；（2）坐标化方法：向量组的相关性坐标组（中）的相关性（定理4.14）；如课本156页43题；153页第9题。掌握若干基本结论：命题4.2,4.3命题4.4,命题4.7，及推论，定理4.9；三、会求向量组的秩及极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示：（例如课本123页例4.10,144页例4.38，习题书27页填空题4）；四、基变换与坐标变换：（课本145页）（1）会求过渡阵（两种方法：1）定义4.17（包括直接观察和用定义列出矩阵方程，要熟练，如课本146页例4.41，习题书27页填空题8）；2）中介基（如课本148页例4.42）（2）求向量在给定基下的坐标：方法一、由坐标的定义（列式子）求解，例如在空间中，或一般线性空间中坐标可直接观察得出时；方法二、坐标变换公式。五、线性方程组：（非齐次及齐次方程组）（1）解的存在及个数的判定（2）求解方法及通解结构：矩阵消元法（3）解的运算性质：典型题：1）含参量的线性方程组的求解：两种方法：例如课本127页例4.15；155页26,27,28；习题书30页综合题5，6，102）解的运算性质通解结构的考察：课本155页题29,303）基础解系定义要点的考察（与相关性的判定结合）：习题书30页综合题34)知识的综合考察：满秩A的行（列）向量组线性无关仅有零解0不是的特征值非退化非奇异；降秩A的行（列）向量组线性相关有非零解0是的特征值退化退化奇异；第5章一、理解相似的概念及其重要性质1、相似的定义（定义5.1）；2、性质：相似是一种等价关系（特别有传递性）；若与相似，则相似于，其中为单变量多项式；几个相似不变量（迹，行列式，秩，可逆性，特征多项式与特征值（但特征向量不是））例如：课本166页例5.5二、理解特征值及特征向量的概念及其性质1、例如：课本200页14题；习题书41页填空题12、为方阵的特征值（或）例如：课本200页13题；习题书44页题2，5；习题书56页题5特别0是的特征值齐次线性方程组有非零解（会逆否命题的叙述）；3、与特征值相同(但特征向量一般不同)；若有一个特征值，且为相应的特征向量，则（为单变量多项式），，（当可逆时）必分别有特征值，且仍为相应的特征向量；例如习题书43页选择题7,104、设为方阵的任一特征值，且，则为的根；例如习题书42页选择题2,3；课本178页例5.145、属于互异特征值的线性无关特征向量组并在一起仍是线性无关的；例如习题书43页选择题11会计算方阵（特别是3阶的）的特征值及特征向量；掌握方阵可对角化的几个条件（课本172页定理5.5及推论），会将三阶方阵对角化，用对角化求方阵或方阵的幂。课本173页例5.9；课本201页17题；200页15题，16题；习题书43页选择题8，44页题5，习题书56页题4线性变换理解线性变换的概念（会验证）；会求线性变换在某一个基下的矩阵（①定义法：定义5.7；②相似关系法：定理5.9）；会求向量在线性变换下的像及像的坐标（命题5.8）。例如：课本201页27题；28题；29题；习题书45页11题第6，7章欧氏空间限于，重点针对。会算内积，掌握施密特正交化方法；正交阵的几种等价定义及性质等价定义：为正交阵的列（行）向量组为标准正交组；性质：若为正交阵，则可逆，且；；与同为的特征值；的实特征值只能是1或-1.同阶正交阵的乘积仍为正交阵；实对称矩阵（掌握）1、实对称阵的性质①有个实特征值；②属于互异特征值的特征向量正交；③每个特征值的几何重数=代数重数；④必可正交相似于对角阵.2、实对称阵的正交对角化的方法，会利用对角化思想求实对称阵（可用谱分解定理）及幂。例如：课本226页的题15,16，14,13；习题书56页综合题4三、关于实二次型：1、掌握用正交变换化三元实二次型为标准形的方法；例如习题书65页综合题1；课本256页题92、会用配方法或观察法找满秩替换化二次型为标准形；3、会求实二次型的秩，正、负惯性指数（定义7.5及其他方法），符号差，规范形.例如习题书64页填空题3，65页综合题34、弄清等价（即相抵）、相似（特别两实对称阵相似等价于特征值相等，即定理6.7）、合同（特别两实对称阵合同等价于特征值同号）正交相似，正交合同的异同。注与实对称阵正交相似的矩阵一定是实对称的；与对称阵合同的矩阵一定是对称的；①定理7.5’(用于判定两实二次型的等价关系)；②正定二次型及正定矩阵掌握正定二次型及正定矩阵的基本判别方法定义法（正向，逆向）；例如课本256页17,21题正惯性指数法