高一年级下册期末考试数学试题汇编及答案解析

高一下学期期末考试数学试题汇编及答案解析

本套试卷精选全国各地重点中学期末测试题，共10份，每份附有详细的答案解析。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.复数Z满足z(l+i)=-2i,则复数2为()

A.—1—zB.—I+/C.1—/D.l+i

【解析】因为复数z满足z(l+i)=-2i,方程的两边同乘l-i,

BPz(l+z)(l-z)=-2z(l-0)所以，2z=-2-2i,:.z=-\-i.

【答案】A

2.已知a,beR,贝lj“ab=0”是“/+从=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】+〃=0=。=0且6=0,a6=0oa=0或6=0,

“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件.

【答案】B

3.设we(0,l),若a=Igm,b=lgnT,c=(Igm?,贝！］()

A.a>h>cB.b>c>aC.c>a>bD.ob>a

【解析】0<w<1,0<w2<zn<l,Igm2<Igm</gl=0,:.b<a<0,

又(Igm)2>0,c>0,:.c>a>b.

【答案】C

4.函数y=x"(x..O)和函数y=/(x.O)在同一坐标系下的图像可能是()

【解析】当时，指数函数歹=优在［0,+00）上单调递增，且过定点（0,1）（凹函数），幕

函数y=/在［0,+00）上单调递增（凹函数）;

当0＜。＜1时，指数函数、="在［0,+8）上单调递增，且过定点（0,1）（凹函数），幕函数

y=£在［0,+8）上单调递增（凸函数）；所以只有C选项满足.

【答案】C

5.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的

含药量y（单位：加g）随时间x（单位：〃）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与

X成正比；药物释放完毕后，y与X的函数关系式为y=（｝…（〃为常数），贝）

A.当x>0.2时，y=(I)1'0-1

B.当0„X.0.2时，y=5x

12

C.三小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25〃7g以下

D.■小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.0625〃?g以下

【解析】X..0.2时，把（0.2,1）代入y=广"，得（g产-"=］,。=o.2,A错;

Q,X,0.2时，设n=京，1=0.2k»所以上二5,即有y=5x,B正确；

02fl2

令(1)-<0.25,《严-。2)<(1),3a-0.2)>2,x>,C正确；

时，《产<铲"。2=针=5=00625,D正确.

【答案】BCD

....同是单位平面向量，若对任意的Li。,〃（”eN*）,都有［或＜；,

6.已知q,a2

则n的最大值为（)

A.3B.4C.5D.6

【解析】依题意,设单位向量7,I的夹角为。,

因为丹•〃/＜；,所以q.Q/=|cos。＜；,cos6＜；,所以。＜8,71,

根据题意，正整数〃的最大值为空-1=5.

n

3

【答案】C

7.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半

圆的直径分别为直角三角形/5C的斜边8C、直角边、AC,已知以直角边ZC、4B为

直径的半圆的面积之比为［，记N4BC=。，则sin'-2c°s0的值为()

4cos8+sin6

A.-1B.-2C.0D.1

【解析】以直角边4C,为直径的半圆的面积分别为:

1,/C、2TT-(AC)21,AB7T-(AB)2

—X7VX(——)=——-———X乃X(——K)2=--———

228228

由面积之比为！，得生[=1,即江=',

4(ABY4AB2

二一2

八AC1.sin0-2cos0tan0-271

在RtAABC中，tan0=tanZ.ABC=---=-,则mi-----------=--------=----=—I.

AB2cosO+sin®l+tan。.I

L1H----

2

【答案】A

8.设函数y=/Xx)(x*0),对于任意正数x2(x,*x2),都曳£2二立g2＞o.已知函

再一x?

数y=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，若/(1)=1,则/⑸,/的解集为()

A.[-1,0)U(0，1]B.(-co,-l]kJ(O,1]

C.(—00,—,+oo)D.[-1,O)|J[1,+00)

【解析】函数y=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，故函数y=/(x)的图象关于点

(0,0)成中心对称，记y=/(x)是奇函数,

、r/、f(x)/、/X-x)

记g(x)=q-,g(-x)=p-=g(x)所以g(x)是偶函数,

对于任意正数不，x2(x^x2),都:/区—)>0,

占一刍

/(X,)f(X2)

、3V3

即$3/3x」-----<>0,所以g(X)在(0,+OO)单调递增，

且g(1)=1,g(x)是偶函数，故g(x)在(-oo,0)单调递减,且g(-l)=l,

当X>0时，f(X),,x3og(x),l=g(1)=>0<A；,1.

当x<0时，/(x),x，Og(x)..』=g(-l)=>x,-1,

故/(琼,1的解集为(-8,-1]U(O,1].

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知关于x的不等式亦2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<2},下列说法正确的是()

A.a<0

B.a+h+c>Q

C.不等式乐+c〉0的解集为{x|x>6}

D.不等式以*+bx+Q<0的解集为卜|一;<x<

a<0

【解析】根据已知条件可知-3+2=-2,可得b=a,°=-6〃，

a

-3x2=-

.a

所以。+Z?+c=—4。>0,故A,B选项正确；

对于C选项bx+c>0,化简可得x<6,故C选项错误；

对于D选项ex?+//+〃<0,化简可得6/一工一1<0,解得一』〈xv]，故D选项正确.

32

【答案】ABD

10.下列四个正方体图形中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的

中点，能得出力8//平面/NP的图形是()

NA

【解析】正方体图形中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点,

对于A,MN//AC,NP//BC,MNC\NP=N,ACO\BC=C,

平面MNP//平面48C,•.♦/8匚平面工8。，；./8//平面仞7尸，故A正确:

对于B,如图，ADIIMN,ACMNP,AD^AC=A,NM(^NP=N,

二.平面4CD//平面MNP,

•••/8C平面ZCZ)=Z,.•./B与平面MVP相交，故B错误；

对于C,如图，取正方体所在棱的中点C,连结PC,则PC///B,

•.•PCC平面A/NP=P,，4？与平面MNP相交，故C错误;

对于D,ABHPM,45仁平面MNP,PA/u平面MNP,

48//平面MNP,故D正确.

【答案】Ad

11.已知a,B是单位向量，且万+5=(1,-1),则()

A.m+b|=2B.1与B垂直

C.2与万一5的夹角为AD.\a-b\=\

【解析】因为。+5=(1,-1),所以|1+月|=/+(-1)2=近,故A错误;

(a+b)2=a2+b2+2a-b^2,因为G,B是单位向量，

所以12=|歼=1,A2=|6|2=1>所以27=0,所以万_L$,故B正确;

|a-b\=y](a-b)2=-Ja2-2a-b+b2=y]a2+b2=^2,故D错误；

a-(a-h)_1_72

因为展(万-B)=万2-2•很=1,所以COS＜方a-h>=

\a\\a-b\~yf2~2

所以。与a-B的夹角为工，故c正确，D错误.

4

【答案】BC

12.在AJ8C中，a,b,c分别为N4,ZB,NC的对边，()

A.若_L=_2_,则A4BC为等腰三角形

sinBsinA

B.若，—=」一,则A48c为等腰三角形

cosBcosA

C.若a=6sinC+ccos8,则NC=—

4

D.tan+tan+tanC<0,则AJBC为钝角三角形

【解析】对于A,若，_贝Ij«sin4=bsin8,由正弦定理可得/=/,即a=b,

sinBsinA

则A48c为等腰三角形，A正确，

对于B,若一--=—-—,则QCOSZ=bcos8,由正弦定理可得sin24=sin25,即4=8或

cosBcosA

4+8=工，则入45。为等腰三角形或直角三角形，B错误，

2

对于C,若a=bsinC+ccos8,则有sin5sinC+sinCcosB=sinJ，

在ZL48c中，sinA=sin(^-B-C)=sin(^+C),又sin(8+C)=sin8cosC+cos8sinC,

故sin8sinC+sinCcosB=sinBcosC+cos8sinC,则有sinBsinC=sinBcosC，

在A48c中，sinBwO,则sinC=cosC,HPtanC=l,又。£(0,1)，则。=一，C正确，

对于D,若tanJ+tan+tanC<0,

则tanA+tanB+tanC=tan(J+B)(l—tanAtanB)+tanC

=-tanC+tanC+tanAtan5tanC=tanAtanBtanC<0,

必有tan/、tan8、tanC必有一个小于0,即/、B、C有一个是钝角，A/13C为钝三角

形，D正确.

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设a=logs-则32"=.

【解析】a=log,4,3"=(3"f=(3'明4>=甲=16.

【答案】16

14.函数y=cos('+x)cosx-cos2x的最小正周期为.

【解析】由函数y=cos(y+x)cosx-cos2x=sinxcosx-cos2x=gsin2x—1+c；s2x

1.,1,16(应.0£,、1y/2.冬1

=—sin2x—cos2x----=—(—sinzx------cs2x)------=—sin(2x——-4-----,

2222222242

二.函数y=cos(5+x)cosx-cos2x的最小正周期为T=~^~=71•

【答案】乃

15.“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型.如图1,正方体的棱长为2,用一

个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的

公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4:兀，

则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为一.

2

Ml取

【解析】正方体的体积为23=8,

AA

其内切球的体积为一万.「二—万，

33

由条件可知牟合方盖的体积为士乃x3=3，

3〃3

故正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为8--=-.

33

【答案】-

3

16.如图所示，在平面直角坐标系X。，中，动点尸以每秒]的角速度从点4出发，沿半径

为2的上半圆逆时针移动到8,再以每秒工的角速度从点6沿半径为1的下半圆逆时针移

3

动到坐标原点。，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间f的函数表达式为—.

【解析】当尸在大圆上半圆上运动时，ZPOA=-t,Q.42,

2

由任意角的三角函数的定义，可得P的纵坐标为y=2sin]f,0..4,2；

当点P在小圆下半圆上运动时，ZPOB=7r+^（t-2）,2</„5,

可得P点纵坐标为y=sin[%+q（f-2）]=-sin[q（f-2）],2<f.5.

2sin—/,0..2

2

动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y=•

yr

-sin[y(r-2)],2<t,5

2siny/,0„2

【答案】y=-

-sin[y(r-2)],2</.,5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》

中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.如图，筒车的半径

为4机，轴心。距离水面2机，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋

转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒尸从水中浮现时（图中点用）开始计算时间.

(1)将点尸距离水面的距离Z(单位：M.在水面下，Z为负数)表示为时间f(单位：

分钟)的函数；

(2)已知盛水筒。与盛水筒尸相邻，0位于尸的逆时针方向一侧.若盛水筒尸和。在水面

上方，且距离水面的高度相等，求时间r.

解：(1)以。为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系，

设尸(xj),则P距离水面的距离2=夕+2,}=sina,"为Ox为始边，。尸为终边的角，

r

由。到水面距离为2,半径/•二心可得='

由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知/［。?=葛*/=如，

则a=〃f-工，则y=rsina=4sin⑶-马，故z=4sin(M-工)+2(/...0).

666

(2)筒车上均匀分布了12个盛水筒，所以/POQ='

设。%)，PW—=sin(«+—),y=4sin(^r/--+—)=4sin^/,

r6066

由P点纵坐标y=4sin(R-工)，尸和。在水面上方，且距离水面的高度相等可得，

6

sin7rt=sin(7z7一7)，

jrjr7

则7tt=Tit——-+2k;r或；rZ=冗_m)+2%乃，解得Z=k+—(kGZ),

6612

由盛水筒P和0在水面上方，则4sin加>-2,即sin7tt>-;，

rr,7jr*7

故2%左一生<乃f<2%%+*(无wZ),则f=2/+三eZ),

7

由"0得，t=2k+—(k&N).

18.(12分)在A48c中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且b=«(sinC+cosC).

(1)求/；

(2)在(1)a=2,(2)B=~,(3)c=J为这三个条件中，选出其中的两个条件，使得

3

A48C唯一确定.并解答之.若，，求A48c的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：(1),/b=a(sinC+cosC),

由正弦定理一^—二，一二——,得sin8=sin4(sinC+cosC),

sinAsinBsinC

又sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cos/sinC,

sinJcosC+cosAsinC=sin4sinC+sin%cosC，cosA=sinA，/.tanJ=1,

冗

0<A<7TA=—

t49

(2)方案一：选条件①和②.

.2x--

由正弦定理，一=—2_,得6=竺吧=—^=&.

sinAsinBsinAJ2

y

由余弦定理//+c。—2tzccos8,得，6=4+c2-2x2cx—,解得c=VJ+l,

2

\ABC的面积S=gacsinB=2(石+l)x-^~=盘".

方案二：选条件①和③.

由余弦定理/=/+c2—»ccos4，得4=〃+2〃_2/，

222

则从=4,所以b=2.:.c=2y/29:.a+b=cfA4BC为直角三角形,

的面积S」x2x2=2,

2

方案三：选条件②和③，A=-fB=-,则。=乃一工一工，

4343

,C.不冗、逐+近

..sinC=sin(—I—)=-----------,

434

由，一=上=，=3=2后，

sinJsin8sinCJ2

~2

b—2V2x=5/6，c—2V2x"+0=5/3+1,「.cwy/2b,

24

此时三角形不存在.

19.(12分)如图，在A4BC中，已知CN=1,CB=2,NACB=60"

D

(1)求5；

（2）已知点。在“8边上，7万=兀历，点E在C8边上，乐=2旅，是否存在非零实数/I,

使得在_L画？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）根据题意，在&48C中，已知。=1,CB=2,NZC8=60。，

贝ijAB2=CA2+CB2-2CAxCBxcos60°=3,则N8=百，

nAB2+BC2-AC2石制n

cosB=-----------------------=—,W!jB=30°,

2ABxBC2

（2）根据题意，假设存在非零实数/l,使得荏，而，

由（1）的结论，CA=l,CB=2,AB=6，

易得NC4B=90。，则有就•而=0,

AE=AB+BE=AB+2JC=AB+A（AC-AB）=（\-A）AB+AAC,

CD=AD-AC=AAB-AC,

若荏_L丽，贝lj万•丽=［（］_/1）荏+2%］＜2羽一刀）=2（1—4）而2-AAC2=0,

解可得：2=；或0（舍），

故存在非零实数2=2,符合题意.

3

20.(12分)已知/(log?x)=or?-2x+1-a,aeR.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解关于x的方程/(x)=m-l>4".

解：(1)令log^x=即x=2L则/(1)=a-(2')2-2-2，+l—a,

即/(x)=q-22，-2-2'+l-a,x&R.

(2)由〃x)=(a-l)4得：a-22x-2-2x+\-a=(a-l)-4x,

化简得，2"—2•2*+1—a=0,即(2*—l)?=a,

当。＜0时，方程无解;

当a..O时，解得2*=1土五，所以若Q,则x=k»g2（l土瓜），

若a.1,则x=k）g2（l+五）•

21.（12分）如图，在等腰梯形/8C。中，AB=2g,CD=g,=1,在等腰梯形CO）

中，EF=2y/2,DE=下,将等腰梯形CDEF沿CO所在的直线翻折，使得E,尸在平面

/8C。上的射影恰好与4,8重合.

（1）求证：平面NDEd.平面N8C。；

（2）求直线8E与平面NDE所成角的正弦值.

（1）证明：在平面4BCO上的射影为/,

AEABCDx又4Eu平面4DE,

平面ADE1平面ABCD.

（2）解：由（1）知平面平面NBCD.

分别延长8c交于点G,连接EG,•••/8=2夜，CD=五,AD=\,

过C,O分别作8/的垂线，可彳导MN=CD=6,

•.•等腰梯形48C£)中，.•.4W=8N=也，又,.•40=1,

2

ZBAD=45°,/.ABC=45°,:.ZAGB=90°,：.ADVBC.

平面/DEC平面/BCZ)=4。，8G_L平面ZZ)E,

所以直线8£1与平面力OE所成角为N8EG,•;BG=2BE=26,sinZ5EG=—

故直线BE与平面ADE所成角的正弦值为正.

3

22.(12分)数学家发现：sinx=x-—+—-—+其中〃！=1X2X3X...X〃.利用该

3!5!7!

公式可以得到：当xw(O,g时，sinx<x,sinx>x-^-+^-；...,

(1)证明：当工£(0,工)时，

2x2

(2)设/(x)=msinx,当/(x)的定义域为口，0时,，值域也为［a,b］,则称口，6］为/(x)

的“和谐区间”.当〃?=-2时，"X)是否存在“和谐区间”？若存在，求出/(x)的所有“和

谐区间”，若不存在，请说明理由.

(1)证明：由已知当x£(0,马时，sinx>x--,

23!

2(~)2、［

得啖「一「》"/所以当xe(O二)时，—>-；

2x2

(2)解：加=-2时，假设存在，则由2知-2,2,

若a,b..O,则由［a,句u［0,王)，知/(琼，0,与值域是［a,Z>］c［0,万)矛盾,

故不存在和谐区间，同理，a,A0时，也不存在,

下面讨论出,0„b,

若b...g则[0,y]c[a,々，故/(x)最小值为-2,于是。=-2,

所以[?]，,b],所以最大值为2,故6=2,

此时/(x)的定义域为[-2,2],值域为[-2,2],符合题意.

若b〈生,当以一生时，同理可得a=-2,b=2,舍去，

22

当a>-工时，/(x)在[a,6]上单调递减，所以Jf"-2S，*nh?,于是a+6=-2(sin“+sin〃),

2[Z?=-2sina

若6>—ci即a+Z>>0,则sinb>sin(—a),故sinb+sina>0,—2(sina+sin/>)<0,

与Q+6=-2(sintz+sinh)矛盾；

若6<-a,同理，矛盾，所以6>-a,即g=sinb,由(1)知当工£(0,])时，sinx>,

因为bw[O,1),所以6=0,从而，Q=0,从而a=6,矛盾，

综上所述，/(x)有唯一的和谐区间[-2,2].

试卷二

一、填空题（每空3分，共39分）

1.已知点/(1,0),8(3,0),向量配=(-4,-3),则向量前=.

【解析】•.•点/(1,0)，8(3,0),.,.在=(2,0),

BC=JC-1B=(-A,-3)-(2,0)=(-6,-3).

【答案】(-6,-3)

2.已知复数z=则|(l-z厉|=.

【解析】vz=-1-/,z=-\+i,(1-z)z=(2+z)(-l+z)=-3+z,

zR|=^(-3)2+l2=Vio.

【答案】Vio

3.若d=(2,-1),6=(-3,4),则万在B方向上的数量投影是-2_.

【解析】向量2=(2,—1),分=(-3,4),所以万石=2x(-3)+(-l)x4=-10,

所以〃在1方向上的数量投影为|码cos®=4，=/=-2.

叫7(-3)2+42

【答案】-2

4.在正方体N8CO-44GA中，棱8片与平面nrg所成角的余弦值为

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1,

则函=(0,0,1),设万=(x,y,z),平面48=(1,0,-1),1^=(1,-1,0),

X=1

私福=0x—z=0_

则_.=y=i所以历=(1,1,1),

x-y=0

n♦4G=oZ=1

棱BB｝与平面48G所成角为0，

所以sin。=|cos〈88i,n)|=|万|=-4==—,则cos0=.

I网I•四百33

【答案】逅

3

5.设x为虚数，若x+：=-l,则/期一击=一.

【解析】x4—=—1,x2+x+1=0,

X

(x-l)(x2+x+1)=0,BPx3-1=0,/.x3=1,

./。22=/⑹4=1,./。22_J_=1_1=0.

【答案】0

6.在四面体中，若棱NC与80所成角为60。，且ZC=8O=4,则连接45,BC,

CD,四条棱的中点所得四边形的面积为一.

【解析】如图，空间四边形/8CO中，

棱4C与8。所成角为60。，SLAC=BD=4,

分别取ZB,BC,CD,D4的中点E,F,G,H,连接E尸，FG,GH,HE,

则EF//GH///C,S.EF=GH=-AC=2,

2

EH//GF////BD,且EH=GF=LBD=2,

2

:"HEF=60°,或/〃£产=120。，不妨取/〃£户=60。，

连接各边中点所得四边形的面积SEFCH=2x2xsin60。=2百.

【答案】26

7.在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别

是l+2i,-2+i,-1-2/,则第四个复数是—.

【解析】设正方形的三个顶点对应的复数分别为方=l+2i,0B=-2+i,0C=-\-2i,

设01)=(〃，b)(a,bwR),

vAB=OB-OA=-3-i,BC=OC-OB=l-3i,

・・・1x(-3)+(-1)x(-3)=0,/.ABLBC,

_f_2—6=—1[a=2

AB=DCf即一3-i=(—l—2i)-(4+bi),z.\,解得<,

1—1—a=-3[b=—1

，历=(2,-1),即第四个复数是2-i.

【答案】2-i

8.已知a、6都是非零向量，且万+3在与7,-5彼垂直，。-4不与73-2$垂直，则G与5的

夹角为.

【解析】2+3$与72-55垂直，

(a+3^)-(75-5私=7尸-15户+16。石=0①

又：a-4b与Ta-2b垂直，

(a-4A).(7a-26)=7a2+8户-305万=0②

由①②得a?=b2=2a-b,

又由cosd=db_,,易得：cos0=—,则。=60。.

\a\-\b\2

【答案】60°

9.已知方程/+2x+〃?=0伽eR)的两根tz,/满足|a-夕|=4,则加=.

【解析】由根与系数的关系可得，a+/3=-2,a13=m,

a-4|=\l(a+p'y-4a/3=j4-4m=4,/.4-4/„=16.m=-3.

【答案】-3

10.正四面体的棱长为2,则所有与N,B,C,。距离相等的平面截这个四面体

所得截面的面积之和为一.

【解析】设E、F、G分别为/8、AC,力。的中点，连结E尸、FG、GE,

则\EFG是三棱锥A-BCD的中截面，

可得平面EFG//平面BCD,点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面8co之间的距

离，

:.A,B、C、。到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体N8CO四个顶点距离相

等的一个平面；

正四面体ABC。中，象△EFG这样的三角形截面共有4个.

•.・正四面体Z8C。的棱长为2,可得EF=FG=GE=1,

.•.AfFG是边长为1的正三角形，可得•尸G・sin60°=/；

取8、8c的中点，、1,连结G〃、HI、IE,

EI、GH分别是\ABC、^ADC的中位线，

//1//1〃

:.EI=-ACGH=-AC,得E/=G",.•.四边形EG"/为平行四边形；

292

u1n1

又且力C_L8O,EI=-AC,HI=-BD,:.EI=HI且EUHI,

22

.•・四边形EG”/为正方形，其边长为1/8=1,

2

由此可得正方形EGHI的面积SEGH,=1；

•••8C的中点/在平面EGHI内，8、C两点到平面EGHI的距离相等;

同理可得。、C两点到平面EG/〃的距离相等，且4、8两点到平面EG4Z的距离相等;

;./、B、C、。到平面EG”/的距离相等,

平面EGH1是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面,

且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，

因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4sM.c+3$印印=4*也+3x1+3・

【答案】6+3

11.已知Z为虚数，且4==是实数，Z2=三—也是实数，则z3的值为

1+z221+Z

【解析】设2=%+加(其中X,yeR,且ywO),则实数

_x+W_x+yi_(x+yz)[(l+x2-y2)-2x)i]_x(]+x+.)+Ml-x7)i,

22222222222

1]+(X+M)2(1+X2-y)+2xyi(1+x-y)+4xy(1+x-y)+4xy

：.y(l-x2-y2)=0(j^0),x2+y2=1,

1

x=——

对于实数Zj同理求得f+/=_2x,联立解得2,

k=±T

z=——+^-i,：.z3=1.

22

【答案】1

12.已知向量力与历的夹角为0,|次|=2,|赤|=1,OP=tOA,而=砺，\PQ\

在0时取得最小值，当0<"<1时，cos。的取值范围为____.

6

【解析】由题意可得刀•丽=2xl+cos。，PQ^OQ-OP=(l-t)OB-tOA,

2

:.\而/=(1-f)21砺『+f2|次『_2?(1-r)04.05=(1-?)+4r-4z(l-/)COS0

=(5+4cos。)/+(-2-4cos0)f+1,

由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，叱陋吧。,

5+4cos6

1

O<<.l+2cos。1

6-0<--------<-，

5+4cos66

v5+4cos0>O,一-<cos0<一一，即cos。的取值范围为(-一.

2828

【答案】（-,,-1）•

28

13.中，ABAC+2BABC=3CACB,则sinC的最大值为

-----------A24-c2—Cl2-----a2+c2—/?2-----a2+Z?2—c2

【解析】vAB*AC=becosA=----------,BABC=-----;...—CACB=--—,

222

b“+C?一矿22>2\3(a,+6'—C")2O2

---------+3+c-/?)=------------,即Hna2+2b-=3c2,

.•・COsc/+b-2+**+2〃)

上+2.2l-—=①

2ab2ab3b6a73b6a3

当且仅当2=包即b=6a时取等号,

3bGa

sinC=小-cosP,,YZ.

3

【答案】—

3

二、选择题(每题4分，共16分)

14.设机，〃是两条不同的直线，a,夕，y是三个不同的平面，下列四个命题中，其中

正确的是()

A.若〃?ua,nIla>则m//〃

B.若a//£,£///,mLa,则加_Ly

C.若a。)夕=〃，m/tn,则机//(?且机//£

D.若a_Ly,/?///,则a//£

【解析】对于A,若〃?ua,n//a,则〃?//〃或加与〃异面，故A错误；

对于B,若a//夕，mYa,则加_L£,由/?///,则机_Ly,故B正确；

对于C,若00]£="，mlIn,mlla,则w///或mu/?,故C错误；

对于D,若a_Ly,£//y,则a_L£,故D错误.

【答案】B

15.若非零不共线的向量方，很满足|&+B|=|B|,贝1()

A.125|>|2a+S|B.\2a|<|2a+b\C.\2b\>\a+2b\D.12b|<|a+2b\

[^1v\a+2b\=]a+b+b\„\a+b\+\b\=2\b\,

a,B是非零向量，，必有2+分*在，上式中等号不成立，，2|B|>|G+2B|.

【答案】C

16.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八

边形窗花.在图3的正八边形4444次444中，4%+方=几44，则2=()

D.&

【解析】如图：连接44，44，A2A7,44与44相交于8,

在44上取一点c,使得丽=京，则而=“，

=m

设|BA3|=m,则|441=144l+血m+〃？=(2+,

---**----.----ni+A/2/W./—

由图可知，A.A,+AA.=A.A.+AC=24,5=2x——=>J2AA,,

7(2+V2)w'1

2=A/2.

【答案】D

17.在等腰三角形A48c中，ABVAC,BC=2,〃为8C中点，N为/C中点，D为BC

边上的一个动点，A48。沿4。翻折至△48'。使8Z)_LOC,点4在面B'8上的投影为点

O,当点。在8c上运动时，以下说法错误的是()

A.线段M9为定长

B.|CO|e[l,V2)

C.存在。的某个位置使得4Mo+4〃)8'>180。

D.存在。的某个位置使得ZCJ.8'。

【解析】如图所示，

对于A,A/10C为直角三角形，CW为斜边/C上的中线，.•.ON='/C=也为定长，故A

22

正确；

对于B,。为A/时，AO=\,CO=l,.-.|C0|e[l,&),故B正确；

对于D,B'D1DC,ACLB'D,ACp\DC=C,8'。_L平面力。C,

,/AMu平面ADC,/.AC_LB'D,

夕力JL平面/DC,4^<=平面］。(7,B'D1AM,

二当。与M重合时，满足NC_L87),故D正确；

对于C,当点。在点"右边时，乙4同。<90。，且9<90。,

故不满足NAMO+ZADB'>180°,

当点。在点“左边时，二面角/-CO-9的平面角为。，

则ZAMO+N/D8'=180°-9+AADB',

•/9>ZADB',AAMO+AADB'<\^0°,故C错误.

【答案】C

三、解答题(本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤)

18.(6分)复数z=(l+z>?-(8+i)加+15-6i(〃?eA),求实数胴的取值范围使得：

(1)z为纯虚数；

(2)z在复平面上对应的点在第四象限.

解：,/z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6z=(w2-8/M+15)+(»?2-m-6)z,

(1)z为纯虚数，需满足-8,”