专题2.5 一元二次不等式的恒成立和有解问题（强化训练）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.5一元二次不等式的恒成立和有解问题题型一一元二次不等式在上恒成立题型二一元二次不等式在区间上恒成立题型三给定参数范围求范围的恒成立问题题型四一元二次不等式在区间上有解题型一 一元二次不等式在上恒成立1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】不等式恒成立，分和两类分析即可得出答案.【详解】由题知，若，不等式为，符合题意；若，要使恒成立，则满足，解得.综上，的取值范围是.故答案为：2．不等式的解集为R，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分类讨论和两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】当时，原不等式为满足解集为R；当时，根据题意得，且，解得．综上，的取值范围为．故选：B．3．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】只需要满足条件即可.【详解】由题意，整理可得，，解得.故选：C.4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，恒成立，满足；当时，需满足，解得.综上所述：，故选：C5．实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是．【答案】【分析】先求出的值，再转化为对一切实数恒成立进行处理即可.【详解】因为实数，满足，所以，得，，因为不等式的解为一切实数为真命题，所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，所以△，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：6．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据定义可得不等式对任意实数x恒成立，再根据根的判别式即可得出答案.【详解】由题意可得不等式对任意实数x恒成立，即不等式对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.7．已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）函数类型不定，需对的系数分类讨论，结合图象即得答案.（2）对应函数类型不定，需对的系数分类讨论，对应方程有根大小不定，需分类讨论，结合图象即得答案.【详解】（1）由已知得，在R上恒成立.①当时，显然不满足题意.②当时，只需满足，解得.综上所述，实数的取值范围为.（2）不等式，即为，即，可化为.①当，即时，，解集为；②当，即时，，解集为或;③当，即时，i当，即时，解集为；ii当，即时，解集为；iii当，即时，解集为.综上所述：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.8．若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可.【详解】命题“”为真命题，则有判别式，解得.故答案为：.题型二 一元二次不等式在区间上恒成立9．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，则，所以m的取值范围是.故选：C10．关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根先将不等式,写为,对整体换元,再进行全分离求最值,分新元是否为零,再用基本不等式即可得出结果.【详解】解:由题知,关于的不等式的解集是,因为,不妨取,,即对于,即,当时,,当时,,当且仅当,即时取等,故,故,综上:.故选:A11．若时，不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值【答案】C【分析】时，不等式恒成立，即，令，求出函数的最大值即可得解.【详解】解：时，不等式恒成立，即，令，故，所以，即实数的最小值为.故选：C.12．设函数.(1)当，且时，解关于x的不等式；(2)当，若“”是“”成立的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由，得，从而有，再分，，讨论求解；（2）由，得到，再根据是成立的充分条件，得到在上恒成立，，再分，和时讨论求解.【详解】（1）解：由函数，，则，得，.①当即，，，；②当，即，；③当即时，，或.综上：①当时，不等式的解集为：R②当时，不等式的解集为：；③当时，不等式的解集为：或；（2）由函数，，则，得，因为是成立的充分条件，所以不等式在上恒成立，则在上恒成立，在上恒成立，，①当时，恒成立，②当时，在上恒成立，，；③当时，在上恒成立，，；综上，实数a的取值范围.13．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1），分三种情况即，，解不等式即可.（2）对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，只需的最大值小于等于0，分情况讨论继而得解.【详解】（1），令，得；当，即时，不等式的解集为：，当，即时，不等式的解集为：，当，即时，不等式的解集为：，（2）对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，当时，只需，解得当时，要使对任意恒成立，只需，显然成立，所以成立，当时，对称轴为，因为，所以在单调递减，所以，所以，综上：.14．设对恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，分（不满足题意）和，解得，两种情况解决即可.【详解】令，若，则，于是，与题意矛盾，所以，此时，那么恒成立，代入，知，解得，所以，所以，当时，对恒成立，满足题意，综上可得，的最大值为，故选：C15．设不等式的解集为A，关于x的不等式（a为常数）的解集为B，若A⊆B，则a的取值范围是.【答案】【分析】先求出集合，然后根据建立关系式，再求的取值范围．【详解】解：由题得.所以.令，抛物线的对称轴方程为.若，则，解得，所以的取值范围是．故答案为：．16．已知函数．(1)若的解集为，求的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由一元二次不等式的性质可得方程的两根为，由韦达定理可得结果；（2）易得，即求出和的范围，结合可得结果.【详解】（1）的解集为的两根为，；（2）时，不等式恒成立，所以所以所以的取值范围是.题型三 给定参数范围求范围的恒成立问题17．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】面对含参不等式，利用分离变量法，由于是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.【详解】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，，所以，解得，故实数x的取值范围是．故选：D．18．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为．【答案】【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，可转化为关于a的函数，则对任意恒成立，则满足，解得，即x的取值范围为．故答案为：19．设函数．(1)若对于，恒成立，求的取值范围；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知可得对于恒成立，分离参数，构造函数，求解函数的最小值即可；（2）根据已知可得对于，恒成立，构造关于的函数，由即可求解的取值范围.【详解】（1）解：若对于，恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立．令，，则，故，所以的取值范围为．（2）解：对于，恒成立，即恒成立，故恒成立，令，则，解得，所以的取值范围为．20．已知关于x的不等式．(1)当时，解关于x的不等式；(2)当时，不等式恒成立，求x的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）分三种情况讨论即可得出结论；（2）换成关于的不等式，只需即可.（1）当时，不等式为，解得，不等式解集为：.当时，不等式等价于，因为，所以不等式解集为：；当时，，不等式解集为：.综上：时，不等式解集为：；时，不等式解集为：；时，不等式解集为：.（2）不等式转化为：，设，因为时，不等式恒成立，所以有，即，即.21．（1）已知，不等式的解集为(0，5)．①求的解析式；②若对于任意的x∈[－1，1]，不等式恒成立，求t的取值范围．（2）若不等式对满足的所有都成立，求的范围.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，由韦达定理即可求解，由恒成立问题转化为最值，根据二次函数的性质即可求解最值，（2）将其看作关于的一元一次不等式，转化为关于的一元二次不等式即可求解.【详解】解：(1)①，不等式的解集是(0，5)，即的解集是(0，5)，∴0和5是方程的两个根，由根与系数的关系知，，∴，∴.②在[－1，1]上恒成立等价于恒成立，设，则其对称轴为则在区间[－1，1]上为减函数，∴，∴，即.（2）因为不等式对满足的所有都成立对恒成立，设​​​​​​​，解得：∴的取值范围为.22．已知函数．(1)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)结合已知条件，分类讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，并结合二次函数性质求最小值即可求解；(2)首先将一元二次不等式转化成关于的一元一次不等式，然后利用一次函数性质求解即可.【详解】（1）由于对于任意，恒成立，故．又函数的图像的对称轴方程为，且开口向上，当时，即时，在上单调递增，故，求得无解；当时，即时，在上单调递减，故，求得；当时，即时，由二次函数性质可知，恒成立.综上所述，实数的取值范围．（2）若对于任意，恒成立，等价于，∴，求得，即的范围为．23．设函数．(1)若，解关于x的不等式．(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对参数分类讨论，结合二次函数的图象可得解集；（2）原问题等价于函数在上恒成立，转化为最值问题.【详解】（1）不等式，即，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．．（2）不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是.24．关于的不等式．(1)当m＞0时，求不等式的解集；(2)若对不等式恒成立，求实数x的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）移项后因式分解，讨论与1的大小关系，即可写出答案；（2）将不等式移项后，将看成自变量，即，则原不等式等价于，由一次函数的性质即可列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以，当，即时：不等式的解集为：或；当，即时：不等式的解集为：；当，即时：不等式的解集为：或；综上所述：当时：不等式的解集为：或；当时：不等式的解集为：；当时：不等式的解集为：或；（2）记，则原不等式等价于对不等式恒成立，只需：，即解得：所以实数x的取值范围是.题型四 一元二次不等式在区间上有解25．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围【详解】设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D26．关于的不等式在内有解，则的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.27．若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．【答案】【分析】根据二次不等式的解法即得；或参变分离，求函数的最值即得.【详解】方法一（判别式法）关于x的不等式可变形为,由题可得，解得,又，所以实数a的取值范围为；方法二（分离变量法）因为，所以关于x的不等式可变形为，因为，所以，解得，又，所以实数a的取值范围为．28．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.【详解】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.29．设，若关于的不等式在上有解，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.【详解】由在上有解，得在上有解，则，由于，而在单调递增，故当时，取最大值为，故，故选：C30．若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为.【答案】．【分析】由题设命题的否定，原不等式在上无解求得的范围后，再求其在实数集中的补集即得．【详解】原不等式在R上有解，它的否定是不等式在上无解，则，解得，因此不等式x2＋mx－2＞0在