新教材选择性必修二7.1两个基本计数原理课件（42张）

第7章计数原理两个基本计数原理基础认知·自主学习1．分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有__________________种不同的方法．2．分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有__________________种不同的方法．N＝m1＋m2＋…＋mnN＝m1×m2×…×mn1．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担任学生会主席，共有________种不同选法．()A．100B．102C．152D．50【解析】选C.这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．10B．16C．20D．24【解析】选A.每一种方法都能证明该问题，根据分类计数原理，不同的选法共有6＋4＝10(种).3．由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为()A．10B．11C．12D．13【解析】选B.根据题意，分2种情况讨论：①当千位为3时，百位有3种情况；十位有2种情况，个位有1种情况，共有3×2×1＝6种情况．②当千位为2时，若百位为1或3时，则剩下的十位有2种情况：个位有1种情况，总共2×2×1＝4种情况，即有4个符合条件的4位数；若百位为0时，只有2031一个符合条件的4位数；综上共有6＋4＋1＝11个符合条件的4位数．4．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．【解析】根据分类计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9种；由分步计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20种．答案：9205．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．【解析】按照焊点脱落的个数进行分类：第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；第二类：脱落两个焊点，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共6种情况；第三类：脱落三个焊点，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共4种情况；第四类：脱落四个焊点，只有(1，2，3，4)1种情况．于是焊点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).答案：136．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有多少种？【解析】参观路线分步完成．第一步，选择三个“环形”路线中的一个游览，有3种方法，而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成；第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法，同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成；第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成，根据分步计数原理，知不同的参观路线种数为3×2×2×2×2＝48.学情诊断·课时测评一、单选题1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10【解析】选C.根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任意一点与直线b确定一个平面，共5个；b上任意一点与直线a确定一个平面，共8个，由分类计数原理得共有5＋8＝13个．2．书架上层放4本不同的数学书，中层放6本不同的外语书，下层放5本不同的语文书，从中任取1本，不同的取法种数为()A．15B．120C．3D．1【解析】选A.由分类计数原理知，共有4＋6＋5＝15种不同的取法．3．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24B．14C．10D．9【解析】选B.由题意可得，不同的选择方式4×3＋2＝14.4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个正五棱柱体对角线的条数为()A．20B．15C．12D．10【解析】选D.由题意知正五棱柱体对角线为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的体对角线有2条．正五棱柱体对角线的条数共有2×5＝10条．5．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为()A．9B．12C．18D．24【解析】选B.由分步计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.6．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{5，8，9}，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为()A．8B．12C．14D．15【解析】选C.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{5，8，9}，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，分为两类：第一类含5，若5来自集合A有2个；若5来自集合B有4个．第二类不含5，共有4×2＝8个.则可以组成这样的新集合的个数为2＋4＋8＝14(个).二、填空题7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有________种；如果允许回头，则不同的行车路线有________种．【解析】完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个、第3个、第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线．若允许回头，则有4＋4＋4＋4＝16种不同的行车路线．答案：12168．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的情形有________种【解析】分4类：第一类，摸出的5个球所标数字之和为0，即摸出的5个球标的数字都是0，有1种情形，第二类，摸出的5个球所标数字之和为1，即摸出的5个球有4个球标的数字都是0，有1个是1，有5×5＝25种情形，第三类，摸出的5个球所标数字之和为4，即摸出的5个球有4个标的数字都是1，有1个是0，有5×5＝25种情形，第四类，摸出的5个球所标数字之和为5，即摸出的5个球标的数字都是1，只有1种情形，所以共有1＋25＋25＋1＝52种情形．答案：529．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有______个，其中不同的偶函数共有______个．(用数字作答)【解析】组成不同的二次函数分三步．第1步：确定a的值，a可以从－1，1，2三个数中选一个，有3种选法．第2步：确定b的值，b可以从a选中的剩余的三个数中选一个，有3种选法．第3步：确定c的值，c从剩余的两个数中选一个，有2种选法．所以共有：3×3×2＝18(个).f(x)若是偶函数则必须有a≠0，b＝0，所以共有：3×2＝6(个).答案：18610．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为__________．【解析】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，由分类计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.答案：19三、解答题11．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？【解析】(1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．12．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？【解析】(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．一、选择题1．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有()A．240种B．180种C．120种D．90种【解析】选D.根据分类计数原理，得方法种数为30＋20＋40＝90(种).2．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有________本．()A．14B．16C．18D．20【解析】选C.完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本).3．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为()A．64B．72C．60D．56【解题指南】先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和．【解析】选A.因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝48，因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因此比赛进行的总场数为48＋16＝64.4．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种【解析】选B.设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．二、填空题5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．【解析】由题意，A＝{1}时，B有23－1种情况；A＝{2}时，B有22－1种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1，2}时，B有22－1种情况；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案：176．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为________．【解析】圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3个量a，b，r确定，确定a，b，r分别有3种，4种，2种选法．由分步计数原理，表示不同圆的个数为3×4×2＝24.答案：247．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．答案：568．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．【解析】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40