8.3简单几何体的表面积与体积

§8.3简单几何体的表面积与体积几何体表面积体积说明图示柱体棱柱S棱柱＝S侧＋2S底V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h锥体棱锥S棱锥＝S侧＋S底V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h台体棱台S棱台＝S侧＋S上底＋S下底V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)V圆台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h球体S球＝4πR2V球＝eq\f(4,3)πR3R为球的半径题型一：几何体的表面积和体积【典例】1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.2．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为.【答案】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.3．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．4．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B5．在正四棱台中，，则该棱台的体积为．【答案】/【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.6．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【答案】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.【方法总结】求几何体体积的常用方法：①公式法：直接代入公式求解；②等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等；④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．题型二：内切球、外接球问题【典例】1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．【方法总结】1.球的截面问题：如图，设小圆的圆心为o′，半径为r，球的球心为o，半径为R，则①oo′⊥圆面o′；②R2＝r2＋oo′2.2.（1）球与多面体：①多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等(球半径)；②多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等(球半径)（2）球与旋转体：①旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球截面；球心在旋转轴上．②旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上．2．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是4．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有5．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．【答案】12【