2022年泉州市南安市九年级中考数学一模试题卷附答案解析

年泉州市南安市九年级中考数学一模试题卷一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约．将数字55000000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.2.如图，该几何体的主视图是（）A.B.C.D.3.下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A.AB＝CD B.AB＝BC C.∠BAD＝90° D.AC＝BD4.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（）A. B.0 C.3 D.5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.6.在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差7.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A. B. C. D.8.在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝，∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（）A.BO＝BC B.OC＝BC C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形9.《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（）A. B. C. D.10.已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（）A.1 B. C.2 D.4二、填空题：本题共6小题11.因式分解：___．12.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=2，AB=__________．13.如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点，则度数为________度．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．

15.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为______元/千克．16.如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形；④的周长等于长的2倍．其中正确结论的序号是___（把你认为所有正确的都填上）．三、解答题：本题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解不等式组：．18.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．19.先化简，再求值：，其中，．20.如图，在中，，．（1）在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形．21.如图：在平面直角坐标系中，已知⊙经过坐标原点，与轴，轴分别交于、两点，点坐标为，与⊙相交于点，且，求图中阴影部分的面积．22.某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如表所示．份量小份装大份装成本（元份）4060售价（元份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元为整数）．每售出一份小份装可获利元，此时大份装每天可售出份．（3）当取何值时，每天获利最多？最大利润多少元？23.某家庭计划购买1台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个40元．在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100元．商家收集整理了100台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考．记x表示1台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，y表示1台净水器在购买滤芯上所需的费用（单位：元）（1）以这100位客户所购买净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于10的概率（2）假设这100台净水器在购买同时每台都购买9个滤芯或每台都购买10个滤芯，分别计算这100台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台净水器的同时应购买9个还是10个滤芯？24.如图，先将绕点顺时针旋转得到，再将线段绕点顺时针旋转得到，连接、、，且．（1）若．①求证：、、三点共线；②求的长；（2）若，，点在边上，求线段的最小值．25.已知抛物线与轴交于点A．（1）直接写出抛物线的对称轴：；（2）若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值；（3）若点A的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围．（一）一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约．将数字55000000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．

故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式并正确确定a及n的值是解题的关键．2.如图，该几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置几何体判断出主视图图形即可．【详解】从正面看所得到的图形为故选【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．3.下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A.AB＝CD B.AB＝BC C.∠BAD＝90° D.AC＝BD【答案】B【解析】【分析】分别根据选项所给条件结合菱形的判定方法逐一进行判断即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、当AB＝CD时，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得到平行四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；C、当∠BAD＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键．4.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（）A. B.0 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数【详解】解：∵∴，两点对应的数互为相反数，∴可设表示的数为，则表示的数为，∵∴，解得：，∴点表示的数为-3，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程．5.下列计算正确的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算作出判断．【详解】解：A.，故此选项不符合题意；B.，正确，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．6.在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】由于比赛取前7名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．7.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中点，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∵OC⊥AB,∴，,∴∴∴圆心O到弦AB的距离为，故选C.【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8.在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝，∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（）A.BO＝BC B.OC＝BC C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证∠OCB=α°，则∠DBC=∠OCB，得OB=OC，然后得AC=BD，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠DBC=α°，∠BOC=β°，β=180-2α，∴2α°+β°=180°，∵∠DBC+∠BOC+∠OCB=180°，即α°+β°+∠OCB=180°，∴∠OCB=α°，∴∠DBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故选D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质．9.《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据题意可得：，故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.10.已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A在点B的左侧，∵二次函数的图象交轴于两点，∴令时，则有，解得：，∴，∴，∵图象上有且只有三点满足，∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵，∴点，∴；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题：本题共6小题11.因式分解：___．【答案】【解析】【分析】直接提取公因式m即可：．【详解】．故答案为．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式，提公因式后确定另一个因式，是解决此类问题的关键．12.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=2，AB=__________．【答案】【分析】根据解直角三角形的方法，即可求得．【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=2，，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是性质是解决本题的关键．13.如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为________度．【答案】30【分析】先求出正六边形的每一个内角的度数得到，根据正方形的性质得到，进而求出，然后根据三角形外角求解．【详解】解：如下图，因为正六边形的每一个内角的度数为，∴．∵正方形的每一个内角为，∴，∴，在中，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查正四边形和六边形的内角，三角形外角性质，求出正六边形的每个内角度数是解答关键．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．【答案】1【分析】连接OB，依据切线长定理可求得PA=PB，在通过证明三角形全等得到∠OPA的度数，然后依据切线的性质可证明∠OAP为直角，依据含30°直角三角形的性质可求得OA的长.【详解】连接OB．∵PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∴PA=PB，∴∠OBP=∠OAP=90°∵OP=OP，OA=OB∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．∴OA=OP=1．故答案为：1．

【点睛】本题主要考查的是切线的性质以及含30°直角三角形的性质，利用切线的性质作出辅助线是解题的关键．15.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为______元/千克．【答案】24【分析】根据题意及加权平均数的求法可直接进行求解．【详解】解：由题意得：（元/千克）；故答案为24．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数求法是解题的关键．16.如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形；④的周长等于长的2倍．其中正确结论的序号是___（把你认为所有正确的都填上）．【答案】①③【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，再证明△AMN≌△AHN（SAS），∠NDH=90°，从而可判断①，过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：证明△ABE≌△ADG，可得BE=DG，AG=AE，∠EAF=∠GAF=45°，同理可证：EF=GF=DF+BE，∠AEF=∠G，设DF=x，BE=DG=y，可得CF=x，CD=BC=AD=2x，EF=x+y，CE=BC-BE=2x-y，再利用勾股定理求解，设x=3m，则y=2m，再利用正切的定义可判断②；证明△AMN∽△DFN，△ADN∽△MFN，可得∠MAF=∠MFA=45°，可判断③，证明△CEF的周长=2AB，可判断④．【详解】解：正方形，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠HAF=45°，∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，∴AH=AM，BM=DH，∠ABM=∠ADH=45°，又AN=AN，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN=HN，而∠NDH=∠ADB+∠ADH=45°+45°=90°，Rt△HDN中，HN2=DH2+DN2，∴MN2=BM2+DN2，故①正确；过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，∠ABE=∠ADG=90°，∴△ABE≌△ADG（ASA），∴BE=DG，AG=AE，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠GAF=45°，同理可证：EF=GF=DF+DG=DF+BE，∠AEF=∠G，设DF=x，BE=DG=y，而是的中点，CF=x，CD=BC=AD=2x，EF=x+y，CE=BC-BE=2x-y，Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，∴（2x-y）2+x2=（x+y）2，解得，（不合题意的根舍去）设x=3m，则y=2m，∴AD=2x=6m，DG=2m，Rt△ADG中，tanG=，∴tan∠AEF=3，故②不符合题意；∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，∴△AMN∽△DFN，∴，∴，∵∠AND=∠FNM，∴△ADN∽△MFN，∴∠MFN=∠ADN=45°，∴∠MAF=∠MFA=45°，∴△AMF为等腰直角三角形，故③符合题意，∴△CEF的周长=EF+EC+CF=GF+EC+CF=（DG+DF）+EC+CF=DG+（DF+FC）+CE=BE+CD+CE=CD+BC=2AB，故④不符合题意．故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．三、解答题：本题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解不等式组：．【答案】【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式解集的公共部分即可．【详解】解：解不等式组：．解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，掌握“解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键．18.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．【详解】证明：∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠DCB=∠FBE，在△CED和△BEF中，，∴△CED△BEF（ASA），∴CD=BF，∴AB=BF．【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质2．三角形全等的判定定理．19.先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，最后把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式•，当x2，y2时，原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.如图，在中，，．（1）在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，根据等边对等角可得∠CAD＝∠C，进而可得∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，然后可得答案．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】∵∠BAC＝90°，∠C＝30°∴∠B＝60°，又∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，即△ABD是等边三角形．【点睛】此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．21.如图：在平面直角坐标系中，已知⊙经过坐标原点，与轴，轴分别交于、两点，点的坐标为，与⊙相交于点，且，求图中阴影部分的面积．【答案】【分析】连接，可得是直径，再由圆周角定理可得，然后根据点的坐标为，可得，从而得到圆的半径为2，再由，即可求解．【详解】解：如图，连接，，是直径，∵，∴，∵点的坐标为，∴，，∴AB=2AO=4，∴圆的半径为2，∴．【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解直角三角形，圆周角定理，等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22.某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如表所示．份量小份装大份装成本（元份）4060售价（元份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元为整数）．每售出一份小份装可获利元，此时大份装每天可售出份．（3）当取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？【答案】（1）2600元（2），（3）当元时，每天获利最多，最大利润为2768元【解析】【分析】（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，根据题意列出方程，解方程即可；（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；（3）根据总利润=小份装利润+大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．小问1详解】设该店每天大份菜品卖份，小份菜品卖份，由题意得：，解得：，则，该店总利润为（元，该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；【小问2详解】①小份菜售价提高元之后，售价为元，利润为元小份菜售价增加元后，销量减少了份，则目前每天销售小份菜份，因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了份，则大份菜会增加份，则大份菜销量为份．每售出一份小份菜可获利元，大份菜可售出份，故答案为：，；【小问3详解】由（2）可知，大份装多售出份，大份装降价元，假设利润为，则，该二次函数开口向下，对称轴为，是整数，当时，有最大值，最大值为（元，当元时，每天获利最多，最大利润为2768元．【点睛】本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式．23.某家庭计划购买1台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个40元．在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100元．商家收集整理了100台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考．记x表示1台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，y表示1台净水器在购买滤芯上所需的费用（单位：元）（1）以这100位客户所购买的净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于10的概率（2）假设这100台净水器在购买的同时每台都购买9个滤芯或每台都购买10个滤芯，分别计算这100台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台净水器的同时应购买9个还是10个滤芯？【答案】（1）（2）购买1台净水器同时应购买9个滤芯【解析】【分析】（1）根据表中信息求得更换滤芯数大于10的频数，然后利用概率公式求得答案即可；（2）利用平均数公式求解即可．【小问1详解】解：因为在100台净水器中，一台净水器在使用期内更换滤芯件数大于10的频数为10（台），故估计一台净水器在使用期内更换滤芯件数大于10的概率为-【小问2详解】解：若每台净水器在购买同时都购买9个滤芯，则这100台净水器中有70台在购买滤芯上的费用为9×40＝360，20台的费用为360+100＝460，10台的费用为360+2×100＝560，∴这100台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为：，若每台净水器在购买同时都购买10个滤芯，则这100台净水器中有90台在购买滤芯上的费用为10×40＝400，10台的费用为400+100＝500，∴这100台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为，比较两个平均数可知，购买1台净水器同时应购买9个滤芯．【点睛】考查了统计的知识，解题的关键是仔细的观察统计图，能从统计图中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．24.如图，先将绕点顺时针旋转得到，再将线段绕点顺时针旋转得到，连接、、，且．（1）若．①求证：、、三点共线；②求的长；（2）若，，点在边上，求线段的最小值．【答案】（1）①证明见详解；②BG=4（2）线段PD的最小值为2+2【解析】【分析】(1)①由旋转的性质可得∠ACD=90°=∠BCE，AB=DE，BC=CE，AC=CD，∠ABC=∠DEC=135°，由等腰三角形的性质可得∠BEC=45°=∠CBE，可证∠BEC+∠CED=180°，可得结论;②通过证明四边形ABDG是矩形，可得AD=BG，由等腰直角三角形的性质可求解;(2)由垂线段最短可得当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求DE的长，由正方