高考数学分类汇编（高考真题+模拟新题）不等式文

E单元不等式

El不等式的概念与性质

5.,［2014•山东卷］已知实数满足a*<柔(0<水1),则下列关系式恒成立的是()

A./>/

B.sinx>siny

C.ln(f+l)>ln(/+l)

11

D,7+T>7+T

5.A［解析］因为a'<a"(0VaVl),所以x>y,所以/>/恒成立.故选A.

5.［2014•四川卷］若a>6>0,c<d<0,则一定有()

5.B［解析］因为cVdVO,所以即一］一(>0,与a>6>0对应相乘得,

oh

所以?,，故选B.

ac

E2绝对值不等式的解法

9.、［2014•安徽卷］若函数F(x)=|x+l|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为

)

A.5或8B.-1或5

C.一1或一4D.-4或8

9.D［解析］当a22时，

"3x+a+l(x>-1),

x+a—

~Zx—a—1

由图可知,当X=-］时，/min(%)=1=3,可得a=8.

3x+a+l(x>-习，

当水2时，代,—La+(—VW-

3

j—3x—a—1(X—1)

X

5

1

山图可知，当x=一楙时,£in(x)=/「号

—2+1—3,可得a—4.综上可知，a的值

为一4或8.

「「人「

cosnx,才£0,-,

当xNO时，F(x)=</、

10.[2014•辽宁卷]已知f(x)为偶函数,

2x~1,才£仁，+8),

则不等式

/•(x-i)wg的解集为()

「12］「4T

A•［不3jUL?4.

3inri2-

B-L"?一句“73.

-13］「4T

C•悻4jUL?4.

「3nri3-

D-L"?一帆》］

10.A［解析］由题可知，当xe0,T时，函数F(x)单调递减，由cos五得;

乙O

Wxwg；当入心+8)时，函数f(x)单调递增113

由2x—IWj,彳导故当xNO时，

乙乙勺

1131r3r

由f(x)得可WxW?又因为/•(*)为偶函数所以的解解集为一不一三U

Z[_TT«5_

risi1R113r12~

3-4>所以不等式『(”—DW楙的解满足一：W六TW—§或1W],解得xGU

:4r

.3'4.'

x(*+2)>0,

3.、［2014•全国卷］不等式组।的解集为()

A.{x|—2<x<—1}B.{x\—1<JT<0}

C.{%|0<x<l}D.{%|x>l}

x(x+2)>0,x>0或求一2,

3.C［解析］由，得即0</1.

J水1,—KX1,

E3一元二次不等式的解法

x（x+2）>0,

3.、［2014•全国卷］不等式组।।的解集为（）

A.{x\-2<x<-\]B.{x\—1<JT<0}

C.{x|0<x<l}D.

x(x+2)>0,x〉0或_¥<—2,

3.C［解析］由得即0<Kl.

—1<X1,

E4简单的一元高次不等式的解法

E5简单的线性规划问题

x+y1—2N0,

13.［2014•安徽卷］不等式组■x+2y-4W0,表示的平面区域的面积为一

.x+3y-2,0

13.4［解析］不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，心胸=以的+力解=/

X2X(2+2)=4.

13.［2014•北京卷］若x,y满足则的最小值为.

、x+p—1N0,

13.1［解析］可行域如图，当目标函数线2=/+/了过可行域内4点时，Z有最小值,

卜=1，

联立彳.得力（0,1）,故&in=r:X0+lX1=1.

［x+y—1=0,

x+y—7<0,

11.,［2014•福建卷］已知圆G（x—aV+J—6）2=1,平面区域Q：<x—y+3N0,若

田0.

圆心CWQ,且圆，与x轴相切，则a'+G的最大值为（）

A.5B.29

C.37D.49

x-\-y-7W0,

11.C［解析］作出不等式组<才一7+320,表示的平面区域Q（如下图阴影部分所示,

J20

含边界），圆G（才一力2+⑺一力2=1的圆心坐标为Q,吩,半径为1.由圆，与x轴相切,

x+y-7=0,1x=6,

得6=1.解方程组'得即直线x+y-7=0与直线y=l的交点坐标为（6,

gl，gl，

1）,设此点为N

又点C6Q,则当点C与。重合时，a取得最大值,

所以，a'+d的最大值为苗+12=37,故选C.

x+2y<8,

4.［2014•广东卷］若变量x,y满足约束条件«0W在4,则z=2x+y的最大值等于

-0Wj<3,

）

A.7B.8

C.10D.11

4.D［解析］作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线7：

2x+尸0,平移该直线，当直线经过点力(4,3)时:直线/的截距最大，此时z=zx+y取

得最大值，最大值是11.

彳+2尸8

2x+y=0

x+y^4,

4.［2014•湖北卷］若变量X,y满足约束条件,X—Z2,则2x+y的最大值是

、x20,

()

A.2B.4C.7D.8

卜+K4,

4.C［解析］作出约束条件x—j<2,表示的可行域如下图阴影部分所示.

〔心0,y20

x+y=4

设z=2x+y,平移直线2x+y=0,易知在直线x+尸4与直线x—y=2的交点4(3,

D处，z=2x+y取得最大值7.故选C.

x+j<4,则z=2x+y的最大值为

介1,

13.7［解析］依题意，画出可行域，如图所示.

由］4’得点6的坐标为白，1),则z=2x+y在8(3,1)处取得最大值7.

1尸1

/Vi_2_3X,

2x+y—220,

14.［2014•辽宁卷］已知筋y满足约束条件”一29+420,则目标函数z=3x+4y

、3x—p—3W0,

的最大值为

14.18［解析］不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z=3x+4y得尸一宁

X—2y+4=0,jy~~2

x+2,当直线经过点。时，Z取得最大值.由，得一'故C点坐标为（2,

3%—y—3=0,.7=3,

3),这时z=3X2+4X3=18.

X—y20,

15.[2014•全国卷]设x,y满足约束条件,*+2j<3,则z—x+4y的最大值为

.A—2zSL

15.5［解析］如图所示，满足约束条件的可行域为△/1比'的内部（包括边界），z=x+

4y的最大值即为直线尸一的截距最大时z的值.结合题意知，当尸一%十%经

过点小时，Z取得最大值，联立X—尸0和x+2尸3,可得点力的坐标为（1,1）,所以Zmax

=1+4=5.

x+p—120,

9.［2014•新课标全国卷H］设必y满足约束条件卜一y-IWO,则z=x+2p的最

/—3y+3N0,

大值为（）

A.8B.7

C.2D.1

9.B［解析］作出约束条件表示的可行域（略），可知该可行域为一三角形区域，当目

标函数通过可行域的♦个顶点（3,2）时，目标函数取得最大值，Zmax=3+2X2=7.

x+y^a,

IL［2014•全国新课标卷I］设必y满足约束条件-且/=>+”的最小

.才一-1,

值为7,则a=（）

A.-5B.3

C.-5或3D.5或一3

11.B［解析］当水0时:作出相应的可行域，可知目标函数z=x+@不存在最小值.

目标函数在｛点取得最小

a

_]2I

a—1a+1,知Zmin=gf+°'21=7,解得3=3或一5（舍去）.

值.由-2~，~1~

x—y—1W0,

10.［2014•山东卷］已知小p满足约束条件'°、八当目标函数z=ax+

2x—y330,

by(a)0,力0)在该约束条件下取到最小值2m时，a?+炉的最小值为()

A.5B.4

C.mD.2

10.B［解析］画出关于x,y的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示.

显然当目标函数z=ax+Z?y过点/⑵1)时，目标函数z=ax+6y取得最小值，即24

—2a+b,所以2m-2a=6,所以^+tf—if+(24-2a)：=5a2—8ma+20.构造函数m(a)

=5a‘一8乖a+20(0<a〈乖),显然当时，函数加(a)取得最小值4.故J+炉的最小值

为4.

6.、［2014•四川卷］执行如图1-2的程序框图，如果输入的x,ydR,那么输出的S

的最大值为()

图1-2

A.0B.1C.2D.3

卜+Z1，

6.C［解析］题中程序输出的是在的条件下S=2x+y的最大值与1中较

bo

大的数.结合图像可得，当x=l,尸0时，S=2x+y取最大值2,2>1,故选C.

x+y—220,

2.［2014•天津卷］设变量x,y满足约束条件“x—y—2W0,则目标函数z=x+2y的

最小值为()

A.2B.3C.4D.5

x+y—2=0,\x—\,

联立解得可得点/(1,1).

.尸I尸1，

当目标函数线过可行域内力点时，目标函数有最小值z=lX1+2X1=3.

，+2y—4W0,

12.［2014•浙江卷］若实数x,y满足<x—y—l<0,则x+y的取值范围是.

12.［1,3］［解析］实数x,y满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中

4(1,0),8(2,1),《1,胃.令z=x+y,则y=—x+z.当直线y=-x+z经过4点时，z

取最小值1;经过6点时，z取最大值3.故x+y的取值范围是［1,3］.

E6基本不等式，石4”2

2

9.、［2014•重庆卷］若10gl(3a+46)=logN^>,则a+6的最小值是()

A.6+2小B.7+2小

C.6+4/D.7+4y/3

9.D［解析］由logi(3a+46)=log/\/瓦，得3a+46=a6,则一+7=1,所以a+b=

au

(<3+6)色+9=7+?+与27+2•言=7+4m,当且仅当?=■，即a=4+2

小,b=24+3时等号成立，故其最小值是7+4小.

16.［2014•湖北卷］某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量网单位

时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度M假设车辆以相同速度。行驶，

单位：米/秒)、平均车长/(单位：米)的值有关，其公式为尸="：8°：；；0/

(1)如果不限定车型，7=6.05,则最大车流量为辆/小时；

(2)如果限定车型，7-5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.

16.(1)1900⑵100［解析］⑴依题意知，DO,v>0,所以当7=6.05时，

.76000u7600076000

仁户+18叶⑵=上⑵1~I—=1900,当且仅当片11时，取等号.

叶〒+182A/K.—+18

(2)当1=5时,

76000K―76000

£=声+18》+100=-,100,~W2000,

V卜一+18

v

当且仅当-10时、取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.

14.、［2014•江苏卷］若△力欧的内角满足sin力+镜sin片2sinC,则cosC的最

小值是.

14.亚斗［解析］设△4纪的内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,则由正弦定

理得a+yf2b=2c.故

cos

2ab44

当且仅当3a2=2行,时等号成立.

16.［2014•辽宁卷］对于c>0,当非零实数a,8满足4a'—Zab+b?-c=0且使|2a+

124

引最大时，1的最小值为

abc

16.—1［解析］因为4a—2ab+Z?2—c=0,所以（2a+6"-c=6a6=

/Q|7\2

3X2a6W3义q’,所以（2升份M40,当且仅当b=2a,c=4才时，|2a+6|取得最

12421（\、2

大值.故人+3+&=2+刍=一+1—1,其最小值为一L

abcaa\aJ

22

21.,,［2014•山东卷］在平面直角坐标系x%中，椭圆C：・+5=l（a>6>0）的离心率

为乎，直线尸x被椭圆。截得的线段长为斗叵.

（1）求椭圆C的方程.

（2）过原点的直线与椭圆C交于46两点（48不是椭圆。的顶点）.点〃在椭圆C上,

且/人被直线即与x轴、y轴分别交于必M两点.

（i）设直线被和/的斜率分别为左，在，证明存在常数才使得幺=八%,并求出乂的

值；

（ii）求△。腑'面积的最大值.

21.解：（1）由题意知，詹三立=理，可得才=4左

32

椭圆,的方程可简化为*+4/=/

将y=x代入可得x=土^

因此蛆义处昇="?，即a=2,所以。=1,

所以椭圆。的方程为］+/=L

⑵⑴设/（M,必）（汨w#0）,〃（矛2,㈤，则8（一由，—yi）.

因为直线四的斜率媪弋且恕1相

所以直线4〃的斜率k=—8.

71

设直线力〃的方程为y=kx+m,

由题意知20,%#0.

y=kx+m,

由,/2消去外得（1+4〃2）*2+8加〃才+4君一4=0,

w+y=1，

所以*+必=一言与，

因此巾+%=4（用+*2）+2勿=］；；］

由题意知XiW—在，

1_

所以左=

X\+X24〃—4汨

所以直线划的方程为了+力=卢(彳+为).

令产=0,得X=3E,即J/(3x,0).

可得先=一念

2X1

所以41=-3T2,即4=一；

因此，存在常数4=-3使得结论成立.

(ii)直线劭的方程y+y=)(x+xi)，

令x=0,得y=-,%,即」1(0，一%)

由⑴知"(3为,0),

[3

所以△0物V的面积S=]X3|xi|X/y"=

9

gI^il1I.

因为IxjIM1<£+*=1，当且仅当年■=1川=乎时，等号成立,

9

此时S取得最大值曰

O

9

所以△Q物V面积的最大值为g

O

E7不等式的证明方法

20.、、[2014•天津卷]已知o和〃均为给定的大于1的自然数，设集合后{0,1,2,…,

g—1},集合力={x|x=xi+x20+…+的，1x£M,i=l,2,…，n].

(1)当g=2,〃=3时，用列举法表示集合4

⑵设s,/，s=a+a^q+…+金/,2=6+Z^g+…+6国"1其中&,bgM,i=

L2,­•­,i证明:若&Vbn,则sVZ.

2

20.解：(1)当g=2,刀=3时，，"={0,1},A={x\x=x\+x2•2+^3•2,x£M,f=l,

2,3},可得力={0,1,2,3,4,5,6,7}.

(2)证明：由s,1£4s=a\+a2q~\---\-a,tq~\t=bi+bzQ-\----\~bnq~\as9bgM,i

=1,2,­••,〃及a<6〃，可得

l

s-t=(HLbi)+(a2—&)(/+••,+(&i-8L】)q~1+(须一b)q~

M(g-1)+(〃-1)Q-\---F(q-1)qn~2—q~{

(—11)(1-g"।)〃_]

=-l<0,

所以<t.

E8不等式的综合应用

16.[2014•浙江卷]已知实数a,b,。满足a+b+c=O,a~+lr+^2=1,则a的最大

值是

16.坐［解析］方法一：令b=x,c=y,贝ijx+y=~a,x+y2=l—a2,此时直线x

o

+y=—a与圆f+/=1一—有交点，则圆心到直线的距离二？，解得，w|,

所以a的最大值为幸.

方法二：将c=—(a+6)代入才+//+/=1得262+2a6+2才-1=0,此关于6的方程

有实数解，则/=(2a)2-8(2a2-l)》0,整理得到才W,,所以a的最大值为*.

•JO

9.、［2014•安徽卷］若函数/'(x)=|x+l［+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为

)

A.5或8B.—1或5

C.-1或一4D.-4或8

9.D［解析］当a22时，

"3x+a+l(x>—1),

x+a-1),

f(x)=V

—2>x-a—1(水一51

由图可知,当x=—

3x+a+l(x〉-

当a<2时,

—X-一a+i(-iw启-3

、一3x—a—1(水一1).

由图可知，当X=一割寸，£in(x)=(一号==广+1=3,可得a=-4.综上可知，a的值

为一4或8.

9.［2014•福建卷］要制作一个容积为4m高为1m的无盖长方体容器.已知该容器

的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()

A.80元B.120元

C.160元D.240元

9.C［解析］设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3,高为1m.得另一边长

“4

为一m.

x

记容器的总造价为y元，则

尸4X20+2(x+：)x1X10

=80+20(叶；］

>80+20X2-\J^«

=160,

4

当且仅当*=-，即x=2忖等号成立.

X

因此，当x=2时:y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元，故选C.

19.、、、［2014•江苏卷］已知函数/U)=e'+er,其中e是自然对数的底数.

(1)证明：F(x)是R上的偶函数.

(2)若关于x的不等式裙(x)We:+kl在(0,+8)上恒成立，求实数〃的取值范围.

(3)已知正数a满足：存在不右［1,+8),使得『(扬)<a(—"+3xo)成立.试比较e'i

与a'Y的大小，并证明你的结论.

19.解：(1)证明：因为对任意xdR,都有/'(-x)=e-、+e-(—x)=ef+e*=f(x),

所以Ax)是R上的偶函数.

(2)由条件知勿(一+尸一1)・「一1在(0,+8)上恒成立.

令t=e'(^>0),贝(It>l,所以辰-J,；］=

--------------对任意力1成立.

i+h1

因为1+吉+9217+1=3,所以一-------匕------2一

(t—1),—

1+h1

1

3,

当且仅当t=2,即x=In2时等号成立.

因此实数m的取值范围是(一8,一；.

(3)令函数g{x}—er+A—a(—f+3x),贝Ug'(x)=e'—"+3a(f—1).

当时，ev—A>0,V—120.又力0,故gf(A)>O,所以g(x)是［1,+8)上的单

e

调递增函数，因此g(x)在［1,+8)上的最小值是g(l)=e+/一2a

由于存在刘£［1,+8),使ex°+e—x°—a(—/+3照)<0成立，当且仅当最小值

g⑴<0,

e+e-1

故e+e1—2a<0,即a>"•

e—1

令函数力(x)=x—(e—1)Inx—1,则h'(x)=l-----.令h'(x)=0,得x=e

x

-1.

当x£(0,e—1)EI寸，hl(x)<0,故力(x)是(0,e—l)上的单调递减函数；

当王£卜一1,+8)时，投(才)>0,故力(x)是(e—1,+8)上的单调递增函数.

所以方(x)在(0,+8)上的最小值是力(e—l).

注意到力(1)=力(e)=0,所以当xR(1,e—l)三(0,e—l)时,方(e—1)W力(力<力(1)=0；

当x《(e—1,e)(e—l,+°°)H'j',

力(x)</?(e)=0.

所以力(x)<0对任意的(1,e)成立.

(e+ef)

故①当一~一,eI(1,e)时，力(a)<0,

即a—l〈(e—l)lna,从而/―会―；

②当a=e时，=目7；

③当(e,4-oo)(e—l,+8)时，力(a)〉/?(e)=O,即w—l〉(e—1)Ina,故。"一^4

综上所述，当一—'ej时，e'i〈力一%当a=e时，b=尸；当(e,+°°)

时，ef尸.

12.、[2014•辽宁卷]当才£[-2,1]时，不等式a£-f+4x+320恒成立,则实数a

的取值范围是()

"9"

A.1—5,-3]B.-6,~—

o_

C.[—6,—2]D.[—4,—3]

12.C[解析]当一2WK0时，不等式可转化为且.丁二二令人力=:1(一

2Wx(0),则

,/\-X~+8x+9-(X-9)(x+1).._./.八r,乂g、M、r、

f(x)=----n----=---------n--------，故函M数zf(x)x在［r―2,—1］上单倜递减,

1-1-4—3

在(一1,0)上单调递增，此时有dW£in(x)=f(-1)=-=-2.

--1i

当x=0时，不等式恒成立.

Y'—4Y—q

当0＜启1时，芋：?

y---4Y---R

令g(x)=:(0〈启1),

—x+8x+9

则g'(x)=.J，故函数g(x)在(0,1]上单调递增，止匕时有心M(x)=g(l)

1一4一3

-16.

综上，一6WaW—2.

21.、、［2014•陕西卷］设函数f(x)=lnx+.,/z?eR.

x

(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数gB=f(x)—箸点的个数：

O

(3)若对任意6>a>0,/"［―/("')<i恒成立,求小的取值范围.

b-a

pv—p

21.解：(1)由题设，当/?7=e时，f(x)=lnx+-，则F(x)=——,

xx

・・・当x£(0,e)时，fUXO,F(x)在(0,e)上单调递减；

当(e,+8)时，f(x)>0,F(x)在(e,+8)上单调递增.

e

，x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+-=2,

e

・・・F(x)的极小值为2.

v1rnv

(2)由题设g(x)=/(x)(x>0),

3xx3

令g(x)=0,得m—+%(x>0),

设O(x)=-9+x(x20),

贝llO'(X)=—/+1=—(X—1)(x+1),

当xe(0,1)时，“(力>0,0(x)在(0,1)上单调递增；

当xd(l,+8)时，0'(x)<0,0(*)在(1,+8)上单调递减.

••.*=1是O(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=l也是。(才)的最大值点,

2

二。⑸的最大值为0⑴="

又0(0)=0,结合尸0(x)的图像(如图所示)，可知

①当勿>|时，函数g(x)无零点；

2

②当椁彳时，函数g(x)有且只有-一个零点；

O

2

③当0<欣可时，函数g(x)有两个零点；

④当底0时，函数g(x)有且只有--个零点.

综上所述，当卬>|时，函数g(x)无零点；

2

当力=三或为W0时;函数g(x)有且只有一个零点;

O

2

当0〈亦可时，函数ff(x)有两个零点.

(3)对任意的b>a>0,』(")-'%)<］恒成立，

b-a

等价于fg一伙F(a)—a恒成立.(*)

设力(x)=F(x)—x=lnx+"一x(x>0),

x

・・・(*)等价于力(x)在(0,+8)上单调递减.

由〃(X)=!一勺-1<0在(0,+8)上恒成立，

XX

得照2—X+x——(x—，+；(x>0)恒成立，

二卬制(对勿=1,h'(x)=0仅在x=£时成立

加的取值范围是［；，+8).

E9单元综合

6.［2014•成都七中模拟］若a>0,8>0,且a+6=4,则下列不等式恒成立的是()

>111

-+

--一

2a6

AC.1

仃^2

2-4

〃

6.D［解析］因为2=要W\^且芋，所以丁+62》8,所以北

8.［2014•郑州联考］已知a,b,cGR,给出下列命题：

ab

①若a>b,则ac">bc；②若a6K0,则彳+-若2；

ba

③若a>|b\,则a>l).

其中真命题的个数为()

A.3B.2

C.1D.0

8.C［解析］当c=0时，a/=bd=0,故①为假命题；当d与，异号时，畀0,*0,

故②为假命题；因为a>|引20,所以才>况故③为真命题.

Z1，

6.［2014•济南期末］若变量x,y满足约束条件,x+y20，则z=x-3y的最大值

y—2W0,

为()

A.4B.3

C.2D.1

6.A［解析］依题意画出可行域如图所示，由图可知，z=x—3y在点(1,—1)处取得

最大值4.

O一2=0,

//XX+^O

8.［2014•长沙一中月考］在关于x的不等式V—(a+l)x+aVO的解集中恰有两个整

数，则a的取值范围是()

A.(3,4)

B.(-2,-1)U(3,4)

C.(3,4］

D.［—2,—1)U(3,4］

8.D［解析］由题意得，原不等式为(¥—1)(*—a)〈0.当心1时，解得1<水&此时解

集中的整数为2,3,则3<aW4；当a<l时，解得aVKl,此时解集中的整数为0,—1,则

—2W水一1.故aG［—2,—1)U(3,4］.

11.［2014•青岛二中月考］已知x>0,y>0,1g2'+lg8'=lg2,则：+白的最小值

是()

A.2B.2m

C.4D.273

11.C［解析］因为lg2"+lg8'=lg2,所以x+3y=l,所以，+；=,+；(x+30

xJyxJy

=2+电+比》4,当且仅当跄=哀，即x=\,尸：时，取等号.

x3yx3y26

17.［2014•西安模拟］设宓=(1,-2),应=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,

。为坐标原点)，若4B,C三点共线，则上1+39的最小值是____________.

ab

17.8［解析］易知AB=(a-lf1),&=(一力一1,2).因为儿B,C三点共线，所

以2(a—1)—(―8—1)=0,即2d+Z?=l.又目>0,£>0,所以！+W='+g(2a+6)=4+2+与

ababab

>4+4=8,当且仅当a=；,8=3时，取等号.

裱本幅比2先觉，

立嚎浮时道已，

分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活:

1、在学习中，在劳动中，在科学中，在为人民的忘我服务中，你可以找到自己的幸福。一捷连斯基

2、读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。——毛泽东

3、人不光是靠他生来就拥有•切，而是靠他从学习中所得到的•切来造就自己。——歌德

4、正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。——列夫•托尔斯泰

5、夫学须志也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。——诸葛亮

6、科学研究好象钻木板，有人喜欢钻薄