人教版数学八年级上册全册培优辅导资料讲义附期末模拟试卷

目录

第一讲三角形......................................................2

第二讲全等三角形的性质与判定.....................................7

第三讲角平分线的性质与判定.......................................14

第四讲轴对称及轴对称变换.........................................18

第五讲等腰三角形.................................................25

第六讲等边三角形................................................32

第八讲邪的运算..................................................45

第九讲整式乘法...................................................50

第十讲：整式乘法公式讲义...........................................55

第十一讲整式除法讲义.............................................62

第十二讲因式分解及其应用.........................................66

第十三讲分式的概念•性质与运算..................................71

第十四讲分式的化简求值与证明.....................................75

第十五讲分式方程及其应用.......................................81

人教版数学八年级上数学期末模拟试卷2份（含答案）.................109

第一讲三角形

考点・方法・破译

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），会画出任意三角形的高、中线、角平分线.

2.知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.

3.了解与三角形有关的角（内角、外角）.

4.掌握三角形三内角和等于180。，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6.会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典-考题・赏析

【例1】若的三边分别为4,X,9,则x的取值范围是,周长/的取值范围是

;当周长为奇数时，x=.

【变式题组】

1.若△A8C的三边分别为4,X,9,且9为最长边，则x的取值范围是,周长/的取值范围

是.

2.设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数，且aVb<c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形，共

有个.

3.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数

是（）.

A.1B.2C.3D.4

【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.

【变式题组】

1.己知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是（）

A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm

2.已知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

3.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为

【例3】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是的中线，若

=

—1cm,贝USaABC•

【变式题组】

1.如图，已知点D、£、F分别是BC、AD、BE的中点，SAA6C=4,贝.

A

E

（第1题图）

2.如图，点D是等腰△A8C底边BC上任意一点，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若一腰上的高为4cm,则DE+DF

3.如图，已知四边形A3CD是矩形（AD>A8），点E在BC上，且AE=AD,OF_LAE于F,则DF与AB的数

量关系是.

【例4】已知，如图，则NA+N8+NC+ND+/E=.

【变式题组】

1.如图，则/A+N8+/C+ZD+NE=.

2.如图，则/4+/B+/C+/D+NE+/F=.

3.如图，则NA+N8+/C+ND+NE+/F=.

（第3题图）

【例5】如图，已知NA=70。，BO.C。分别平分NABC、ZACB.则NBOC=.

【变式题组】

1.如图，ZA=70°,Ze=40°,NC=20°,则/BOC=

A

（第1题图）

3.如图，Z0=140°,ZP=100",BP、CP分别平分NABO、ZACO,则NA=.

【例6】如图，已知/8=35。，ZC=47°,AD±BC,AE平分NR4C,贝|NEAD=.

【变式题组】

1.（改）如图，已知/B=39°,NC=61°,BD1AC,AE平分N8AC,则N8FE=.

2.如图，在△ABC中，NACB=40。，4。平分/8AC,NACB的外角平分线交4?的延长线于点P,点F是8c

上一动点（F、。不重合），过点F作EFLBC交于点E,下列结论:①NP+NOEF为定值，②NP-/DEF

为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.

*【例7】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△48C,使CU〃A8,若/8AC=70。，则旋转角a

【变式题组】

1.如图，用等腰直角三角形板画NAOB=45。，并将三角板沿。8方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针

方向旋转22。，则三角板的斜边与射线GA的直角a=.

A

（第1题图）

2.如图，在平面内将△AOB绕点。顺时针旋转a角度得到△0A9,若点A在AB上时，则旋转角a=

.（ZAOB=90°,ZB=30"）

3.如图，Z\A8E和△ACD是△ABC沿着AB边,AC边翻折180。形成的，若/8AC=130。,则Na=,

演练巩固•反馈提局

1.如图，图中三角形的个数为（）

A.5个8.6个C.7个0.8个

2.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

人锐角三角形8.钝角三角形

C.直角三角形D.不确定

3.有4条线段，长度分别是4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是

（）

A.1个B.2个C.3个。.4个

4.下列语句中，正确的是（）

4三角形的一个外角大于任何一个内角

B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和

C.三角形的外角中，至少有两个钝角

D.三角形的外角中，至少有一个钝角

5.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形8.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

6.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

4直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

7.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是.

8.三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是

9.如图，在△ABC中，N4=42。，ZB与NC的三等分线，分别交于点D、E,则/BDC的度数是

A

10.如图，光线/照射到平面镜上，然后在平面镜I、H之间来回反射，已知Na=55,Ny=75。，/6=

11.如图，点D、E、F分别是BC、AD.8E的中点，且又出=1，则又谢=.

12.如图，已知：/1=/2,/3=N4,N8AC=63。，则/DAC=.

13.如图，已知点D、E是8c上的点，S.BE=AB,CD=CA,ZDAE^-ZBAC,求/8AC的度数

3

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1.在△ABC中，2NA=3/B,且/。一30°=/A+NB,则△48（：是（）

4.锐角三角形B.钝角三角形

C.有一个角是30。的直角三角形D.等腰直角三角形

B.C.

2.已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a幼女，如果b=7,则这样的三角形共有（）

A.21个B.28个C.49个D.54个

3.在△ABC中，NA=50。，高BE、CF交于。点、,则N8OC=.

4.在等腰△A8c中，一腰上的高与另一腰的夹角为26。，则底角的度数为.

5.如图，BP平分/A8C交CD于点F,DP平分/ADC交AB于点E,若/A=40。，ZC=38°,则NP=

6.如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A.B的坐标分别为（0,a）和（9,a）.点E在A8上，且AE=；A8.点

F在。C上，且。F=^oc,点G在OA上，且使△GEC的面积为16,试求a的值.

3

7.如图，已知四边形A8CD中，ZA+ZDCB=180°,两组对边延长后分别交于P、Q两点，NP、NQ的平分

线交于M，求证PM_LQM.

第二讲全等三角形的性质与判定

考点•方法•破译

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2.全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线

相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3.全等三角形判定方法有：SA5,ASAMAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，

还有HL法；

4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先

找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它

们进行证明；

5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需

要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取

等等.

经典•考题•赏析

【例1】如图，AB//EF//DC,ZABC=90°,AB=CD,那么图中有全等三角形（）

A.5对8.4对C.3对。.2对

【变式题组】

1.（武汉2011）下列判断中错误的是（）

4.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

8.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D.有一边对应相等的两个等边三角形全等

2.（黄冈）已知命题：如图，点A、。、8、E在同一条直线上，且A0=8E,NA=NFDE,则△ABCgZ\OEF.

判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件

使它成为真命题，并加以证明.

3.（上海）已知线段AC与相交于点。，连接A8、DC,E为。8的中点，F为。C的中点，连接EF（如图所

示）.

⑴添加条件/A=ND,/OEF=NOFE,求证：AB=DC；

⑵分别将“NA=ND”记为①，“NOEF=NOFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加①、③，以②为结

论构成命题1;添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题，命题2是—

命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证：AF=DE.

【变式题组】

1.如图，AD,BE是锐角△A8C的高，相交于点。，若BO=AC,BC=7,8=2,则AO的长为（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图，在8c中，AB=AC,ZBAC=90°,是过A点的一条直线，A£_LCE于E,8D_LAE于。，0E=4cm,

CE=2cm,贝BD=

3.（孝感2013）己知：如图，在△A8C中，ZACB=90°,CDJ_AB于点D,点£在AC上，CE=BC,过点E

作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC.

【例3】如图①，/\ABC^/\DEF,将△ABC和的顶点B和顶点E重合，把△蛇「绕点B顺时针方向旋

转，这时AC与DF相交于点。.

⑴当△口£下旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，ZAFD与NOCA的数量关系是

⑵当△£?£下继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由.

【变式题组】

1.（绍兴2013）如图，。、E分别为AABC的AC、8C边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边

上的点P处.若NCDE=48。，则NAPD等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

2.如图，Rt^ABC沿直角边8c所在的直线向右平移得到下列结论中错误的是（）

A.AABg/\DEFB.ZDEF=90°

C.AC=DFD.EC=CF

3.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、

F、C、。在同一条直线上.

⑴求证：ABLED；

⑵若P8=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例4】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD

的延长线，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB.求证：⑴AP=AQ；⑵AP_LAQ

【变式题组】

1.如图，已知AB=AE,ZB=Z£,BA=ED,点F是CD的中点，求证：AFrCD.

2.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,

此时梯子的倾斜角为75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离

NB为bm,梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是（）

a+ba-b

A.mB.mC.bmD.am

22

3.如图，已知五边形ABCDE中，ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE的面

积为______

演练巩固•反馈提高

1.（海南2011）己知图中的两个三角形全等，则Na度数是（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

2.如图，△ACB丝△HcV,ZBCB1=30°,则NACH的度数是（）

A.20°B.30。C.35°D.40°

3.尺规作图作/4。8的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半径画弧交。A、OB于C、D,再分别以点

C、。为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP,由作法得△。。。刍△。。2的根

2

据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

4.（武汉2012）如图，已知A8=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC丝△ADC的是（）

A.CB=CDB.NBAC=NDAC

C.ZBCA=ZDCAD.NB=ND=90°

5.有两块不同大小的等腰直角三角板△A8C和△8DE,将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角

顶点放在一起，如图，当A、B、。不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）

A./\ABE^/\CBDB.ZABE=ZCBD

C.ZABC=ZEBD=45°D.AC//BE

6.如图，△ABC和共顶点A,AB^AE,N1=N2,N8=/E8C交4。于M,DE交AC于/V,小华说：“一

定有8cg△AED.”小明说：“△A8M丝AAEM”那么（）

A小华、小明都对B.小华、小明都不对

C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对

7.如图，已知AC=EC,BC=CD,A8=ED,如果NBCA=119°,/ACD=98°,那么NECA的度数是.

8.如图，△△8c四△ADE,BC延长线交DE于F,ZS=25°,ZACB=105°,ZDAC=10°,则/DFB的度数

为.

9.如图，在RtZV»BC中，ZC=90°,DE±ABD,BC=BD.AC=3,那么AE+DE=

10.如图，BALAC,CD//AB.BC=DE,且BC_LDE,若A8=2,8=6,则AE=.

11.如图，AB=CD,AB//CD.BC=12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点。出发，沿CB方向爬行，P的速度是

OAcm/s,Q的速度是O2cm/s.求爬行时间t为多少时,，A-APB^AQDC.

12.如图，ZVIBC中，ZfiC4=90°,AC=BC,AE是8c边上的中线，过C作CF_LAE,垂足为F,过B作8。

_L8C交CF的延长线于D.

⑴求证：AE-CD-,

⑵若AC=12cm,求8D的长.

13.（吉林）如图，AB=AC,AO_LBC于点。，AD等于AE,AB平分/DAE交DE于点F,请你写出图中三对

全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14.如图，将等腰直角三角板A8C的直角顶点C放在直线/上，从另两个顶点A、B分别作/的垂线，垂足

分别为。、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若。£二a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）

15.如图，ACLBC,AD±BD,AD=BC,CELAB,DF±AB,垂足分别是£、F.求证：CE=DF.

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1.如图，在△ABC中，AB^AC,E、F分别是A8、AC上的点，且AE=AF,BF、CE相交于点。，连接A。并

延长交BC于点D,则图中全等三角形有（）

A.4对B.5对C.6对D.7对

2.如图，在△A8C中，AB^AC,0C=。。，下列结论中：①/A=/8②OE=CE,③连接DE,则。E平分/

AOB,正确的是（）

A.①②B.②③C.D.①②③

3.如图，A在。E上，F在A8上，且AC=CE,Z1=Z2=Z3,则DE的长等于（）

A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

4.下面有四个命题，其中真命题是（）

人两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

5.在△A8C中，高AD和8E所在直线相交于H点，且则/A8C=.

6.如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,NE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF.给出下列结

论：①/1=/2；②BE=CF;③△ACN也△ABM;④CD=DB,其中正确的结论有.（填序号）

7.如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有8F=AC,FD=CD.

⑴求证：BE±AC；

⑵若把条件"BF=AC”和结论"B£_LAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

8.如图，。为在△A8C的边BC上一点，且CD=4B,NBDA=/BAD,AE是△ABD的中线.

求证：AC=2AE.

9.如图，在凸四边形A8CD中，E为△ACD内一点，满足AC=AD,AB=AE,ZBAE+ZBCE=90°,ZBAC=

NEAD.求证：NCED=90°.

10.如图，AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=180°.AHrAHH,HADETG.求证：GD=GE.

第三讲角平分线的性质与判定

考点•方法・破译

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典・考题•赏析

【例1】如图，已知。。平分/AO8,在。A、。8边上截取。4=。8,PMLBD,PN_LAD.求证：PM=PN

【变式题组】

1.如图，CP、BP分别平分△ABC的外角NBCM、NCBM求证：点P在N8AC的平分线上.

2.如图，B。平分乙48C,A8=BC,点P是8D延长线上的一点，PM_L/W,PN_LCD.求证：PM=PN

【例2】（天津竞赛题）如图，已知四边形A8CD中，47平分/BAD,CE_LAB于点E,且AE=1（A8+A。），

2

如果ND=120°,求NB的度数

【变式题组】

S

1.如图，在△ABC中，C。平分NACB,AC=5,8c=3.求一

oqACBD

2.（河北竞赛）在四边形A8CD中，已知A8=a,AD=b.且8C=DC,对角线AC平分NBAD,问a与b的大

小符合什么条件时，有/8+/。=180。，请画图并证明你的结论.

【例3】如图，在△A8C中，ZBAC=90°,AB=AC,BEABC,CE_LB£求证：CE=1BD

2

【变式题组】

1.如图，已知AC〃BD,EA,EB分别平分NCA8、ZDBA,CD过点£,求证：AB=AC+BD.

2.如图，在△ABC中，ZB=60°,AD,CE分别是NBAC、N8CA的平分线，AD,CE相交于点F.

⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；

⑵求证：AE+CD=AC.

演练巩固•反馈提高

1.如图，在中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于。，若CD=n,AB=m,则△AB。的面积是（）

11

A.-mnB.—mnC.mnD.2mn

32

2.如图，已知A8=4C,BE=CE,下面四个结论：①8P=CP；®AD±BC；③AE平分/8AC；®ZPBC=ZPCB.

其中正确的结论个数有（）个

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在△A8C中，P、Q分别是8C、AC上的点，作PR_LA8,PS±AC,垂足分别是R、5.若AQ=PQ,

PR=PS,下列结论：①AS=AR；②PQ〃AR；③△8RPZZ\CSP.其中正确的是（）

A.①③8.②③C.①②D.①②③

4.如图，△△8c中，AB=AC,4。平分N8AC,DE1AB,DFYAC,垂足分别是E、F,则下列四个结论中：

①AD上任意一点到8、C的距离相等；②4。上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD_L8c且BD=CD；

④N8DE=NCDF.其中正确的是（）

A.②③8.②④C.②③④D.①②③④

5.如图，在RQA8C中，N4CB=90°,NCA8=30°,/ACB的平分线与/A8C的外角平分线交于E点，

则NAE8的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

6.如图，P是△A8C内一点，PDJ_A8于。，PEJ_8c于E,PFJ_AC于F,且PD=PE=PF,给出下列结论：①

AD=AF,@AB+EC=AC+BE；③BC+CF=AB+AF；④点P是△△8c三条角平分线的交点.其中正确的

序号是（）

A.①②③④8.①②③C.①②④D.②③④

7.如图，点P是aABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）

A.点P到8c三边的距离相等8.点P在/A8c的平分线上

C./P与N8的关系是：ZP+-ZB=90°D.NP与NB的关系是：ZB=-ZP

22

8.如图，BD平分/ABC,CDACE,8。与CD相交于。.给出下列结论：①点。到48、AC的距离相等:

②N8AC=2/BDC；③DA=DC；④DB平分NADC.其中正确的个数是（）

A.1个8.2个C.3个。.4个

9.如图，△ABC中，/C=90°AD是△ABC的角平分线，D£_LAB于E,下列结论中：①AD平分NCDE：②

NBAC=NBDE；③DE平分NADB；④A8=AC+8E.其中正确的个数有（）

人3个8.2个C.1个D.4个

10.如图，已知8Q是/A8C的内角平分线，CQ是/ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到8C、AC和

AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则Q/W、QN、QK的关系是

11.如图，AD是NBAC的平分线，DE_LAB于E,OF_LAC于F,且DB=DC.求证：BE=CF

12.如图，在△ABC中，AD是N8AC的平分线，OE_LA8于点£,DF_LAC于点F.求证：ADLEF.

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1.如图，直线/卜机/3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，

则可选择的地址有（）

A.一处B.二处C.三处D.四处

2.已知RtZ\ABC中，NC=90°,ADZBACBCfD,若8c=32,且8O:CD=9:7,则。到AB边的

距离为（）

A.18B.16C.14D.12

3.如图，AABC中，/C=90°,A。是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC=3cm,DB

=4cm,AD=8cm.DP的长为x（cm）,那么x的范围是

4.如图，已知AB〃CD,PE1AB,PF±BD,PGLCD,垂足分别为E、F、G,且PF=PG=PE,则NBPD=

5.如图，已知AB〃CD,。为NCAB、NACD的平分线的交点，OEJ_AC,且OE=2,则两平行线AB、CD间

的距离等于______

6.如图，45平分/8AC,EF_LAD,垂足为P,EF的延长线于8c的延长线相交于点G.求证：ZG=-（ZACB

2

-ZB)

7.如图，在中,AB>AC,AD是NBAC的平分线，P为AC上任意一点.求证:AB-AODB-DC

8.如图，在△A8C中，ZB4C=60°,NACB=40°,P、Q分别在8C、AC上，并且AP、8Q分别为NBAC、

/ABC的角平分线上.求证：BQ+AQ=AB+BP

第四讲轴对称及轴对称变换

考点-方法・破译

1.轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成

轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所

连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称

轴上.

2.线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系一一垂直；②数量关系一

平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通

常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.

经典•考题•赏析

【例1】(兰州)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是()

2.(荆州)如图，将矩形纸片A8CD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点。落在点”上；然后再沿虚线

GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在8c上的半圆，再展开，则展开

后的图形为()

【例2】(襄樊)如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到B'C',则

与点8'关于x轴对称的点的坐标是()

A.(0,—1)B.(1,1)C.(2,一1)D.(1,—1)

【变式题组】

1.若点P(—2,3)与点Q(a,b)关于x轴对称，贝ija、b的值分别是()

A.-2,3B.2,3C.—2,—3D.2,—3

2.在直角坐标系中，已知点P(—3,2),点。是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到

点R,则点R的坐标是.

3.(荆州)已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限，则。的取值范围为.

【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC(NACB=90°),沿线段C。折叠，使点B落在氏处，若NACBi

=70°,则NACD=()

A.30°B.20°C.15°D.10°

【变式题组】

1.（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点。、C分别落在点O'、C'的位置.若/EFB=65°,

则/AED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

2.如图，△ABC中，NA=30°,以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落

【例4】如图，在△A8C中，AD为/8AC的平分线,EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线

于点F,求证：NB=NCAF.

【变式题组】

1.如图，点。在△A8C的BC边上，且BC=BD+AD,则点。在________的垂直平分线上.

2.如图，△ABC中，NA8c=90°,ZC=15°,DE_LAC于E,且AE=EC,若A8=3cm,则DC=cm.

3.如图，△ABC中，ZBAC=126°,DE、FG分别为A8、AC的垂直平分线，则N£AG=.

4.△A8C中，AB^AC,AB边的垂直平分线交AC于F,若AB=12cm,ZXBCF的周长为20cm,则△A8C的周

长是cm.

【例5】（荆州）如图，在3X3的正方形格点图中，有格点△ABC和△£>£下，且△A8C和4OEF关于某直线成

轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF.

【变式题组】

1.如图，在2X2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△A8C,请你找出格点图中所有与△ABC

成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个.

2.如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何

处饮水，所求路程最短？

【变式题组】

1.（山西）设直线/是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到/地距离分别为2千米、5千米，欲在/

上的某点M处修建一个水泵站向P、。两地供水.现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的

管道，则铺设的管道最短的是（）

2.若点4、8是锐角N/WON内两点，请在。M、ON上确定点C、点D,使四边形ABCD周长最小，写出你

作图的主要步骤并标明你确定的点.

演练巩固,反馈提局

1.(黄冈)如图，△ABC与△△‘8'C'关于直线/对称，且/A=78°,/C'=48°,则NB的度数是().

2.(泰州)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB,再以A8的中点。为顶点把平角/AOB三等分，沿

平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以。为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全

部展开铺平后得到的平面图形一定是()

A.正三角形8.正方形C.正五边形D.正六边形

3.图1是四边形纸片A8CD,其中NB=120°,ZD=50°,若将其右下角向内折出△0(：/?,恰使CP〃48,

RC//AD,如图2所示，贝(]/C=()

A.80°B.85°C.95°D.110°

4.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标

是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()

A.M(1,—3)>N(—1,—3)B.M(—1,—3),N(—1,3)

C.M(—1,—3),N(1.-3)D.M(—1,3),N(1,—3)

5.点P关于x轴对称的对称点P'的坐标是(一3,5),则点P关于y轴对称的对称点的坐标是()

A.(3,—5)B.(—5,3)C.(3,5)D.(5,3)

06.已知M(1-a,2a+2)关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是()

A.—1<a<1B.—IWaWlC.a>1D.a>一1

7.如图，镜子中号码的实际号码是

8.如图，正方形A8CD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

9.已知点A(2a+3b,-2)和B(8,3a+2b)关于x轴对称，则a+b=.

10.如图，在△ABC中，OE、OF分另IJ是48、AC中垂线，且NA8O=20°,NA8C=45°,求N8AC和NACB

的度数.

11.如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、8是桌面上的两个球，怎样击打4球，才能使

入球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法.

B

D，E

12.如图，P为NA8C的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM_L8c于M,PA/J_84的延长线于N.求证：

AN=MC.

13.（荆州）有如图“।的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一

列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图.（画

出的两个图案不能全等）

培优升级•奥赛检测

1.（浙江竞赛试题）如图，直线A与直线〃相交，/。=60°,点P在内（不在/也上）.小明用下面的

方法作P的对称点：先以/,为对称轴作点P关于人的对称点P,,再以L为对称轴作弓关于〃的对称点P2,

然后再以人为对称轴作对关于A的对称点P”以为为对称轴作P：；关于〃的对称点P”....如此继续，得

到一系列n、Pz、P,...P”与P重合，则。的最小值是（）

A.58.6C.7D.8

2.（宜昌）己知：如图，AF平分NBAC,BCA.AF,垂足为E,点。与点A关于点E对称，P8分别与线段CF、

AF相交于P、M.

⑴求证：AB—CD；

（2）若/8AC=2NMPC,请你判断NF与NMC。的数量关系，并说明理由.

3.在△ABC中，/BAC=90°,点A关于BC边的对称点为A',点8关于AC边的对称点为B',点C关于

=

AB边的对称点为C，,若S^ABC1）求SAA,B'C'

4.小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线/,

在直线/两边各放一粒围棋子48,使线段A8长。厘米，并关于直线/对称，在图中0处有一粒跳棋

子，自距A点b厘米、与直线/的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从A点以A为对称中心跳至

Pz点;第2次，从Pz点以/为对称轴跳至P3点；第3次，从R点以B为对称中心跳至P,点；第4次，

从P，以/为对称轴跳至P1点;

⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；(画图工具不限)

⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设。=8,b=6,c=3,计算这时它与4的距离是多少？

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