初中数学特殊角的三角函数强化练习1

初中数学特殊角的三角函数强化练习1

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，EF与AB,BC,CE＞分别交于点E,G,F,且N1=N2=3O。，EFA.AB,

则下列结论错误的是（）

A.AB//CDB.Z3=60°C.FG=-FCD.GFLCD

2

2.在町AABC中，ZC=9O°,a,b、c分别是乙4、乙B、4c的对边，则()

A.sinA=­B.cosA=—C.sinB=-D.tanB=~

bccb

3

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tanZABD=-,则

4

线段AB的长为（

B.2币C.5D.10

4.如图，AABC中，AB=AC,BC=10,ZB=36°,D为BC的中点，则AD的长是

A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°

5.如图，点A(2,t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为a,tan。=2,贝Ijt的值为

)

A.4B.3C.2D.1

6.如图，A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则lan/B4c的

值为（）

A.工B.1C.立D.V3

23

7.在放△ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中，正确的是（）

2223

A.sinB=-B.cosB=-C.tanB=-D.tanB=—

3332

8.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE±BD,垂足为F,则

tanZBDE的值是（）

D-T

二、填空题

9.如图，在正方形ABCD中，A8=15,点E是以A8为直径的圆上一动点，当

4

tanNA3E=§时，OE的长度为.

10.如图，在矩形纸片A8C。中，40=10,4?=8,将A8沿4E翻折，使点8落在9

处，AE为折痕；再将EC沿E尸翻折，使点C恰好落在线段E9上的点C处，E尸为折

11.在RSABC中，ZC=90°,ZA=42°,BC=3«,则AC的长为.（用科学计

算器计算，结果精确到0.01)

12.如图，矩形A3C。中，AB=8,8c=12,以。为圆心，4为半径作。。，E为。。上

一动点，连接AE,以AE为直角边作放△AEF,使/E4F=90。，tan/AE尸=g，则点尸

与点C的最小距离为

13.如图，点B在x的正半轴上，且84,08于点B,将线段BA绕点B逆时针旋转

60。到88'的位置，且点B'的坐标为(1,1).若反比例函数y=g(x>0)的图象经过A

且AC=28C,分别以AC、BC为边在线段A3的同侧

EG,则tanNCEG=

15.如图1,在矩形纸片4BC。中，AB=\2,AO=10,点E是CD的中点.将这张纸片

依次折叠两次；如图2,第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN,连接ME、

NE；如图3,第二次折叠纸片使点N与点E重合，点8落在*处，折痕为”G,连接

HE,贝Ijtan/EaG=.

16.如图，边长为1的正方形4BCO绕点A逆时针旋转30。到正方形则图中

阴影部分面积为

三、解答题

17.如图，四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZABC=60°,AD=4,CD=10,求BD的

长.

18.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=9,点P自点C开始，沿着射线CB运动，连

接尸£>,作ZCDP关于直线PD对称的4QDP.

(1)当点。落在边人。上时，四边形。CPQ是特殊的四边形：；

(2)求当CP的值是多少时，点。到边4。距离为3；

(3)当线段PQ经过AB中点N时，若线段与A。交点为M,求tan4OQ的值：

(4)若ZA8Q为是以AQ为腰的等腰三角形时，直接写出所有满足条件的CP的值.

19.在直角坐标系中，过原点。及点A(8,0),C(0,6)作矩形0A8C、连结08,

点。为08的中点，点E是线段4B上的动点，连结£>E,作DFLDE,交。4于点

F,连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，

设移动时间为f秒.

(1)如图1,当仁3时，求。尸的长.

(2)如图2,当点E在线段48上移动的过程中，N3E尸的大小是否发生变化？如果

变化，请说明理由；如果不变，请求出tan/QEF的值.

(3)连结A。，当AZ)将AOEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的f的

值.

20.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=\2,tanZ/l=1.

(1)尺规作图：以AC为直径作。。，与A8交于点。(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求。。的半径长度.

21.如图，点C是。O直径AB上一点.过C作COL48交OO于点。，连接D4,

DB.

(1)求证：ZADC=ZABD；

(2)连接O。，过点。做。。的切线，交BA的延长线于点P.若4c=60,

4

tanZPDC=-,求BC的长.

22.如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB,8c可分别绕点A,B转

动，经测量，BC=8cm,AB=\6cm.当A8,BC转动到NBAE=60。，ZABC=50°

时，求点C到AE的距离.(结果保留小数点后一位)

参考数据：sin700»0.94,cos700~0.34,tan70°«2.75,6*1.73,sin500-0.77,

cos500=0.64,tan50°«1.19.

图1图2

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定定理，可判断A,根据平行线的性质，可判断B,D,根据锐角三角函

数的定义，可判断C,进而即可得到答案.

【详解】

解：VZ1=Z2=3O°,

ABHCD,故A正确，不符合题意；

,:EFA.AB,

：.Z3=180o-30°-90°=60%故B正确，不符合题意；

,/AB//CD,EFYAB,

：.EFLCD,即：ZGFC=90°,故D正确，不符合题意；

XV22=30°,

Atan30°=—=即：FG=&C,故C错误，符合题意.

CF33

故选C.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性

质，锐角三角函数的定义是解题的关键.

2.C

【解析】

【分析】

根据RtAABC中,cosB,tanB,sinA的定义，进行判断.

【详解】

,.,RtZkABC中，sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,

ccca

...选项C正确，选项A、B、D错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形.

答案第1页，共28页

3.C

【解析】

【详解】

分析：根据菱形的性质得出ACLBD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出

AO,根据勾股定理求出AB即可.

详解：・・•四边形ABCD是菱形，

AAC±BD,AO=CO,OB=OD,

・・・ZAOB=90°,

VBD=8,

AOB=4,

*.*tanZABD=—=

4OB

；.AO=3,

在RSAOB中，由勾股定理得：AB=7A(?2+OB2=V32+42=5.

故选C.

点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的

关键.

4.C

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的三线合一，说明△ABD为直角三角形，再用三角函数表示出AD的

长.

【详解】

解：VAB=AC,D为BC的中点，

.*.BD=^BC=5,AD±BC.

在RSABD中，

，AD=tanBxBD=5tan36°.

故选：C.

答案第2页，共28页

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形，根据等腰三角形的三线合一，说明AABD为直角三角

形是解此题的关键.

5.A

【解析】

【分析】

根据点A的坐标，利用锐角三角函数定义求出t的值即可.

【详解】

R

如图，过点A作AB，x轴与点B,

•.•点A在第一象限,坐标为(2,t),

，AB=t,?=(,

ABt

在RT^AOB中，tana=--=—=2,则t=4,故选A.

OB2

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，熟练掌握定义即可求解.

6.B

【解析】

【分析】

连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角

三角形，即可求出所求.

【详解】

如图，连接3C,

答案第3页，共28页

由网格可得AB=BC=不，AC=M，B|JAB2+BC2=AC2,

••.△ABC为等腰直角三角形，

N8AC=45。，

贝ljtan/BAC=l,

故选：B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握

勾股定理.

7.C

【解析】

【详解】

022

VZC-90,AC=2,BC=3,AAB=A/AC+BC=V13，

.入田生=2=亚cosB=型=2=通，tanB一任二

ABV1313ABV1313BC3

故选C.

8.A

【解析】

【分析】

证明ABEFs^DAF,得出EF=：AF,EF=|AE,由矩形的对称性得：AE=DE,得出

EF=；DE,设EF=x,则DE=3x,由勾股定理求出DF=，£＞炉-EF。=20人再由三角函数

定义即可得出答案.

【详解】

•.•四边形ABCD是矩形,

；.AD=BC,AD〃BC,

•••点E是边BC的中点,

答案第4页，共28页

BE=-BC=—AD,

22

AABEF^ADAF,

.EFBE

•,前一访一5'

EF=-AF,

2

.♦.EF」AE,

3

•••点E是边BC的中点，

.••由矩形的对称性得：AE=DE,

.\EF=|DE,设EF=X,则DE=3X,

；•DF=^DE^-EF1=272x,

.tan/BDE=—=-^=—

DF2瓜4

故选A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性

质，证明三角形相似是解决问题的关键.

9.3而或3而##3后或3a

【解析】

【分析】

分点E在AB上方和下方两种情形求解，过点E向AB,A。作垂线，运用锐角三角函数计

算即可.

【详解】

,•,点E是以AB为直径的圆上一动点，

?.NAEB=90°,

4AF

VtanZABE=-=——，

3BE

不妨设AE=4Z,BE=3k,

则A8=JAE2+BE?=5k=\5,

k=3,

答案第5页，共28页

：.AE=U,BE=9,

过点E作E/UA8,垂足为尸，EG±AD,垂足为G,

四边形AFEG是矩形，

：.EF=AG,AF=GE,

在RfZkAE/中，

EF=AEsinZ£AF=12x—=—,AF=AEcosZEAF=12x—=—,

155155

当点E在AB的上方半圆上时，

•••四边形ABC。是正方形，

•\AD=AB=\5,

•e•DG—AD-AG—15--二—，

55

/.DE=4DG-+GE2=J(芦+(y)2=V153=3M；

当点E在AB的下方半圆上时，

过点E作垂足为M,ENLAD,垂足为N,

四边形ANEW是矩形，

:.EM=AN,AM=NE,

在RSAEM中，

答案第6页，共28页

EM二AEsinZBAE=12x—=—,AM=AEcosZBAE=12x—=—,

155155

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=\5f

***DN=AD+AN=15+-—―,

55

DE=>JDN2+NE2='(孕2+(y)2=>/585=3病；

故答案为：3\/万或35/而.

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形判定和性质，正方形的性质,

分类思想，熟练掌握圆的基本性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键.

10.-

4

【解析】

【分析】

连接4F,设CE=x,用x表示AE、EF,再证明/AE/"=90。，由勾股定理得通过AF进行

等量代换列出方程便可求得x,再进一步求出8C,便可求得结果.

【详解】

解：连接AF,设CE=x,则C'E=CE=x,BE=B'E^10-x,

:四边形A8CD是矩形，

：.AB=CD=S,AD=BC=10,ZB=ZC=ZD=90°,

：.AE2=AB2+BE2=S2+(10-x)2=164-20x+/,

EF2=CE2+CF2=X2+32=X2+9,

由折叠知，NAEB=NAEB\ZCEF^ZCEF,

,：NAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=180°,

答案第7页，共28页

:.乙AEF=ZAEB'+ZC'EF=90°,

：.AF2=AE2+EF2=\M-20犬+/+/+9="-20x+173,

"：AF2=AD2+DF2=102+(8-3)2=125,

；.2,20x+173=125,

解得，x=4或6,

当x=6时，EC=EC'=6,BE=B'E=8-6=2,EOB'E,不合题意，应舍去,

：.CE=C'E=4,

：.B'C^B'E-CE^(10-4)-4=2,

VZB,=ZB=90°,AB'=AB=S,

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题

关键.

11.8.16.

【解析】

【分析】

根据计算器的使用，可得答案.

【详解】

解：tan4230.9004,

亚=0.9004,

AC

AC-8.16,

故答案为8.16.

【点睛】

本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键.

12.4加一々

【解析】

【分析】

答案第8页，共28页

如图，取A8的中点G,连接尸G,FC,GC,由△E4Gs△胡拉，推出/G：DE=AF：AE

44

=1：3,因为OE=4,可得/G=],推出点尸的运动轨迹是以G为圆心I为半径的圆，

再利用两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】

解：如图，取的中点G,连接FG.FC.GC.

•NEA/=90°,tanZAEF=-,

3

AF_1

'AE-3，

•AB=8,AG=GB,

・AG=G8=4,

*AD=12,

AG41

AD123

AFAG

•瓦―茄’

•四边形ABC。是矩形，

・NBAD=NB=NE4尸=90。，

.NFAG=NEAD,

.△MG^AEAD,

・FG：DE=AF：AE=1：3,

*DE=4,

中一4

•r(jr———,

3

4

•点尸的运动轨迹是以G为圆心m为半径的圆,

*GC=y/GB2+BC2=V42+122=4M，

.FC>GC-FG9

答案第9页，共28页

FC>4V10_»

...b的最小值为4jQ-1.

故答案为：4jid-g.

【点睛】

本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

13.2+26

【解析】

【分析】

过点夕作夕。J_x轴于点D,根据于点B及图形旋转的性质求出N85O的度数，

再由直角三角形的性质得出BO及的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论.

【详解】

解：如图，过点8作一〃，x轴于点。，

ZABD=90°.

•线段BA绕点B逆时针旋转60。到8夕的位置,

:.ZABB'=60°,

：.Z5,5£>=90°-60°=30°.

•••点方的坐标为（1,1）,

：.OD=B'D=\,

：.BB'=2B'D=2,BD=—1—=6

tan300

:・OB=l+#>,AB=BB'=2,

答案第10页，共28页

，A(l+/2),

.•.&=2x(l+a=2+2G

故答案为：2+2石.

【点睛】

本题考查的是坐标与图形变化-旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出

A点坐标是解答此题的关键.

14T.-2

【解析】

【分析】

设BC=a，则AC=2a,然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、ZGCD=ECD=45°,进而

说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.

【详解】

解：设BC=a,则AC=2a

♦.•正方形ACOE

••.EC=J（2a）2+（2“『=2缶,NECD=gzACQ=45

同理：CG=41a,ZGCD=|ZBCD=45

【点睛】

本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解

答案第11页，共28页

答本题的关键.

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可知ME〃//G,"是MN的中点，EH是RAA/EN斜边MN上的中线，故

有NEHG=ZAMN,设DM=x,则AM=10—x,在用△£>附中，由勾股定理得

DE'ME—DML可求DM,AM的值，如图，作NPLOC,四边形4VPZ)是矩形，

ADEMS^PNE,有器=2与即！6,可求心的值，进而可求AN的值，根据

PEPN诟=历

AN......

tanZ.AMN=---,求tanNAMV的值，进而可求tanNEWG的值.

AM

【详解】

解：由折叠的性质可知NMEN=9O。，ZAMN=/EMN,ME=AM,EN=AN,用是线

段硒的垂直平分线

:・HGLEN,HN=HE

：.ME//HG

・•.”是MN的中点

・•・石”是凡ziAffiN斜边MN上的中线

:./HME=/HEM=ZEHG

：./EHG=ZAMN

设贝i]AM=10—x

在心△£)西中，由勾股定理得DE?=加炉_£>〃2BP62=(10-x)2-x2

解得x=£

34

・・・AM=AD-DM=—

5

如图，作NPJ.ZX?

答案第12页，共28页

B'

*/ZNPE=ZEDM=ZA=90°

・♦・四边形4VPO是矩形

•.*NDME+NDEM=NDEM+APEN=90°

:.4DME=/PEN

：・ADEMSAPNE

学

DMDE

=丽即言6

~PE

To

解得PE=K

34

：.AN=DE+PE=—

3

374

tan/AMN=-----=

AM354

：.tanNEHG=*

3

故答案为：.

【点睛】

本题考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，三角形相似，正切等知识.解题

的关键在于对知识的灵活运用.

16.1-^

3

【解析】

【分析】

设BC与CC的交点为E,连接AE,利用证明RAABE和汝AACE全等，根据全等

三角形对应角相等/D4E=/33E,再根据旋转角求出/D48，=60。，然后求出

/D4E=30。，再解直角三角形求出DE,然后根据阴影部分的面积=正方形ABC。的面积-四

边形AOE8,的面积，列式计算即可得解.

答案第13页，共28页

【详解】

解：如图，设a。与C£＞的交点为E,连接AE,

在RrAAQE和Rt/\ADE中，

{AE^AE

[AB'=AD

：.RsAB'E四RfDE(HL),

:.ZBAE=ZDAE，

••・旋转角为30。,

」.NZM夕=60°,

//ME=L60°=30°,

2

DE=ADtanZDAE=\x—=—,

33

,阴影部分的面积二S正方形APS_2SA4DE=lxl-2xIxlx^.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全

等三角形求出/D4E=/B，AE,从而求出/D4E=30。是解题的关键，也是本题的难点.

17.4>/13

【解析】

【分析】

延长BA、CD交于E,求出/E,求出DE、CE长，在RSCBE中，求出BC,在

为△CBD中，根据勾股定理求出BD即可.

【详解】

答案第14页，共28页

解：如图

E

延长BA、CD交于E,

VZC=90°,ZABC=60°,

.*.ZE=180o-90°-60o=30°,

・•・DE=2AD=8,

，CE=10+8=18,

CE

VtanZABC=----

BC

1Q

/.tan60°=,

BC

二BC=6A/3

在RSBCD中，由勾股定理得：BD=j8C2+Cr>2=,(6国+10,=4小

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学

生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中.

18.(1)正方形

(2)20或66

(3)巫

3

(4)26或8-2币或8+2币

【解析】

【分析】

(1)根据特殊平行四边形的性质判定即可；

(2)根据。的位置在矩形内或外分别讨论，结合相似利用相似比求出点Q到边AO距离为

答案第15页，共28页

3时，CP=2拒或CP=66;

(3)利用全等得出MN=PN=；PM,然后在直角三角形中利用勾股定理和三角函数定义

求解即可；

(4)若A48。是以4Q为腰的等腰三角形时，则8Q=AQ或A8=AQ,在每一种情况下再

分。的位置在矩形内或外分别讨论，最后利用勾股定理得出满足条件的CP有2G或

8-2不或8+2"三个.

(1)

解：结论：点。落在边上时，四边形。CPQ是特殊的四边形：正方形；

理由如下：在矩形48C£＞中，ZC=ZADC=90°,

由折叠可知：DQ=DC,NPQD=NC=90。，

当点Q落在边上时，OQ在AO上，ZC=ZQDC=ZPQD=90°,

二四边形QCPQ是矩形，

DQ=DC,

，四边形OCP。是正方形；

(2)

解：①若点。到边A£＞距离为3,则点Q在矩形ABC。内时，过点。作MNJ.BC于点N,

交于点如图所示：

则NBNM=NCNM=90。,

ZQPN+ZPQN=90°,

在矩形ABC。中，ZA=N8=NC=90。，AB=DC=6,AD=BC=9,

：.ZA=ZB=ZBNM=90°,

四边形ABMW是矩形，

：.MN=AB=6,AM=BN,ZAMN=90°,QM=3,

:.QN=MN+QM=9,NDMQ=90。=NQNP,DM=BN,

答案第16页，共28页

根据折叠性质可知NR2D=NC=90。，QD=CD=6,QP=CP9

/DQM+NPQN=90°,

/.ZQPN=NDQM,

...bQPNs\DQM,

.PQQNPN

'QD~DM~QM9

设CP=a,NP=b,则QP=C尸=。，DM=CN=CP+NP=a+b,

~=7=；，解得〃=26，b=也,此时C尸=2百；

6a+b3

②若点。到边A。距离为3,则点。在矩形A3C。外时，过点。作肱VJ.8C于点N,交

AO于点"，如图所示：

则NBNM=90。，

・•.4QPN+4PQN=9伊,

在矩形A3CO中，ZA=ZB=ZC=90°,AB=DC=6,AD=BC=9,

・・.ZA=ZB=/BNM=9Q。,

••・四边形ABNM是矩形，

：.MN=AB=6fAM=BN,ZAW=90%。河=3,

:.QN=MN+QM=9,/DMQ=9。。=NQNP,DM=BN,

根据折叠性质可知NPQD=NC=90。，QD=CD=6,QP=CPf

・•.ZDQM+4PQN=90°,

4QPN=/DQM,

/.\QPNs\DQM,

.PQQNPN

''QD~~DM~~QM'

设CP=〃z,NP=n,则QP=CP=〃2,DM=CN=CP—NP=m—n,

*'•-=---=",解得机=66,n=35/3,此时CP=66；

6m-n3

答案第17页，共28页

综上所述，当CP=26或CP=6石，点。到边A。距离为3：

(3)

解：当线段PQ经过A3中点N时，如图所示：

则AN=8N,A8=3,

2

vZA=22=90°,ZAMN=NQMD,

/.ZADQ=ZANM,

在AAMN和MPN中，

Z=/PBN=90。

，AN=BN

NANM=NBNP

.•.MMNm岫PN(ASA),

：.MN=PN=LpM,

2

在矩形A3CQ中，AD//BC,^\ZADP=ACPD,

根据折叠性质可知"PD=NCPD，

・•.ZADP=NQPD,

:.PM=DM,

:.MN=、DM,

2

设=则DW=A£>-AM=9—c,

.•.MN=：OM=g(9-c),

在用AAMN中，由勾股定理得4,+4V2=册,即/+32=l(9-c)

c2+6c—15=0,解得c=—3±2"，

答案第18页，共28页

Qc>0,

:.c=2y/6-3,即AM=26-3,

在汝AAAfiV中，lanZANM=~=^~\,

AN3

.1.tanZADQ=tanZANM=-1；

AN3

(4)

解：若AA3Q是以AQ为腰的等腰三角形时，则构=4。或AB=A。，①当8Q=A。时,

点Q中线段A8的中垂线上，过点。作EFLA8于点尸，交CD于点、E,如图所示:

则AF=B尸=；A8=3,EF//AD//BC,

DE=CE=-CD=3,NDEQ=NC=90°,

2一

根据折叠的性质可知NPQD=NC=90。，QD=CD=6,NQDP=NCDP=；ZCDQ,

DE1

在HADE。中，sinZDQE=-=-,贝iJN。。石=30。,

£7丫N

ZCDQ=90°-ZDQE=60°,

ZCDP=|ZCDQ=30°,

在RfACOP中，CP=CD・tanNCDP=2百;

②当AB=AQ=6时，DQ=DC=6,

•・Q点在线段AC的中垂线上，当Q在矩形ABCD内，过点。作MV_L4）于点M,交BC于

点N,如图所示：

答案第19页，共28页

19

则ZAACV=ZZW7V=9O°,AM=DM=-AD=-,

22

在R/ADQW中，由勾股定理得QW=3S,

在矩形ABCD中，^BAD=ZABC=ZC=90°,

ZBAM=ZABN=ZAMN=90°,

四边形ABMW是矩形，

9

■,MN=AB=6AM=BN=—，/BNM=90。,

f2

:.QN=MN-QM=6-'币,ZPNQ=90°,CN=BC-BN=^,

由折叠性质知QP=CP,

9

:.PN=CN-CP=--CP,

2

在RfAPQN中,CP2,

:.CP=8-2后,

当。在矩形A8C£＞外，过点。作MN_LAD于点M,交BC于点N,如图所示:

19

则ZAMN=N£>A/Q=90。，AM=DM=-AD=~,

22

在用ADQM中，由勾股定理得QM=g疗，

在矩形ABC。中，ZBAD=ZABC=ZC=9O0,

答案第20页，共28页

NBAM=ZABN=ZAMN=90°,

，四边形A8NM是矩形，

9

.-.MN=AB=6,AM=BN=-,ZPNQ=90°,

2

:.QN=MN+QM=6+^41,CN=BC-BN=^,

由折叠性质知QP=。，

9

:.PN=CN-CP=CP-一，

2

在RfAPQN中，由勾股定理得CP2,

:.CP=8+2不，

综上所述，满足条件的CP有2后或8-2g或8+2疗.

【点睛】

本题考查四边形综合，属于中考压轴题，在解题过程中涉及到特殊平行四边形的性质与判

定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、相似求线段长、勾股定理求线

段长等知识点，根据题目条件分类讨论是解题的关键.

37575

19.(1)3；(2)回DEF的大小不变，tanElDEF=-；(3)3或后.

【解析】

【详解】

(1)当t=3时，点E为AB的中点，

VA(8,0),C(0,6),

.*.OA=8,OC=6,

•点D为OB的中点，

；.DE〃OA,DE=yOA=4,

•••四边形OABC是矩形，

AOA1AB,

ADEIAB,

/.ZOAB=ZDEA=90°,

XVDF1DE,

答案第21页，共28页

ZEDF=90°,

.••四边形DFAE是矩形，

，DF=AE=3；

(2)/DEF的大小不变；理由如下：

作DMJ_OA于M,DN_LAB于N,如图2所示:

•.,四边形OABC是矩形，

AOAIAB,

.••四边形DMAN是矩形，

AZMDN=90°,DM〃AB,DN〃OA,

.BDBNBDAM

♦.•点D为OB的中点，

AM.N分别是OA、AB的中点，

.\DM=|AB=3,DN=4OA=4,

；ZEDF=90°,

，/FDM=/EDN,

又,:ZDMF=ZDNE=90°,

.,•△DMF^ADNE,

.DFDM3

~DE~DN

,：ZEDF=90°,

DF3

..tanNDEF=-----=-；

DE4

(3)作DM_LOA于M,DN_LAB于N,

若AD将ADEF的面积分成1：2的两部分,

答案第22页，共28页

设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t,

325

AF=4+MF=--H---,

44

•.•点G为EF的三等分点,

匕),

123

设直线AD的解析式为y=kx+b,

Sk+h=f)

把A(8,0),D(4,3)代入得:

4k+h=3

k—__

解得：v4,

b=6

3

・・・直线AD的解析式为y=：x+6,

把G（片子，当）代入得：t=g

12341

②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3,

图4

3

由△DMFsaDNE得：MF=一(t-3),

4

答案第23页，共28页

325

AF=4-MF=1+—,

44

•.•点G为EF的三等分点，

63

代入直线AD的解析式y=-43x+6得：t=—75；

417

7575

综上所述，当AD将ADEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为7V或标.

4117

考点：四边形综合题.

20.(1)见解析

⑵加

【解析】

【分析】

(1)分别以点A,C为圆心，大于长为半径画弧交于两点，连接这两点交4c于点

0,以。为圆心，04为半径作圆交AB于点。；

由tanNA=g,可得CD=2,再

(2)连