近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编09 计数原理

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

九、计数原理

一、单选题

1.（2021.全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

12人24

3535

2.（2021•全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

3.（2021•全国（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰

壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，

则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

4.（2020.海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，

每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

5.（2020.北京）在（、「一2V的展开式中，炉的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

6.（2020・海南）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲

场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B,90种

C.60种D.30种

7.（2020•全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为他，…，“⑵设1W守＜仁12.若

6/=3且1=4,则称如aj,以为原位大三和弦；若㈠=4且j-i=3,则称如勾，。&为

原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为

A.5B.8C.10D.15

8.（2020•全国（理））（x+匕）（x+y）5的展开式中W的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

9.（2019•全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概

率是

11-11

A.-B.-C.-D.—

6432

10.（2019・全国（理））（1+2X2）（1+x）4的展开式中V的系数为

A.12B.16C.20D.24

11.（2019•全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦'’描述万物的变化.每一“重卦”由从

下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻”——T如图就是一重卦.在所有

重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

51111

A.—B.—C.—D.—

16323216

(理))(x2+-5

12.(2018•全国的展开式中/的系数为

kX)

A.10B.20C.40D.80

13.(2017•全国（理））（X+y）（2X-y）5的展开式中X3y3的系数为

A.-80B.-40C.40D.80

14.（2017•全国（理））（2017新课标全国卷I理科）（1+4）（l+x）6展开式中产的系

x

数为

A.15B.20

C.30D.35

15.（2017•全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作

由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

16.（2017•全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作

由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

17.（2021•浙江）已知多项式（X—I），+（X+1）4=%4++Cl-,X~+ClyX+%，贝U%=

,U，2+。3+〃4=_

2345

18.（2020-浙江）设（1+2无y=q+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,则a5=；

q+%+/=.

19.（2019•浙江）在二项式（、回+幻9的展开式中，常数项是；系数为有理数

的项的个数是.

20.（2017•浙江）已知多项式（x+l）3（x+2）2=d+a/4+%/+%/+。4/+。5，则

%=----------------，a5=---------

二、填空题

21.（2020•天津）在（x+W）的展开式中，/的系数是.

22.（2020•全国（理））（f+2）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

x

23.（2020•全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1

个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

24.（2019•天津（理））（2x一一展开式中的常数项为_______.

I8口

25.（2019・上海）在的二项展开式中，常数项的值为.

26.（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天

的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有

种（结果用数值表示）

27.（2018•上海）在（l+x）7的二项展开式中，/项的系数为（结果用数值表示）.

28.（2018•浙江）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字,

一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

29.（2018•浙江）二项式（加+97的展开式的常数项是__________.

2x

30.（2018•天津（理））在二项式（》一「产了的展开式中，的系数为.

31.（2018•全国（理））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女

生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

32.（2017♦天津（理））用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至

多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）

33.（2017•山东（理））已知（l+3x）"的展开式中含有X2项的系数是54,则

34.（2017•浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，

组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用

数字作答）

四、解答题

2

35.（2019•江苏）设（1+x）"=4+axx+a2x+•••+anx",n..A,neN".已知a；=2a2a4.

（1）求〃的值；

（2）设（1+石）"=a+8百，其中a,beN*,求）-36的值.

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编

九、计数原理(答案解析)

I.c

【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【解析】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有5种排法，若2个0不相邻，则有C；=10种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为-----=一.故选：C.

5+103

2.C

【解析】

解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，

故2个0不相邻的概率为4=0.6,故选：C.

3.C

【分析】

先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列，

乘法原理求得.

【解析】

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志

愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个

项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据

乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=24()种不同的分配方案，

故选：C.

4.C

【分析】

首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【解析】

第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有g=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选：C

5.C

【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定V的系数即可.

【解析】

rr

(4-展开式的通项公式为：Tr+i=(五厂(-2)=(-2)C0当，

5—尸।

令丁=2可得：尸=1,则f的系数为：(—2)C=(-2)x5=-10.

故选：C.

【小结】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特

定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中〃和r的隐含条件，即

〃，厂均为非负整数，且论，，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所

求的指数，再求所求解的项.

6.C

【分析】

分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【解析】

首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C：；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有C：♦C；=6x10=60种.

故选:C

【小结】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

7.C

【分析】

根据原位大三和弦满足k-j=3,j-i=4,原位小三和弦满足k_j=4,j-i=3

从i=l开始，利用列举法即可解出.

【解析】

根据题意可知，原位大三和弦满足：k-j=3,j-i=4.

z=1,J=5,A：=8；i=2,j=6,Z=9；i=3,j=7,k=10-i=4,/=8,Z=ll；

i=5,j=9,k=n.

原位小三和弦满足：k-j=4,j-i=3.

z=1,/=4,Z:=8；i=2,j=5,k.=9ii=3,j=6,k=1()；i=4,./=7,Z=11；

i=5,j=S,k=\2.

故个数之和为10.

故选：c.

【小结】

本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.

8.C

【分析】

求得(x+y)5展开式的通项公式为"eN且/'〈5),即可求得x+二与

(x+y)5展开式的乘积为C#6-ry或c；/-jr+2形式，对r分别赋值为3,1即可求得的

系数，问题得解.

【解析】

(X+y)5展开式的通项公式为刀+1=C；x5-?r(r€N且/•〈5)

(2、

所以X+—的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为：

Ix)

22

尤加=xC；x5-ryr=C；x6~ryr和E&=21,产y=C^-ryr+2

XX

在x7；+1=C#6fyr中，令r=3,可得：X(=C*3y3,该项中》3>3的系数为］0,

22

在=C；xIy+2中，令厂=1,可得：二*=C*3y3,该项中％3y3的系数为5

XX~

所以x3y3的系数为10+5=15

故选：C

【小结】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力,

属于中档题.

9.D

【分析】

男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【解析】

两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排

法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是!.故选D.

【小结】

本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用等价

转化的思想解题.

10.A

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.

【解析】

由题意得V的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.

【小结】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

11.A

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算

等数学素养，“重卦，，中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻

是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算.

【解析】

由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C：,

C35

所以该重卦恰有3个阳爻的概率为工==，故选A.

2616

【小结】

对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还

是组合问题.本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事

件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.

12.C

【解析】

分析：写出1句=C，2'、M°-3r,然后可得结果

解析：由题可得3r

令10-3r=4,则r=2

所以弓2二《"二判

故选C.

小结：本题主要考查二项式定理，属于基础题.

13.C

【解析】

(x+y)(2x-y)'=x(2x-»+y(2x-y)5,

由(2x-4展开式的通项公式Tr+l=C；(2x)~(-炉可得：

当r=3时，x(2x-y)’展开式中dy'的系数为C；x2?x(-1)，=~40；

当r=2时，y(2x—y)s展开式中/J?的系数为C；X23X(—1)2=80,

则。3的系数为80-40=40.

故选C.

14.C

【解析】

因为(1+4)(1+X)6=1<1+X)6+!.(1+X)6,则(1+X)6展开式中含f的项为

rX

1.或/=15%2,^^+^展开式中含V的项为《C:/二段?，故f的系数为

XX

15+15=30,选C.

小结:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项

式的每项，分析含V的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是

未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的「不同.

15.D

【解析】

2

4项工作分成3组,可得：C,=6,

4

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

3

可得:6xA^=36^f.

故选D.

16.D

【解析】

2

4项工作分成3组,可得：C=6,

4

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

3

可得：6xA3=36种.

故选D.

17.5;10.

【分析】

根据二项展开式定理，分别求出(X-1)3,(X+4)4的展开式，即可得出结论.

【解析】

(x-1)3=x3-3x2+3x-l,

(x+1)，=X，+4x3+6x2+4x+1,

所以q=1+4=5,4=—3+6=3,

%=3+4=7,4=—1+1=0,

所以4+%+4=10.

故答案为：5,10.

18.8051

【分析】

利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【解析】

(l+2x)5的通项为4+i=C；(2无)'=2'C3,

令厂=4,则n=24或犬=80_?,故%=80；

q+a,+iZj=1+2,C；+2"C；—51.

故答案为：80；51.

【点睛】

本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础

题.

19.1605

【分析】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二

项展开式的通项入手，根据要求，考察x的辱指数，使问题得解.

【解析】

（V2+幻9的通项为&=G（0）9-3，（厂=0,L2…9）

可得常数项为7；=鲁用=1W，

因系数为有理数，r=135,7,9,有［,7；,J,nMo共5个项

【小结】

此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幕指数''不能记混，其次,

计算要细心，确保结果正确.

20.164

【解析】

由二项式展开式可得通项公式为：CXG'x叫22-m=C；-C™-22-m.xr+m,分别取

r=0,m=1和厂=1,机=0可得%=4+12=16,取厂=：〃=（）,可得%=1X22=4.

【小结】

本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命

题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二

项展开式的通项公式1旬=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考

查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.

21.10

【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为2,即可求出.

【解析】

因为+的展开式的通项公式为

IXJ

&i=C05-(Wj=C；-2r-x5-3r(r=0,l,2,3,4,5).令5—3r=2,解得r=l.

所以/的系数为C；x2=10.

故答案为：10.

【小结】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.

22.240

【分析】

写出［犬+2)二项式展开通项，即可求得常数项.

【解析】

其二项式展开通项：

…《厂月

=Q--x12-2r(2)r-x-r

=Q(2)r-x12-3r

当12-3厂=0,解得r=4

(八6

x2+-的展开式中常数项是：C^-24=^-16=15x16=240.

Ix)

故答案为：240.

【小结】

本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(4+人)”的

展开通项公式考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

23.36

【分析】

根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计

数原理得解.

【解析】

•.•4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排

1名同学

二先取2名同学看作一组，选法有：C；=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：6=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【小结】

本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

24.28

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项.

【解析】

=品（2］户（-工）、产4"

8JT

由8—4厂=0,得〃=2，

所以的常数项为（-《=28.

【小结】

本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数基为0求得的.

25.15

【分析】

写出二项展开式通项，通过6-红=0得到厂=4,从而求得常数项.

2

【解析】

二项展开式通项为：C；-f-'-声"•

3r

当6=0时，r=4

2

,常数项为：C：=15

本题正确结果：15

【小结】

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

26.24

【分析】

首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果.

【解析】

在5天里，连续2天的情况，一共有4种

剩下的3人全排列：

故一共有：4x^=24种

【小结】

本题考查基础的排列组合问题,解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素,要优先考虑,

然后再考虑普通元素.

27.21.

【分析】

利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.

【解析】

二项式(1+X)7展开式的通项公式为

Tr+尸C；R,

令r=2,得展开式中x2的系数为=21.

故答案为21.

【小结】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出，•值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由

特定项得出，•值，最后求出其参数.

28.1260.

【解析】

分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

解析：若不取零，则排列数为C；C；A：,若取零，则排列数为C；C；A；A；,

因此一共有C；C；A：+C；C；A；A；=1260个没有重复数字的四位数.

小结：求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一"插空法”；（3）元素有顺

序限制的排列问题——“除序法”；⑷带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间

接法.

29.7

【解析】

分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第什1项，再根据项的次数为零解得r,代入即得

结果.

1118-4r

解析：二项式（私+#的展开式的通项公式为Tr+l=G曲产（=C；・以•X丁，

令8尚-4竺r=0得r=2,故所求的常数项为oC；1^=7.

小结：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

⑴求展开式中的特定项•可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出一值即可.

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第r+1项，

由特定项得出r值，最后求出特定项的系数.

30.—.

2

【分析】

由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解X?的系数即可.

【解析】

结合二项式定理的通项公式有：刀+产（一十J=卜；）G;告，

令5—』「=2可得：r=2,则/的系数为：C;=lxl0=-.

212）§42

【小结】

（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据