河北省临西县实验中学2024年高三3月份模拟考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

河北省临西县实验中学2024年高三3月份模拟考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,集合,,则()A. B.C. D.2.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()①②③④⑤A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知函数满足,当时,,则()A.或 B.或C.或 D.或4.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.25.已知非零向量,满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:6.年部分省市将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A. B.C. D.7.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()A. B.C. D.9.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.510.已知,则()A. B. C. D.11.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强12.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角的对边长分别为,已知,且,则_________.14.角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.15.已知复数,其中是虚数单位.若的实部与虚部相等,则实数的值为__________.16.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.18.(12分)已知等腰梯形中(如图1),,,为线段的中点,、为线段上的点,,现将四边形沿折起(如图2)(1)求证:平面;(2)在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时,湖北省累计接收捐赠物资615.43万件,包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个,医用一次性口罩172.87万个,护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A型卡车16次,B型卡车12次;每辆卡车每天往返的成本:A型卡车240元,B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?20.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.22.(10分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,,∴.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2、B【解析】

满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,分别对所给函数进行验证.【详解】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,①不满足(2);②不满足(1);③不满足(2);④⑤均满足(1)(2).故选:B.【点睛】本题考查新定义函数的问题,涉及到函数的性质,考查学生逻辑推理与分析能力,是一道容易题.3、C【解析】

简单判断可知函数关于对称,然后根据函数的单调性,并计算,结合对称性,可得结果.【详解】由,可知函数关于对称当时,,可知在单调递增则又函数关于对称,所以且在单调递减,所以或,故或所以或故选:C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式,抽象函数给出式子的意义,比如:,,考验分析能力,属中档题.4、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.5、C【解析】

根据向量的数量积运算,由向量的关系,可得选项.【详解】,,∴等价于,故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件,属于基础题.6、B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后,只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案,根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率,故选B.7、D【解析】

根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.8、C【解析】

当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.【详解】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,,.故选.【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.9、B【解析】

利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.10、D【解析】

根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.11、D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为,乙的六大素养整体水平均得分为,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.12、D【解析】

由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】∵∴根据正弦定理与余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案为414、【解析】试题分析:由三角函数定义知,又由诱导公式知,所以答案应填:.考点:1、三角函数定义;2、诱导公式.15、【解析】

直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.【详解】解:的实部与虚部相等,所以,计算得出.故答案为:【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.16、【解析】

由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类:①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选,一共有种情况;②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,一共有种情况,又从中任意摸取3个小球,有种情况,所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因为BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如图,由已知可得,,则,则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则,DE⊥平面ABCD,则平面.过G做于点I,则BF平面,即角为二面角CBFD的平面角,则60°.则,,则.在直角梯形BDEF中,G为BD中点,,,,设,则,,则.,则,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE两两垂直,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE=h,则D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量为n=(1,0,0),由,解得,则,又,则,设CF与平面ABCD所成角为,则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛:该题考查的是立体几何的有关问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定,线面角的正弦值,在求解的过程中,需要把握面面垂直的判定定理的内容,要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候,有两种方法,可以应用常规法,也可以应用向量法.18、(1)见解析;(2).【解析】

(1)先连接,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立;(2)在图2中,过点作,垂足为,连接,,证明平面平面,得到点在底面上的投影必落在直线上,记为点在底面上的投影,连接,,得出即是直线与平面所成角,再由题中数据求解,即可得出结果.【详解】(1)连接,因为等腰梯形中(如图1),,,所以与平行且相等,即四边形为平行四边形;所以;又为线段的中点,为中点,易得:四边形也为平行四边形,所以;将四边形沿折起后,平行关系没有变化,仍有:,且,所以翻折后四边形也为平行四边形;故;因为平面,平面,所以平面;(2)在图2中,过点作,垂足为,连接,,因为,,翻折前梯形的高为,所以,则,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以点在底面上的投影必落在直线上;记为点在底面上的投影,连接,,则平面;所以即是直线与平面所成角,因为,所以,因此,,故;因为,所以,因此,故,所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行,以及求直线与平面所成的角,熟记线面平行的判定定理,以及线面角的求法即可,属于常考题型.19、每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低【解析】

设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,由题意列出约束条件,作出可行域,求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解.【详解】设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,运输队所花成本为元,由题意可知,,整理得,目标函数,如图所示,为不等式组表示的可行域,由图可知,当直线经过点时,最小,解方程组,解得,,然而,故点不是最优解.因此在可行域的整点中,点使得取最小值,即,故每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低.【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题,考查了数形结合的思想,解题关键在于列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,同时注意整点的选取,属于中档题.20、(1)答案见解析(2)【解析】

(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时

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