初中数学九年级下册 复习

复习学习目标:1.明确求线段和最小值问题的基本依据：两点之间，线段最短；垂线段最短。2.掌握求线段和最小值问题的基本思路和方法:作对称,化“折”为“直”。3.学会从具体问题中分析出关键信息,提炼出基本模型,从而解决问题。问题引领

初遇“将军饮马”问题——轴对称

如图，直线m表示一条河流，将军每天从营地A出发，先去河边饮马，然后再去河岸同侧的B处开会，他应怎样走，才能使路程最短？作出这条路线，并说明你的依据。军营A..B

Pm河流两定点在直线同侧时，求两线段和最小值的一般步骤：②连结对称点与另一点之间的线段，交直线m于点P。①作其中一点关于直线的对称点；

BA’PmA基本图形:“两点一线”型BB’PmA基本方法:作对称，化“折”为“直”知识与方法或┐点P即为所求的点。线段A'B或AB'的长就是AP+BP的最小值。┐

你能说明理由吗？

依据：两点之间，线段最短QA'B

APmAP+PB=A'P+PB=A'BAQ+QB=A'Q+QB>A'B

如图，若AC=4km，BD=2km,CD=8km，求将军所走的最短路线长。

再遇“将军饮马”问题——勾股定理，计算A..BCDA'428P方法:

构造直角三角形利用勾股定理计算。A..BCDA'428P┌EE┌或学以致用

（1）几何图形中的“将军饮马”如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC边上一点,且CE=1,P是对角线BD上任一点,则PC+PE的最小值是_______。5关键信息：定点,动点及所在直线“两点一线”型ABDCE.P41方法：找对称,化“折”为“直”勾股定理计算（2）一次函数中的“将军饮马”问题:如图，在x轴上找一点P，使AP+BP的值最小，求出点P坐标和AP+BP的最小值。方法：作对称，化“折”为“直”求解析式，算交点A..B（4，1）.B'（4，-1）P（1，2）xyo“两点一线”型学以致用关键：确定定点A、B；动点P及所在直线x轴解析：

作点B关于X轴的对称点B'，则B'（4，-1），连结AB'，交X轴于点P，连结BP，则PB=PB'，此时AP+BP的值最小，最小值为AB'的长。可通过构造直角三角形求得AB'的长，也可用两点间距离公式求得AB'的长。

解：AP+BP=AB'=设AB'所在直线表达式为y=kx+b（k≠0）则

=（1-4）2+（2+1）232

k=-1解得

b=3

k+b=2

4k+b=-1∴直线AB'的表达式为:y=-x+3令y=0，则x=3∴点P坐标为（3，0）B'（4，-1）xA.P（1，2）yoB（4,1）分析：因为AB的长确定，故△ABP的周长最小时，AP与BP的和为最小，所以,可提炼出“两点一线”基本模型。学以致用

(3)二次函数中的“将军饮马”问题:

（-1，0）（0，-5）（5，0）xOAByCPP

如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标。解析：找点A关于对称轴的对称点C,连结BC,交对称轴于点P,连结AB、PA、PB,则∆PAB的周长最小。可先求点C坐标，再求直线BC的表达式，然后找BC与对称轴的交点P的坐标。解：令y=0,则x2-4x-5=0,

解得x1=5,x2=-1(舍去)∴点C坐标为(5,0)设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)则b=-5解得b=-55x+b=0k=1∴直线BC的表达式为y=x-5又∵抛物线的对称轴为：x=2

∴令x=2,得y=-3∴点P的坐标为（2，-3）（-1，0）（0，-5）（5，0）xOAByCP合作探究(1)如图，直线a表示草地边缘线，直线b表示河流，将军从A地出发，先到草地牧马，然后再去河边饮马，最后再回到A地，将军应沿着怎样的路线行走，才能使路程最短？“一点两线”型两次对称，化“折”为“直”

A1

A2

MNab.

A合作探究

(2)如果上题中，将军从A地出发，先到草地牧马，然后去河边饮马，最后要回到B地，那么他又该怎样走才能使路程最短呢？.

Aa

b.B.

A'

B'NM.“两点两线”型两次对称化“折”为“直”拓展探究方法：

先对称，再垂直

前面问题中，如果将军牧马后，只想尽快去河边饮马，而不去开会，那么他又该怎样走才能使路程最短呢？依据：

垂线段最短.Aab.

A'NM┐o┐QP┐归纳总结

m.PA..B

A'.（一）“两点一线”型（二）“一点两线”型1（三）“两点两线”型（四）“一点两线”型2基本模型.

A.

A1ab

A2

.NMaMN.B.Ab.A'B'.Aab.

A'NM┐归纳总结基本方法：作对称，化“折”为“直”；构造直角三角形，勾股定理计算；求解析式，算交点。基本依据：两点之间，线段最短；垂线段最短。数学思想：转化、数形结合、函数思想巩固练习

如图，已知A（1，3），B（3，2），M是x轴上一动点，P是y轴上一动点，求AP+PM+MB的最小值，并求出此时M、P的坐标。.A（1