高一公式配例专题复习(优)集最均

高一数学公式方法对位复习（1）集合,函数零点，最值，均值不等式集合（一）知识复习1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集⊆A，B(B≠)4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合的运算(1)①A∩B________A； ②A∩B________B；③A∩A＝________； ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁UA)＝________；②∁UU＝________；③∁U＝________；④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)________(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)________(∁UB)．(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；（二）巩固理解元素与集合的关系:,.2，两个公式.3，包含关系4，集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.类型一集合的概念及其运算例1（1）已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=（2）集合M={x｜y=x2,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N”；（3）已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a类型二集合间的关系例2.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}.(1)若BA，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m(3)若AB，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围.练习：（1）集合，且，则的范围是（2）集合若，则实数的值是（3）已知集合为实数。（1）若是空集，求的取值范围；（2）若是单元素集，求的取值范围；（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围；类型三Venn图及其应用例3（1）设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且xP}，则M－(M－P)等于()A．P B．M∩PC．M∪P D．M（2）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________类型四和集合有关的创新试题例4：设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足；(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R.其中，“保序同构”的集合对的是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)（三）巩固训练1.设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2.设全集U是实数集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|2<x<3}B．{x|x<3}C．{x|1<x≤2}D．{x|x≤2}3.对一切恒成立，求a的取植范围，4.已知集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤1}，则A∪B＝______.5.设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(1－x)>1))，N＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2}，则N∩(∁RM)＝______________.6.设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位，规定i的平分等于—1}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)7.．记关于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)＜0的解集为P，不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤1的解集为Q.(1)若a＝3，求P；(2)若QP，求正数a的取值范围.8．已知全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(6,x＋1)≥1))，集合B＝{x|x2－2x－m＜0}.(1)当m＝3时，求A∩(∁UB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求m的值.9.已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,2)x2－x＋\f(5,2)，0≤x≤3)).(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B.（二）二次函数，二次方程，二次不等式（一）知识复习1.绝对值不等式解法：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为;不等式的解集为2．一元二次不等式：（1）解法（分有无字母）（2）二次不等式恒成立（3）非二次不等式恒成立3.二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝(a≠0).2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x＝；②顶点坐标：；③开口方向：a＞0时，开口，a＜0时，开口；④值域：a＞0时，y∈，a＜0时，y∈；⑤单调性：a＞0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；a＜0时，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是____________.(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的.3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0.))m＜x1＜x2②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0.))x1＜m＜x2③f(m)<0m＜x1＜x2＜n④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0.))m＜x1＜n＜x2＜p⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0.))m<x1＝x2<n⑥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n.))只有一根在区间(m，n)内⑦f(m)·f(n)<0⑧f(m)＝0(f(n)＝0)时，需检验方程f(x)＝0的另一根是否在(m，n)内基础训练：1.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6≤a≤3))的最大值为()A．9 B.eq\f(9,2) C．3 D.eq\f(3\r(2),2)3.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()4.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.5.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.类型一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.练习：已知y＝f(x)是二次函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－x))对x∈R恒成立，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝49，方程f(x)＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式.类型二二次函数的图象例2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图象是下图中的()练习.在同一坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是()类型三二次函数的最值例3（1）已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值g(a).（2）设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式.类型四二次方程根的分布例4.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2).类型五二次不等式及其恒成立例5.1．关于的不等式的解集是，则等于（）A-24B24C14D-142.若，则关于x的不等式的解是（）A或B或CD3.不等式的解集是（）ABCD4（1）求函数的值域。（2）的最值(5)（i）对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围(ii)不等式在区间[2,3]恒成立时，则的取值范围是（）对位练习：（1）方程，（1），求a的范围。（2）.求a的范围（3）有一正一负根，求a的范围。求a的范围（二）巩固训练1.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上f(x)是()A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，那么()A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)3．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0，2]C．(－∞，2] D．[1，2]4.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)等于()A．－3 B．13 C．7 D．55.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋x，x＞0，,－x2＋bx＋c，x≤0，))若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为(A．1 B．2 C．3 D．6.在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a，b，c成等比数列，且f(0)＝－1，则()A．f(x)有最大值－eq\f(3,4) B．f(x)有最小值eq\f(3,4)C．f(x)有最小值－eq\f(3,4) D．f(x)有最大值eq\f(3,4)7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.8.设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，∞)上是增函数，则a的取值范围是______________.的取值范围是___________10.f(x)＝－x2＋ax＋eq\f(1,2)－eq\f(a,4)在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值.11.已知eq\f(1,3)≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a).求g(a)的函数表达式.12.已知二次函数f(x)＝x2－2tx＋2t＋1，x∈[－1，2].(1)求函数f(x)的最小值g(t)；(2)若f(x)≥－1恒成立，求t的取值范（三）均值不等式（基本不等式及其应用）（一）知识复习1．如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥(当且仅当a＝b时取等号)．4．基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7．拓展：若a＞0，b＞0时，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤≤eq\f(a＋b,2)≤，当且仅当a＝b时等号成立．8.)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同号且不为零)(3)abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)(4)eq\f(a2＋b2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)(二)基础训练1.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2bA．6 B．4eq\r(2) C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A．eq\f(1,2) B．1 C．2 D．43.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A．a＜v＜eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C．eq\r(ab)＜v＜eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)4.下列函数中，最小值为4的是________．①y＝x＋eq\f(4,x)；y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))②y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0＜x＜π)；③y＝4ex＋e－x；④y＝log3x＋logx3(0＜x＜1)．5.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是类型一利用基本不等式求最值例1(1)求函数y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的值域．(2)下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)(3)设正数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)(4)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值．类型二利用基本不等式求有关参数范围例2（1）若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A．2∈M，0∈MB．2∉M，0∉MC．2∈M，0∉MD．2∉M，0∈M（2）已知x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)(3)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.（4）设常数a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．注意：几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.补充例题:类型三利用基本不等式解决实际问题例3.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．练习：如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，．（三）点评：1．在利用基本不等式求最值时，要注意使用口诀：一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．2．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值．3．求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．巩固训练：1．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2 B．a C．3 D.eq\f(2\r(a),a－1)2．设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A．ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2) B．ab＜1≤eq\f(a2＋b2,2)C．1＜ab＜eq\f(a2＋b2,2) D．ab≤eq\f(a2＋b2,2)≤13．函数f(x)＝eq\f(5－4x＋x2,2－x)在(－∞，2)上的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．34．下列不等式中正确的是()A．若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2B．若x，y都是正数，则lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若x<0，则x＋eq\f(4,x)≥－2eq\r(x·\f(4,x))＝－4D．若x≤0，则2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝25．建造一个容积为8m3，深为A．1000元 B．1500元C．2000元 D．1200元6．若a>b>0，则代数式a2＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值为()A．2 B．3