数学-专项04 直角坐标系的三种考法全攻略（带答案）

专题04直角坐标系的三种考法全攻略类型一、规律性问题例．如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵对角线交点M的坐标为，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为，即，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：，即，第3次变换后的点M的对应点的坐标为，即，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，∴连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为．故选：A．

【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，；，；故选：D．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次点向右跳到，第三次点跳到，第四次点向右跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点第2022次跳动至点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C

【详解】解：根据题意可以可知：，，，……由此发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，横坐标等于顺序数的一半，，，故选：C．【变式训练3】在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即，……，按此规律排列下去第24个点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵……∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：，，∴第24个点在第八组的第三个，∵第八组的第一个点坐标为：，∴第24个点的坐标为：，故选：C．【变式训练4】如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形

，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，点的坐标是______．【答案】【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，∵从B到经过了3次变化，∵，．∴点所在的正方形的边长为2，点位置在x轴正半轴．∴点的坐标是；可得出：点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵，∴的纵横坐标符号与点的相同，横坐标是负数，纵坐标为0，

∴的坐标为．故答案为：．【变式训练5】在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，且规定：正方形内部不包括边界上的点．请你观察如图所示的正方形，边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形的内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，……，则边长为9的正方形内部的整点个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设边长为9的正方形内部的整点的坐标为，都为整数．则，故x只可取共9个，y只可取共9个，它们共可组成点的数目为（个）故选：C．类型二、点的坐标问题例．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意：作图如下，∴点B的对应点的坐标为．故选：C．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）【答案】C【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），故选：C．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为_______，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S四边形ABDC，则点P的坐标为_______．【答案】（4，2）（0，4）或（0，-4）【详解】解：由题意得点D是点B（3，0）先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，∴点D的坐标为（4，2）；同理可得点C的坐标为（0，2），∴OC=2，∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4，∴，

设点P到AB的距离为h，∴S△PAB=×AB×h=2h，∵S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，解得h=4，∵P在y轴上，∴OP=4，∴P（0，4）或（0，-4）．故答案为：（4，2）；（0，4）或（0，-4）．【变式训练3】作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（），B1（），A1（）；(2)直接写出△ABC的面积为；(3)在x轴上画点P，使PA+PC最小．【答案】(1)-1，2；-3，1；-4，3；(2)；(3)作图见详解(1)解：关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数，∵，，，∴，，，故答案为：-1，2；-3，1；-4，3；(2)△ABC的面积为长方形面积减去三块三角形面积，故，故答案为：．(3)解：如图作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点为P，

如图所示，点P即为所求作点．类型三、面积问题例．如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（

）．A． B． C． D．或【答案】B【详解】解：作轴于点P，∵、、、，∴，

∴，，，，∴，∴，①当即时，即，解得：，∴；②当即时，即，解得：，∴；综上可知．故选：B．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的．(1)画出平移后的；

(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，请直接写出点的坐标（用含x，y的式子表示）；(3)连接，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)9【详解】（1）∵，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，∴，，即，，，画图如下：故为所求．（2）∵先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，．（3）过点作于点D，．【变式训练2】如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式和．

(1)求、、的值；(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在点，使得四边形的面积与的面积相等【详解】（1）解；∵，，，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，，∴；（3）解；∵，∴轴，∴，∵四边形的面积与的面积相等，

∴，∴，∴，∴存在点，使得四边形的面积与的面积相等．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．(1)填空：______，________；(2)若存在一点，点M到x轴距离_______，到y轴距离_______，求的面积（用含m的式