《二次函数》经典60题

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页中考数学提分冲刺真题精析：二次函数一、解答题（共60小题）1．（2014•扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人天天82元，天天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正巧收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；（3）若该店惟独2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？2．（2014•徐州）某种商品天天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满意关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品天天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品天天的销售利润不低于16元？3．（2014•孝感）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分离为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．4．（2014•西宁）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y=﹣x+5．因为物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房所有出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时光x满意一次函数关系如下表：时光x（单位：年，x为正整数）12345…单位面积租金z（单位：元/平方米）5052545658（1）求出z与x的函数关系式；（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？5．（2014•温州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．6．（2014•泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并赶紧将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对如实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分离为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分离为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分离求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？7．（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，按照市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司决定投入132万元资金，请设计一种经营计划，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．8．（2014•绍兴）倘若二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探索下列问题：①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才干使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？9．（2014•陕西）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．倘若以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？10．（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？11．（2014•盘锦）某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增强盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满意函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）12．（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．13．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？倘若存在，求出点M的坐标；倘若不存在，说明理由．14．（2014•南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴惟独一个公共点？15．（2014•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，衔接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．16．（2014•龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，哀求出满意条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．17．（2014•连云港）为了考察冰川的融化情况，一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O为圆心，半径为4km的圆形考察区域，线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动，若经过n年，冰川的边界线P1P2移动的距离为s（km），并且s与n（n为正整数）的关系是s=n2﹣n+．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P1、P2的坐标分离为（﹣4，9）、（﹣13、﹣3）．（1）求线段P1P2所在直线对应的函数关系式；（2）求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时光．18．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达尽头时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．19．（2014•黑龙江）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）按照图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20．（2014•桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分离为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分离存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2014•佛山）利用二次函数的图象预计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根（确切到22．（2014•防城港）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都惟独一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．23．（2014•丹东）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，倘若按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．按照销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才干在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．24．（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴惟独一个公共点，求m的值．25．（2014•崇左）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分离相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y=kx+b的解析式；（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．26．（2014•成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边充足长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分离是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．27．（2014•滨州）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配主意求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．28．（2014•毕节市）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增强2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．29．（2014•本溪）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同，销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满意函数关系式yA=﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满意函数关系式yB=﹣x+14．（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？30．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．31．（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．32．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．33．（2013•温州）如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，衔接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形COBD的面积．34．（2013•邵阳）如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．35．（2013•泉州）已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．36．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的主意，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．37．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．38．（2013•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．39．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2．按照以上信息解答下列问题：将直线y=2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．40．（2013•湖州）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．41．（2013•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，衔接DE，求△DEF的面积．42．（2013•杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．43．（2013•贵阳）已知：直线y=ax+b过抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点P，如图所示．（1）顶点P的坐标是；（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称，求直线y=mx+n与抛物线y=﹣x2﹣2x+3的交点坐标．44．（2013•佛山）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．45．（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．46．（2013•安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．47．（2012•淄博）已知：抛物线．（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x…﹣7﹣313…y…﹣9﹣1…（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．48．（2012•邵阳）如图所示，已知抛物线C0的解析式为y=x2﹣2x（1）求抛物线C0的顶点坐标；（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn（n为正整数）①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；②试决定抛物线Cn的解析式．（直接写出答案，不需要解题过程）49．（2012•柳州）已知：抛物线y=（x﹣1）2﹣3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．50．（2012•黑龙江）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．51．（2012•杭州）当k分离取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，哀求出最大值．52．（2012•佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值逻辑如下表：x﹣10123y03430②有序数对（﹣1，0）、（1，4）、（3，0）满意y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．53．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．54．（2011•自贡）已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分离作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增强，纵坐标增强分离作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）上．（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能按照特点②的启示，对普通二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）提出一个预测吗？请用数学语言把你的预测表达出来，并赋予证实．55．（2011•盐城）已知二次函数y=﹣x2﹣x+．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）按照图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．56．（2011•泰州）已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的随意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．57．（2011•十堰）如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分离交CD，AD于点E，B，衔接BC，AC，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x=；（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．58．（2011•南通）已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上；（2）点A在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？（3）求a和k的值．59．（2011•怀化）已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．（1）当a取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．60．（2014•荆州）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴惟独两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2．①求抛物线的解析式；②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

中考数学提分冲刺真题精析：二次函数参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（2014•扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人天天82元，天天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正巧收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；（3）若该店惟独2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）按照待定系数法，可得函数解析式；（2）按照收入等于指出，可得一元一次方程，按照解一元一次方程，可得答案；（3）分类研究40≤x≤58，或58≤x≤71，按照收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，按照解不等式，可得答案．解答：解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得，解得．∴y=﹣2x+140．当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得，解得，∴y=﹣x+82，综上所述：y=；（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，∴（48﹣40）×44=106+82a，解得a=3；（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106]≥68400，∴b≥，当40≤x≤58时，∴b≥=，x=﹣时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，∴b，即b≥380；当58＜x≤71时，b=，当x=﹣=61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，∴b，即b≥400．综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类研究是解题关键．2．（2014•徐州）某种商品天天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满意关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品天天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品天天的销售利润不低于16元？考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：销售问题．分析：（1）按照待定系数法，可得二次函数解析式，按照顶点坐标，可得答案；（2）按照函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．解答：解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品天天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品天天的销售利润不低于16元．点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．3．（2014•孝感）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分离为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有专题：代数综合题．分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；（3）不妨设A（x1，0），B（x2，0）．利用x1，x2表示出OA、OB的长，则按照根与系数的关系，以及OA+OB=2OA•OB﹣3即可列方程求解．解答：解：（1）由题意可知：△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，即﹣12k+5＞0∴．（2）∵，∴x1＜0，x2＜0．（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），OA•OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，∵OA+OB=2OA•OB﹣3，∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，解得k1=1，k2=﹣2．∵，∴k=﹣2．点评：本题考查了二次函数与x轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满意一元二次方程的根与系数的关系．4．（2014•西宁）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y=﹣x+5．因为物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房所有出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时光x满意一次函数关系如下表：时光x（单位：年，x为正整数）12345…单位面积租金z（单位：元/平方米）5052545658（1）求出z与x的函数关系式；（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：经济问题．分析：（1）设z与x的一次函数关系为z=kx+b（k≠0），然后任取两组数据，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）按照租金=单位面积租金×面积列式收拾得到W与x的关系式，再收拾成顶点式形式，然后按照二次函数的最值问题解答．解答：解：（1）设z与x的一次函数关系为z=kx+b（k≠0），∵x=1时，z=50，x=2时，z=52，∴，解得，∴z与x的函数关系式为z=2x+48；（2）由题意得，W=yz=（﹣x+5）（2x+48），=﹣x2+2x+240，=﹣（x2﹣6x+9）+3+240，=﹣（x﹣3）2+243，∵﹣＜0，∴当x=3时，W有最大值为243，答：政府在第3年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为243百万元．点评：本题考查了二次函数的应用，（2）读懂题目信息，列出W关于x的函数关系式并收拾成顶点式形式是解题的关键．5．（2014•温州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：代数几何综合题．分析：（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配主意求出顶点坐标；（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．解答：解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．6．（2014•泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并赶紧将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对如实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分离为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分离为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分离求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：yB=（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴yB=（x﹣60）2+100，当x=40时，yB=×（40﹣60）2+100，解得：yB=200，yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴yA=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，yB=（44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．7．（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，按照市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司决定投入132万元资金，请设计一种经营计划，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：应用题；压轴题．分析：（1）这是一个分段函数，分离求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分离求出w关于x的表达式．注重w=销售总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是计划设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分离求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分离求出其最大值．解答：解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y=﹣x+14；②当x≥8时，y=6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y=；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x2+7x+48；当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=（5x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w=．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64∴当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=，m﹣x=；②当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．点评：本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注重要分类研究．8．（2014•绍兴）倘若二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探索下列问题：①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才干使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．菁优网版权所有专题：新定义．分析：（1）按照题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；（2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移逻辑得出答案；②分离求出两函数解析式，进而得出平移逻辑．解答：解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；（2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+2﹣1）2﹣5+1=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=（x+）2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配主意求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．9．（2014•陕西）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．倘若以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；分类研究．分析：（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）按照（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）按照平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类研究．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M（﹣1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．点评：本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类研究，避免漏解．10．（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有分析：（1）因为抛物线过点O（0，0），A（2，0），按照抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先按照旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再按照含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），按照抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．11．（2014•盘锦）某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增强盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满意函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：应用题．分析：（1）按照门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人，可得价格与人数的关系；（2）按照成本与人数的关系式，可得函数解析式；（3）按照二次函数的性质，a＜0，当自变量取﹣时，函数取最大值，可得答案．解答：解：（1）由题意得y=500﹣50×，即y=﹣10x+700；（2）由z=100+10y，y=﹣10x+700，得z=﹣100x+7100；（3）w=x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100）即w=﹣10x2+800x﹣7100，当x=﹣=﹣=40时，景点每日获取的利润最大，w最大===8900（元），答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．点评：本题考查了二次函数的应用，列函数解析式是解题关键，利用了二次函数的性质．12．（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有专题：代数综合题．分析：（1）按照二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；（3）画出图象，再按照图象直接得出答案．解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练控制．13．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？倘若存在，求出点M的坐标；倘若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题；存在型．分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．（3）因为AB为直角边，分离以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）举行研究，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤t≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．点评：本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类研究的思想，综合性比较强．14．（2014•南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴惟独一个公共点？考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有专题：代数综合题．分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，按照顶点坐标和平移的性质得出即可．解答：（1）证实：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴惟独一个公共点，所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴惟独一个公共点．点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．15．（2014•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，衔接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可决定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而决定出E点坐标，得到DE与OE的长，按照B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），∴将A与B坐标代入得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），∵对称轴与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，∵B（﹣1，0），∴BO=1，∴BE=2，在Rt△BED中，按照勾股定理得：BD===2．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练控制待定系数法是解本题的关键．16．（2014•龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，哀求出满意条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：代数几何综合题．分析：（1）用待定系数法即可求得．（2）过O作OM⊥BC，则OM=，因为OB=，按照勾股定理求得MB=2，进而求得tan∠COM===2，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标．（3）按照勾股定理求得DF、OB的长，按照DF∥OB得出=即可求得．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x，把B（3，1）代入y=（k≠0）得：1=，解得：k=3，∴双曲线的解析式为：y=．（2）存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°；∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），设直线BC为y=kx+n，∴，解得k=1，n=﹣2，∴直线BC为：y=x﹣2，∴直线BC与坐标轴的交点（2，0），（0，﹣2），过O作OM⊥BC，则OM=，∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴OB=OC=，∴BM===2，∴tan∠COM===2，∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，∴∠POE=∠COM，∴tan∠POE=2，∵P点是抛物线上的点，设P（m，﹣m2+m），∴=2，解得：m=，∴P（，1）．综上所述，存在点P（，1），使得∠POE+∠BCD=90°．（3）∵直线CO过C（﹣1，﹣3），∴直线CO的解析式为y=3x，解，解得，∴D（1，3），∵B（3，1），∴直线OB的斜率=，∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，∴DF∥OB，∴直线l的斜率=﹣3，直线DF的斜率=，∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），∴直线l的解析式为y=﹣3x+10，直线DF解析式为y=x+，解，解得，∴F（，），∴DF==，∵DF∥OB，OB=，∴△DNF∽△BNO，∴===．点评：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的运用，平行线的斜率的特点，以及图象的交点等．17．（2014•连云港）为了考察冰川的融化情况，一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O为圆心，半径为4km的圆形考察区域，线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动，若经过n年，冰川的边界线P1P2移动的距离为s（km），并且s与n（n为正整数）的关系是s=n2﹣n+．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P1、P2的坐标分离为（﹣4，9）、（﹣13、﹣3）．（1）求线段P1P2所在直线对应的函数关系式；（2）求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时光．考点：二次函数的应用．菁优网版权所有专题：应用题．分析：（1）设P1P2所在直线对应的函数关系式是y=kx+b，由待定系数法求出其解就可以得出结论；（2）由（1）的解析式求出直线P1P2与坐标轴的交点，设最短距离为a，由三角形的面积相等建立方程，求出a的值就求出了s的值，再代入s=n2﹣n+就可以求出时光．解答：解：（1）设P1P2所在直线对应的函数关系式是y=kx+b，按照题意，得，解得：，∴直线P1P2的解析式是：y=x+；（2）在y=x+中，当x=0，则y=，当y=0，则x=﹣，∴与x、y轴的交点坐标是（0，）、（﹣，0）．由勾股定理，得=，当P1P2与⊙O相切时，此时冰川移动的距离最短，设移动的最短距离是s，O点到直线P1P2的距离为x，则按照面积相等列出等式，××=×x，解得：x=，即s=﹣4=∵s=n2﹣n+，∴n2﹣n+=，解得：n1=6，n2=﹣4.8（舍去）答：冰川边界线移动到考察区域所需的最短时光为6年．点评：本题考察了待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．18．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达尽头时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）把点A、B的坐标分离代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时光为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质举行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则按照图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解答：解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分离代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；（2）设运动时光为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴=，即=，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，S△PBQ最大=．答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∵点K在抛物线上．∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）=×4•EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注重该点的运动范围，即自变量的取值范围．19．（2014•黑龙江）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）按照图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有专题：待定系数法．分析：（1）按照抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分离代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）按照图象直接写出答案．解答：解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），按照题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注重数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．20．（2014•桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+x+4；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分离为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分离存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）先求得B点的坐标，然后按照待定系数法交点抛物线的解析式；（2）按照平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标；（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满意条件的情形，需要分类研究，避免漏解．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），对称轴为直线x=1．∴B（4，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（2）由抛物线y=﹣x2+x+4可知C（0，4），∵抛物线的对称轴为直线x=1，按照对称性，∴C′（2，4），∴A′（0，0）．（3）存在．设F（x，﹣x2+x+4）．以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，①若AC为平行四边形的边，如答图1﹣1所示，则EF∥AC且EF=AC．过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，∴DE1=2，DF1=4．∴﹣x2+x+4=﹣4，解得：x1=1+，x2=1﹣．∴F1（1+，﹣4），F2（1﹣，﹣4）；∴E1（3+，0），E2（3﹣，0）．②若AC为平行四边形的对角线，如答图1﹣2所示．∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴，∴点C为点A关于x=1的对称点，∴F3（2，4），CF3=2．∴AE3=2，∴E3（﹣4，0）．综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；点E、F的坐标为：E1（3+，0），F1（1+，﹣4）；E2（3﹣，0），F2（1﹣，﹣4）；E3（﹣4，0），F3（2，4）．（注：因点F3与点C′重合，故此处不决定E3、F3是否满意题意，请读者注重，谢谢）点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，按照抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．解题关键是按照题意画出图形，按照图形解答问题．21．（2014•佛山）利用二次函数的图象预计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根（确切到0.1）．考点：图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：按照函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解答：解：方程x2﹣2x﹣1=0根是函数y=x2﹣2x﹣1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在﹣1和0之间，另一个在2和3之间．先求﹣1和0之间的根，当x=﹣0.4时，y=﹣0.04；当x=﹣0.5时，y=0.25；因此，x=﹣0.4（或x=﹣0.5）是方程的一个近似根，同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根．点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想主意．22．（2014•防城