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文档简介
海南省三亚市天涯区三亚华侨学校2024届高考数学押题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则()A. B. C. D.2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1203.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.4.五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为()A. B. C. D.5.已知函数,则下列判断错误的是()A.的最小正周期为 B.的值域为C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称6.正方体,是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面平行的直线有几条()A.36 B.21 C.12 D.67.已知角的终边经过点P(),则sin()=A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.10.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.11.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.12.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)在平面直角坐标系中,过点作倾斜角为的直线,已知直线与圆相交于两点,则弦的长等于____________.14.已知一组数据,1,0,,的方差为10,则________15.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.16.若向量满足,则实数的取值范围是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列和满足,,,,.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.18.(12分)如图,四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点.(1)求证:VA∥平面BDE;(2)求证:平面VAC⊥平面BDE.19.(12分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)判断函数的零点个数.20.(12分)为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图:(1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由;(2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润;(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为,求的分布列及期望.21.(12分)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当直线的倾斜角为时,求线段AB的中点的横坐标;(2)设点A关于轴的对称点为C,求证:M,B,C三点共线;(3)设过点M的直线交椭圆于两点,若椭圆上存在点P,使得(其中O为坐标原点),求实数的取值范围.22.(10分)已知,点分别为椭圆的左、右顶点,直线交于另一点为等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,总使得为锐角,求直线斜率的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以.故选:D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养2、C【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.3、D【解析】
由已知可将问题转化为:y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点,作出图象,由图可得:点(1,0)必须在直线y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直线y=kx-和y=lnx相切时,k=;结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点.作出函数y=f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.当直线y=kx-和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k==,∴m=.此时,k==,f(x)的图象和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故所求k的取值范围是,故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力,还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力,属于难题.4、A【解析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种,其中2类元素相生的结果有5种,再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果,其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果,所以2类元素相生的概率为,故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.5、D【解析】
先将函数化为,再由三角函数的性质,逐项判断,即可得出结果.【详解】可得对于A,的最小正周期为,故A正确;对于B,由,可得,故B正确;对于C,正弦函数对称轴可得:解得:,当,,故C正确;对于D,正弦函数对称中心的横坐标为:解得:若图象关于点对称,则解得:,故D错误;故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质,熟记三角函数基本公式和基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6、B【解析】
先找到与平面平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面,平面,平面,共有,故选:B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.7、A【解析】
由题意可得三角函数的定义可知:,,则:本题选择A选项.8、B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题9、A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.10、D【解析】
求得点的坐标,由,得出,利用向量的坐标运算得出点的坐标,代入椭圆的方程,可得出关于、、的齐次等式,进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得、.由,得,则,即.而,所以,所以点.因为点在椭圆上,则,整理可得,所以,所以.即椭圆的离心率为故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,解答的关键就是要得出、、的齐次等式,充分利用点在椭圆上这一条件,围绕求点的坐标来求解,考查计算能力,属于中等题.11、A【解析】
先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.12、A【解析】
在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
方法一:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,解得或,从而得或,则.方法二:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,设,则,故.方法三:将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离,则.14、7或【解析】
依据方差公式列出方程,解出即可.【详解】,1,0,,的平均数为,所以解得或.【点睛】本题主要考查方差公式的应用.15、【解析】
根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,,数列单调递减,而,,,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.16、【解析】
根据题意计算,解得答案.【详解】,故,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.(Ⅱ)由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.【详解】(Ⅰ)因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.又当时,,解得.当时,…①…②①-②有,即.当时也满足.故为常数列,所以.即.故,(Ⅱ)因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.设,则,又,又当时,时.当时,因为.故.综上可知.故随着的增大而增大,故,故【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.18、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连结OE,证明VA∥OE得到答案.(2)证明VO⊥BD,BD⊥AC,得到BD⊥平面VAC,得到证明.【详解】(1)连结OE.因为底面ABCD是菱形,所以O为AC的中点,又因为E是棱VC的中点,所以VA∥OE,又因为OE⊂平面BDE,VA⊄平面BDE,所以VA∥平面BDE;(2)因为VO⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以VO⊥BD,因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,VO,AC⊂平面VAC,所以BD⊥平面VAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面VAC⊥平面BDE.【点睛】本题考查了线面平行,面面垂直,意在考查学生的推断能力和空间想象能力.19、(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】
(1)设曲线在点,处的切线的斜率为,可求得,,利用直线的点斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分时,,三类讨论,即可求得各种情况下的的单调区间为;(3)分与两类讨论,即可判断函数的零点个数.【详解】(1),,设曲线在点,处的切线的斜率为,则,又,曲线在点,处的切线方程为:,即;(2)由(1)知,,故当时,,所以在上单调递增;当时,,;,,;的递减区间为,递增区间为,;当时,同理可得的递增区间为,递减区间为,;综上所述,时,单调递增为,无递减区间;当时,的递减区间为,递增区间为,;当时,的递增区间为,递减区间为,;(3)当时,恒成立,所以无零点;当时,由,得:,只有一个零点.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想与推理、运算能力,属于中档题.20、(1)见解析;(2)(i)该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;(ii)若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元;(3)分布列见解析,.【解析】
(1)估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.(2)对于两种方法,先计算出每亩平均产量,再算农场一年的利润.(3)估计频率分布直方图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相应的概率,写出分布列,再求期望.【详解】(1)第一组数据平均数为千斤/亩,第二组数据平均数为千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法;((2)(i)对于采用延长光照时间的方法:每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.(ii)对于采用降低夜间温度的方法:每亩平均产量为千斤,∴该农场一年的利润为千元.因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润
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