新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第07讲 利用导数研究双变量问题 高频精讲（解析版）

第07讲利用导数研究双变量问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：分离双参，构造函数 5高频考点二：糅合双参（比值糅合） 11高频考点三：糅合双参（差值糅合） 18高频考点四：变更主元法 20高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 23高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 29温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果第二部分：高考真题回归1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【详解】（1），当，；当，，故的减区间为，的增区间为.（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，故，故方程有3个不同的根，该方程可整理为，设，则，当或时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，因为有3个不同的零点，故且，故且，整理得到：且，此时，设，则，故为上的减函数，故，故.（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：故在上为减函数，在上为增函数，不妨设，则，因为有3个不同的零点，故且，故且，整理得到：，因为，故，又，设，，则方程即为：即为，记则为有三个不同的根，设，，要证：，即证，即证：，即证：，即证：，而且，故，故，故即证：，即证：即证：，记，则，设，则，所以，，故在上为增函数，故，所以，记，则，所以在为增函数，故，故即，故原不等式得证：第三部分：高频考点一遍过高频考点一：分离双参，构造函数典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【详解】解：（1）当时，由已知得，所以，令得，即时，；时，；故单调递增区间为，单调递减区间为；（2），由得，所以在单调递减，设从而对任意，恒有，即，令，则等价于在单调递减，即恒成立，从而恒成立，故设，则，当时，为减函数，时，，为增函数.∴,∴a的取值范围为.例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．(1)求证：存在唯一零点；(2)设，若存在，使得，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：由题意，得．记，则．因为时，恒成立，所以在上单调递增．因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以有唯一零点x=1．（2）由，得．记，故，因为在上单调递增，所以，则，设则，令，则．因为在上恒成立，所以在上单调递增，注意到，所以的解集为，的解集为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又因为，所以．例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1），若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故的增区间为，无减区间.若，则当或时，；当时，，故的增区间为，减区间为，若，同理可得的增区间为，减区间为.（2）若，则，由（1）可得的增区间为，故即为，故，设，故为上的减函数，而，所以在上恒成立，故在上恒成立，设，故，当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故即练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，有，求证：对，有；(3)若，且，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）因为，所以点即为点，，故切线方程为，即；（2）因为当时，，，故在上单调递增，所以，当时，，此时；当时，在上单调递减，此时，故，所以成立；（3）由题意得：，又因为，所以，又，即，即，所以①设，则①式变形为，所以单调递增，所以，因为，所以，令，，则，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，有，故．即实数的取值范围为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）解：依题意，令，，则，令，解得或.当时，即时，恒成立且不恒为零，所以，函数的增区间为；当时，即时，由可得或，由可得，所以，函数的增区间为、，减区间为；当时，即时，由可得或，由可得.所以，函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.（2）解：当时，恒成立，所以在上单调递增，且.因为，所以，则不等式可化为，即.令，则问题等价于函数在上单调递增，即在上恒成立，即，.令，，则.令，解得，所以当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以当时，函数取得最小值，且，所以当时，，所以.高频考点二：糅合双参（比值糅合）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)(3)答案见详解【详解】（1）函数的定义域为，，由已知得在处的切线的斜率为，则，即，解得；（2）由（1）得，则，∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，∵，设，则，∴只需或，解得或，故实数的取值范围为；（3）证明：由题意可知，，∵有两个极值点，，∴，是的两个根，则，∴，∴要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，∴在上单调递增，则，即，所以原不等式成立．例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间.(2)【详解】（1）解：当时定义域为，又，所以在上单调递增，即的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）解：由题知，，函数的定义域为，，当时，对任意的，恒成立，故在上单调递增，没有极值点；当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，令，解得，，则，当时，；当时，；当时，，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上，当时，有两极值点、，且，，所以，设，，其中，所以，又因为，可知，所以在上单调递减．∴，即，所以的取值范围为.例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．（1）求函数的最小值；（2）若是的切线，求实数的值；（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.【详解】解：（1）∵，∴当时，，∴在上单调递减；当时，，∴在上单调递增．故函数的最小值为（2）若是的切线，设切点为则过点的切线方程为即，即由题意知令，则时，∴在上单调递增，又∴有唯一的实根，则．（3）由题意知两式相加得两式相减得，即∴，即不妨令，记，则令，则∴在上单调递增，则∴，因而令，则时，，∴在上单调递增∵，∴．练透核心考点1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析【详解】（1）解：因为，定义域为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：设，，，因为，所以，则，，，于是，即，由，所以上述不等式等价于，故，因为，所以，设，，则，由（1）可知，当时，单调递增，所以，所以，故，即成立，得证.2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．(1)求实数m的值；(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．【答案】(1)1(2)证明见解析(1)对函数f(x)＝lnx－mx＋1，x＞0，有f'(x)＝－m；因为f(x)在点(1，f（1）)处与x轴相切，所以f'（1）＝1－m＝0，得m＝1；(2)由（1）得，f(x)＝lnx－x＋1，x＞0；对于任意的0＜a＜b时，要证－＋1＜0，即证－＋1＜0，即证－＋1＜0，即证＜，即证ln＜，即证ln－＋1＜0；设＝t，t＞1，则即证lnt－t＋1＜0；设g(t)＝lnt－t＋1，t＞1，则g'(t)＝－1，在t∈(1，＋∞)时，g'(t)＜0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以g(t)＜g（1）＝0，即lnt－t＋1＜0故得证．高频考点三：糅合双参（差值糅合）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【详解】解：（1），，（i）当时，，函数在上递减；（ii）当时，令，解得；令，解得，函数在递减，在递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明：，依题意，不妨设，则，两式相减得，，因为，要证，即证，即证，两边同除以，即证.令，即证，令，则，令，则，当时，，所以在上递减，，在上递减，，即，故．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同零点，求证：.【答案】(1)详见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分，讨论即得；（2）由题可得，可得只需证，然后通过换元可得，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得.【详解】（1）由题可得，当时，，当时，；所以当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；（2）因为有两个不同零点，，则，，因此，即，要证，只要证明，即证，不妨设，记，则，，因此只要证明，即，记，则，令，则，所以函数在上递增，则，即，∴在上单调递增，∴，即成立，∴.高频考点四：变更主元法典型例题例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）的定义域为，在上为增函数，又在上为增函数，所以在为增函数，因为，，所以在内存在唯一的零点，所以当时，．故对任意，总存在，使得对恒成立．（2）由，得．设函数，为关于t的二次函数．因为对恒成立，由图可知，即设函数，在上为增函数，又在上为增函数，则在上为增函数，因为，所以不等式的解集为，而当时，显然成立，所以x的取值范围为．例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．(1)求函数的最小值；(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【详解】（1），∴显然当即时,，∴的最小值为.（2）因为存在实数，使不等式成立，所以，又，所以，又，显然当时，，所以有，即，可得，所以或，解得或.故实数x的取值范围为或.练透核心考点1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；【答案】(1)；(2)；【详解】（1），令，则，故，所以；（2）可看作关于的一次函数，要想对任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，则与求交集得，实数x的取值范围是；2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．(1)求函数的值域；(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得即的值域为．（2）由不等式对任意实数恒成立，故．又设，则，所以，当时，．故，即，整理得，即，解得．所以实数的取值范围为．高频考点五：利用根与系数的关系转单变量典型例题例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1），令，注意到，对称轴，故，（i）当时，即，此时在上单调递增，即，从而，即在上单调递增；（ii）当时，，若，即时，恒成立，从而，即在上单调递增；若，即时，存在有，其中，，从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则，此时满足，，不妨设，此时有，从而原不等式转化为：将及代入有：，化简即得：，即证，由，可得，令，设，则，故在上单调递增，，故原不等式成立例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；(3)若有两个极值点其中，求的最小值.【答案】(1)(2)见解析(3)【详解】（1）当时，所以，，又，过切点的切线方程为，即：.（2）由题意得：，,令,①当,即，则恒成立，即恒成立，在上单调递增.②当时，即，令,即，解得：或令，解得：综上，当时，的单调增区间为，当时，单调增区间为，单调减区间为.（3）由（2）知，，，由题意知，是方程的两根,，，，令当时，,所以，在上单调递减，即的最小值为.练透核心考点1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）的定义域为，，∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.则恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范围是.（2）设方程，即得两根为，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，则，得，，，∴而且上递减，从而，即，∴.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析（1）由题意可知，，当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，，综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减（2）由题意可设，是的两个根，则（用分别表示出和），整理，得，此时设，求导得恒成立，在上单调递减，3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）【答案】(1)；(2).（1）∵且，∴，令，则，∴，可得．（2），由（1）可得：，所以，∵，即，∴，由对勾函数性质有，令，则令，则，∴在上单调递减，则，∴.高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．(1)求函数的极值；(2)若方程有两个不相等的实数根，．①证明：；②证明：．【答案】(1)极大值为，无极小值(2)①证明见解析；②证明见解析(1)函数的定义域为，，则当时，；时，．即在上递增，上递减，故的极大值为，无极小值．(2)结合（1）由，；，，可得，①由题意可得，从而，即，结合参考的公式可得：，故，且，即，从而有．②由①可得，令，则，所以，则，则，∴递减，又∵，∴，故递增，∴，即，即．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设,当时，满足，求证：．【答案】（1），上减；，上减，上增；（2）证明见解析．【详解】（1）函数，定义域为，，当时，，所以在上为减函数，当时，即，所以，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.综上，当时，，所以在上为减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数.（2）由题意，由，得所以，将代入得：得，又，所以，设，，则所以在上是减函数，所以，即，又，所以例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；(2)对于实数，，且，①；②.在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）【