两个计数原理及其简单应用超好用的公开获奖高二数学人教A

两个计数原理及其简单应用超好用的公开获奖高二数学人教A目录CONTENTS计数原理基本概念排列与组合二项式定理概率初步知识与事件概率随机变量及其分布数理逻辑初步知识与推理方法01计数原理基本概念定义举例说明应用范围分类加法计数原理完成一件事，有$n$类办法，在第$1$类办法中有$m_{1}$种不同的方法，在第$2$类办法中有$m_{2}$种不同的方法，……，在第$n$类办法中有$m_{n}$种不同的方法。那么，完成这件事共有$N=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}$种不同的方法。从A地到B地可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从A地到B地共有多少种不同的走法？适用于分类完成任务的情况，各类办法相互独立，不能同时使用。定义完成一件事，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_{1}$种不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_{n}$种不同的方法。那么，完成这件事共有$N=m_{1}timesm_{2}times...timesm_{n}$种不同的方法。举例说明3位旅客到4个旅馆住宿，每人只住一个旅馆，且3人住的旅馆各不相同，有多少种住宿方式？应用范围适用于分步完成任务的情况，各步骤相互依存，必须依次完成。分步乘法计数原理关系区别两者关系与区别从计算方式上看，分类加法计数原理是“加法原理”，即把完成一件事的所有方法数相加；而分步乘法计数原理是“乘法原理”，即把完成一件事的所有步骤的方法数相乘。此外，两者的应用范围也有所不同，需要根据具体问题的特点选择合适的方法。分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的两种最基本、最重要的方法。两者都是把问题分为若干个部分或步骤来求解，但它们的区别在于分类加法计数原理是各部分相互独立，不能同时使用；而分步乘法计数原理是各步骤相互依存，必须依次完成。02排列与组合从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号A(n,m）表示。排列定义A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!，此外，特别地，规定0!=1。排列公式排列定义及公式组合定义从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号C(n,m）表示。组合公式C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!），其中“!”表示阶乘，即从n个元素中取出m个元素的组合数等于从n个元素中取出m个元素的排列数除以m的阶乘。组合定义及公式VS排列与组合都是研究从一些不同元素中取出部分元素进行某种操作的问题，但排列考虑的是元素的顺序，而组合则不考虑顺序。因此，对于同一个问题，如果考虑顺序则用排列数表示，如果不考虑顺序则用组合数表示。相互转化排列与组合之间可以相互转化。具体来说，从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列可以转化为从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合与这m个元素的全排列的乘积，即A(n,m)=C(n,m)*m!。反过来，从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合也可以转化为从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列除以这m个元素的全排列，即C(n,m)=A(n,m)/m!。区别与联系排列与组合关系03二项式定理$(a+b)^{n}$的展开式共有$n+1$项，其中各项的系数是二项式系数，即$C_{n}^{0},C_{n}^{1},ldots,C_{n}^{n}$。展开式的通项$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$，其中$r$是从$0$到$n$的整数。当$b=1$时，$(a+b)^{n}$的展开式变为$(a+1)^{n}$，其各项系数之和为$2^{n}$。二项式定理展开式通项公式$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$可用于求二项式展开式中的任意一项。利用通项公式可以求二项式展开式中的最大项或最小项。通过比较相邻两项的大小关系，可以确定二项式系数的增减性。通项公式及应用01020304对称性：$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$，即二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。增减性与最大值：当$n$为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当$n$为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。各二项式系数的和等于$2^{n}$，即$(a+b)^{n}$展开式中各项系数之和为$2^{n}$。奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于$2^{n-1}$。二项式系数性质04概率初步知识与事件概率概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，用来量化随机事件发生的可能性。概率定义概率的取值范围在0到1之间，包括0和1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；概率具有可加性，即互斥事件的概率之和等于它们的并事件的概率。概率性质概率定义及性质等可能事件定义在一定条件下，进行的试验中，若每一个基本事件（结果）发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能事件。等可能事件概率计算公式P(A)=m/n，其中m表示事件A包含的基本事件数，n表示试验中所有可能出现的基本事件数。等可能事件概率计算1234互斥事件定义相互独立事件定义互斥事件概率计算公式相互独立事件概率计算公式互斥事件和相互独立事件概率计算如果两个事件不能同时发生，则称这两个事件为互斥事件。P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B为互斥事件，P(A∪B)表示A和B的并事件的概率。如果两个事件的发生与否互不影响，则称这两个事件为相互独立事件。P(A∩B)=P(A)P(B)，其中A和B为相互独立事件，P(A∩B)表示A和B的交事件的概率。05随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。根据随机变量可能取的值的个数分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量定义及分类随机变量分类随机变量定义分布列定义设离散型随机变量X所有可能取的值为$x_1,x_2,...,x_n$，事件$X=x_i$的概率为$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,...,n$，则称$p_1,p_2,...,p_n$为离散型随机变量X的分布列。分布列性质$p_igeq0,i=1,2,...,n$；$sum_{i=1}^{n}p_i=1$。离散型随机变量分布列设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，则称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。$f(x)geq0$；$int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$；连续型随机变量取个别值的概率为0，即$P(X=a)=0$，其中a为任意实数；连续型随机变量在任一区间上取值的概率与这个区间是开区间、闭区间或半开半闭区间无关，只要这个区间不包含点a，则$P(a<X<b)=P(aleqX<b)=P(a<Xleqb)=P(aleqXleqb)=int_{a}^{b}f(x)dx$。概率密度函数定义概率密度函数性质连续型随机变量概率密度函数06数理逻辑初步知识与推理方法探讨命题的真假性质，以及命题间的逻辑关系，如合取、析取、否定等。命题与命题逻辑真值表与逻辑等价蕴含与推理规则通过真值表判断复合命题的真假，理解逻辑等价的含义和判定方法。掌握蕴含的概念，了解推理规则在命题逻辑中的应用。030201命题逻辑基本概念

充分条件、必要条件、充要条件判断方法充分条件理解充分条件的含义，掌握判断充分条件的方法。必要条件理解必要条