正余弦函数的定义与诱导公式(第一课时)

§1.4正弦、余弦函数的定义与诱导公式（一）【教材版本】北师大版【教材分析】在讲述“三角函数”之前，教材指出周期现象在自然界是大量地存在的，以凸显“三角函数”的重要作用。“三角函数”虽然在初中出现过，但只是对一些特殊角的三角函数值进行讲解，并没有把它们作为函数的研究。在本节中，正弦、余弦函数是用角的终边和单位圆交点的坐标来定义的。这种定义方法一方面可以利用单位圆来体现三角函数的周期性，另一方面可以利用圆的对称性充分显示诱导公式，并能很方便地说明三角函数在各象限的符号。怎样从直角三角形过渡到利用直角坐标系中的单位圆来定义正弦、余弦函数是学生思维上的“盲点”。建议设计一些启发性的问题，帮助学生完成这一思维“过渡”。例如：①能否在直角坐标系的单位圆中，画出下列各角:，，，？②能否求出这些角的终边与单位圆的交点坐标？③能否求出这些角的正弦、余弦函数值？讲解时必须说明对于正弦﹑余弦函数的定义而言，其实就是终边上一点中的坐标与到原点的距离的比值，而且与的位置没有关系，因此取即取为单位圆与终边的交点最为便利，这也体现了单位圆的妙处，而这种化归的思想和利用单位圆的对称性推导诱导公式中体现的用几何方法研究代数问题的思想是本节解决问题的的主要方法。为了使学生更好地借助单位圆体会正弦、余弦函数的周期性，建议教师从遵循由特殊到一般的认识规律。应特别强调的是，对于不为零的常数，如果等式不是对定义域中的每一个值都成立，那么常数就不是函数的周期。【学情分析】学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的。锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系，任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了。因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图像和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。【教学目标】1．知识与技能（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数；（2）从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦函数的定义域，熟记正弦、余弦函数值在各象限内的符号.（3）掌握周期函数的概念及最小正周期的意义，理解会运用诱导公式（一）2．过程与方法以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数。由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质中得到启发。三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用3．情感、态度与价值观在由锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程中，让学生体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力【重点难点】1．教学重点：任意角的正弦、余弦函数的定义，周期性与诱导公式（一）。2．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数值的符号。【教学环境】1．多媒体课件。2．多媒体教室。【教学思路】本节把三角函数的自变量从锐角推广到任意角，借助直角坐标系和单位圆定义了任意角的三角函数的概念，推出“终边相同的角的正弦﹑余弦函数的值相等”这一结论，并由此结论对比正弦﹑余弦函数给出周期函数的概念。【教学过程】一、导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为，那么的值还是三角形中的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课。二、新知探究1．正弦、余弦函数的定义问题1：初中如何定义锐角三角函数？活动：教师提问，学生口答，突出它是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数。问题2：你能用直角坐标系中角终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？活动：建立适当的坐标系，设锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，则它的终边在第一象限。在的终边上任取一点，它与原点的距离。过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为，线段MP的长度为。根据锐角三角函数定义：，问题3：如果改变终边上的点的位置，比值会改变吗，为什么？活动：教师先让学生们相互讨论、动手画图，再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明：对于确定的角α，比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.定义1：（终边定义法）设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；问题4：能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化？活动：通过图形引导学生通过对比发现取到原点的距离的点可以使表达式简化。当时，点就是α的终边与单位圆的交点。锐角三角函数可以用该点的坐标表示。xyO定义2：（单位圆定义法）设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：xyO（1）叫做的正弦，记作，即（2）叫做的余弦，记作，即所以，正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。通常，用表示自变量，用表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数和注意：（1）不是与的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的、是没有意义的。（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角，正弦、余弦值不随点的位置的改变而改变；比值只与角的终边位置有关。2．正弦、余弦函数的定义域、值域对于正弦函数,因为取任意实数，恒有意义，也就是说恒有意义，所以正弦函数的定义域是；类似地，余弦函数的定义域也是。利用单位圆引入了任意角的三角函数后，正弦、余弦的值域是。3．正弦、余弦函数的符号由定义可知，正弦、余弦函数在各象限内的符号，取决于角终边与单位圆交点坐标的符号。当点在第一、二象限时，纵坐标；当点在第三、四象限时，纵坐标。所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的，从而完成课本的思考交流。xxyyxOO++++____4．单位圆与周期性问题5：终边相同角的表示法有什么特点？终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同名三角函数值有何关系?活动：以与，与，与为例，请同学们画图，引导学生从角终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明得：终边相同的角的同名三角函数的值相等。由此得到一组公式(公式一):利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求到(或到)角的三角函数值。这个公式称为三角函数的“诱导公式一”。终边相同的角的同名三角函数值相等，说明对于任意一个角，每增加的整数倍，其正弦、余弦函数值不变。象正弦、余弦函数这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数。正弦、余弦函数是周期函数，为正弦、余弦函数的周期。是正弦、余弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于函数，若存在非零的常数，对定义域内的任意一个,都有我们就把称为周期函数，称为这个函数的周期.注意：的成立，必须对定义域内的任意一个都成立。如，虽然有，但，所以不是的周期。三、应用示例例1求的正弦、余弦值。解：在坐标系中作，易知的终边与单位圆的交点为(,)，所以sin=，cos=点评：画终边与单位圆，找交点，求值。例2（1）已知角的终边经过,求的值（2）已知角的终边经过,(a0)求的值解：（1）由定义：（2）若则若则点评：先求，再按定义求。例3求函数的值域解：先求定义域：∴的终边不在轴上又∴的终边不在轴上当是第Ⅰ象限角时，∴当是第Ⅱ象限角时,∴当是第Ⅲ象限角时,∴当是第Ⅳ象限角时,∴点评：讨论函数的性质要有“定义域优先”的意识；三角函数的符号规律是化简解析式求值的切入点。例4求值：解：四、巩固练习1．已知点在角α的终边上，求、的值2．已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦值3．解方程：4．求下列三角函数的值：(1)(2)五、说学小结本节课我们学习了任意角的正弦、余弦函数定义，其实质上是锐角三角函数的扩展