高考试题选-数列3

总题数：22题

第45题（2006年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）上海卷）

题目

21.已知有穷数列｛八｝共有2小项（整数上学2）,颤=2.设该数列的前衣项和为鼠，且=

（“一1）$*+2（附=1,2,…，2左一1）,其中常数a>1.

（1）求证：数列（a*1是等比数列；

aaa

（b\h^°&2（l2',»）/Jx

（2）若2=22kT,数列t%j满足％=%=1,2,—,2左）,求数列t%j

的通项公式；

3333

⑶若⑵中的数列｛.｝满足不等式I瓦一2+他一2I+…+|%-1—2+|%-2IW4,

求上的值.

件案

—怨+1_C

解⑴即+1=（a—版+2,则即=（a-+2,两式相减，得外，乂

%=2,劭=2a）

.•.数列｛“X｝是首项为2、公比为a的等比数列。

',、L竽1,”L1t«-i

-log20i电…即）=-1"22a=1+^-log2a=1+；^--

hnnJ22k

⑵4=v7,

3=1,2,…，2片）o

1

（3）由（2）知，数列{是首项为1、公差为%—1的等差数列。

3_2（«-^）-13人3

N————7-----「b>—b<一

又22侬-1）,炉“+1时，"2；%a时，*2o

3333

...।瓦一2+1%—2।_|—1_a_1_2+|电_2

（=（%「瓦）+（%2一3）+…+⑸£一”）

〃.上V4=/-於+4M0=卜14-2的,4+24］=0{23,4,5,6,7}

2^t-l\k>2,keZ

第46题（2006年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）辽宁卷（新课程））

题目

-<2X3+苏+cx+d

21.已知函数f（x）=3，其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a>0,d>0.

空n

设质知1（X）的极小值点，在［1-a'］上」（X）在勺处取得最大值，在电处取行取小值,

将点5J（X。）），®，/'（々））,（巧，/'（心））依次记为AB.C.

⑴求X,的值

（II）若ZABC有一边平行于x轴，且面积为2+、月，求a,d的值

答案

本小题考查函数的导数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，

考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.

(I)解：V2b=a+c.

f'(x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

C

令伊(x)=0,得乂=-1,或*=-以

Va>0,d>0,

AO<a<b<c,

CC-

—>14--<-l.

・•・aa

c

z

当a<X<-1时，f(x)<0,

当X>-1时，ff(x)>0,

所以£«)在乂=T处取得极小值，即

Xo=-1.

(II)解法一：Vf*(x)=ax^+2bx+c,a>0.

b

・・・f’(X)的图象开口向上，对称轴方程是x=-a'

b2bbb

1(1--)-(—)l<|0-(—)|.

由a>l,知aaa

竺。

.•.f'(X)在［i-a］上的最大值为f'(O)=C,即

Xi=0.

bb2b

,0

又由a>1,知-ae[1-a］，

bb

.•.当x=-a时，f'(x)取得最小值『(-a)=-a'即

b

x产-a.

1

-a.

,rf(xo)=f(-i)=-3

1bd2

-a.——

.-.A(-1,-3),B(o,c),c(-aa).

由aABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

1d2

--a=一——,

3a即

a'-3d2.①

又由aABC的面积为2+J),得

：(-1+2)•(C+：)=2+四

2a3

利用b=a+d,c=a+2d,得

-d+—=2+43.

3a②

联立①，②可得

d=3,a=3

解法二：Vfz(x)=ax2+2bx+c,a>0,

2b

f'(i-a)=0,f'(0)

空,。

由c>0知『(x)在［1-a］上的最大值为f'(0)=c.即

xi-0.

b,b26c

->1,-—,0

由a知-ae[i-a].

bb

.•.当X=-a时伊(x)取得最小值f'(-a)=-a'即

b

X2=一一-

a

1

-a.

Vf(xo)=f(-i)=-3

1bd2

-a——

.*.A(-1,-3),B(0,c),C(-«,-以).

由AABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

1d1

一a—

-3二-以，即

界3d3①

又由AABC的面积为2+VJ,得

利用b=a+d,c=a+2d,得

-t/+—=2+73.

3a②

联立①，②可得

d=3,a=3百.

第47题（2006年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）福建卷（新课程））

题目

(22)已知数列"J满足°】=L%+1=2%+1(%€“)•

（I）求数列｛"J的通项公式;

⑺若数列旧满足壮甲」…43=（%+l）“5eN*）

,证明:

收』是等差数列

巳一1<2+&+...+反<286")

(IID证明：23%%*2

答案

木小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

⑴解：•.4+广2々+叱"）,

。*+1+1=2(%+1),

{%+1}是以的+1=2

为首项，2为公比的等比数列。

/+1=2”.

即％=22—1伽6犷).

(II)证法一：

4-1行】..42=(%+1)%.

4伍也+•••+&Z=2叫

2皑+%+...+4)-&]二*，

2昭+3+…+4+4+1)-(％+1)]=5+叫+i

②—①，得2(如-1)=5+D4+1-血,

即(附一D4+1一*&+2=0,

叫+2-8+DZ+1+2=0.

③―④，得**+2-2*/*1+叭=0,

即4+2-次H+4=。,

这+2-&+1=

“9J是等差数列。

证法二：同证法一，得

(%一%+1一曲+2=0

设为=2+d(de&)，下面用数学归纳法证明从=2+(n-X)d.

(1)当*=L2时，等式成立。

(2)假设当"=网上之2)时，线=2+3—l)d,那么

ir2k2

bk+1=-—bk---=--[2+(k-X)d]--—=2+[(k+X)-l]d.

k-1k-lk-1k-\

这就是说，当典=左+1时，等式也成立。

根据⑴和⑵，可知4=2+Q-l)d对任何%eM都成立。

b*+i—b*=d,,.{L}

•；iJ是等差数列。

（III）证明：N

:生+”+...+»土

“2电%+12

线2*-1111111『

..以+12卬一122（2川一1）23.2*+2*-2-23,2''''…'

2二＜❷+竺+...+2＜々屐犷）.

23a2%%+i2

第48题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))

题目

=

、\a12

(21)数歹U比麻J的的n项和为Sn,已知乙,Sn=n"an-n(n~l),n=l,2…

(1)写出s“与&-1的递推关系式(n^2)，并求s“关于n的表达式：

£0)=~x+\瓦=£R)

(II)设J"%'*求数列｛b,J的前n项和T.

答案

本小题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查分析问题和归纳推理能力。

(1)解法1：当然之2时，'*=-SQ-附("1),即

(/-1碣=/s”i+〃5-D,

Sx=^-Sxl+-

«-1%+1①

149

S1=。10=］应=不

已知2,由递推关系式可得

由此，可猜想：“%+1②

下面用数学归纳法证明②式：

e1I21

M=以］—————

证明：(i)当力=1时，由条件2,又②式的右边等于1+12,所以②式成立.

Sk=-------

(ii)假设*=化时，②式成立，即江+1

则当然=左+1时,

(上+1)2(无+1_(发+1)2，上+1_依+1)2

(十+1)2_［，T+2~(k+V)2-19^+1k+2~k+2

故当n=k+1时，②式也成立。

由(i),(ii)知，对一切正整数n,②式成立.

解法2：当n>2时，一1_1)一”(%T),

—1

J!r«-1=

于是««-1.

M｝是首项为1、公差为1的等差数列。

因而n=1+(n-1)=n,故力+1.

力。)=>"2-41-1凡・三,

(n)解：：«

,,X«+1/*

丸=力5)=——S6=——•―-p=np,

nn«+1

.喜=4~=衣+202+・・・+缚x

③

当p=0时，备=0；

当P=1时，

方=1+2+…+〃=也土攵；

2

当P0°，l时、在③式两边同乘以p,得到

pT*=p2+2P3+…+(%—+/p*+l.

2Kx+1

(1—p)Tx=p+p+/4-...+p-呼＞**=—)—np

得1_P

p(l-px)npn+x

(l—p)21-p

综上所述:

n(n+1)

P=l，

-2~，

p(l3)时"

,pWl.

.(If\-P

第49题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))

题FI

3%外-1

22.已知数列｛a“｝满足：a1=2,且a„=2"*-l+*(n>2,neN").

(1)求数列｛a0｝的通项公式；

(2)证明：对,切正整数n,不等式&,a?....a“V2•n!恒成立.

答案

解:

(1)将条件变为：3以因此，｛『%｝为一个等比数列,

111n1

—=-——=—

其首项为1-，3,公比为3,从而-a*3”,

据此得a“=3*-1(n2l).......①

n\

(2)证：据①得，由，色…以二553.

为证aia2--a.<2•n!,

显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n£N*,

用数学归纳法证明③式：

1°n=l时，显然③式成立,

2°设n=1<时\③式成立，

则当n=k+l时,

(1-刎台……](1-/)

即当n=k+1时，③式也成立.

故对一切nGN*,③式都成立.

故②式成立，从而结论得证.

第50题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程))

题目

22.

己知上=2,点⑸,ae)在函数f(x)=x?+2x的图象上，其中n=L2,3,….

(I)证明数列｛1g(1+an)｝是等比数列;

(II)设Tn=(l+a])(1+&)…(1+aJ，求Tn及数列｛&｝的通项;

(III)记b..=a»%+2,求数列｛b｝的前n项和s“并证明s„+3看-1

答案

解：(I)由已知Hivl—3n+2cln,

.'.an-l+1=(Qn+1)2

Va!=2

/.an+l>l,两边取对数得：

lg(l+an»i)=2lg(l+aa),

1g(1+4+1)—2

即lg(l+4)

・・・{lg(l+aj}是公比为2的等比数列.

(II)由(I)知lg(l+an)=2nl•lg(l+ai)

=2n1•1g

=lg3

.,.Tn=(l+ai)(l+a2)…(1+a)

202122

=3•3•3..........3

二3

由（*）式得an=3-1.

2

(III)Val0i=an+2a«

•»a.»+i=an(an+2)

1

•)

1X?%+2

----1---=---1-----2--

+2以n%+i

.♦.Sn=bi+bz+…+bn

.111111、

a

=2l%叼电4%+]

11

=2(%%+1)

T-12"

Van=3-1,&=2,a“+i=3-1

2

；・Sn=l-

又修门

=1.

.•5+34一1

第51题（2006年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）陕西卷（新课程））

题目

（20）已知正项数列（%＞，其前国项和应满足1°工="/+5%+6,且%,%,成等比数列，求

数列的通项”水

答案

解:

•・T0S产需+5a+6,①

2

/.10aFai+5a2+6,解之得合尸2或4二3.

2+

又10Sn-i=an-i+5a«-26,(n^2),②

2

由①一②得10ah=(afl'—an-i)+5(a,.—aft-i),

(a-a-i_5)=0.

即(an+an-i)nn

•an+a(i-1〉*。,

•♦Hn-Bn-1—5(n22).

Jja1=3H、J,@二13,@n=73,a1，@2,也不成比数列，aiW3.

当a1=2时，8ir.=72,有a3,二a1a2,

/.ai=2,/.an=5n-3.

第52题(2006年普通高等学校春季招生考试数学(文理合卷)上海卷)

题目

22.已知数列比,a2-,330,其中&…，△是首项为1公差为1的等差数列;

aio,an…,azo是公差为d的等差数列;am,3…，可是公差为一的等差数列(d#0).

(1)若出0=40,求d；

⑵试写出如关于d的关系式，并求故的取值范围；

(3)续写己知数列,使得。以…，是公差为cf的等差数列，……,依次类推，把己知数列推广为无穷

数列.提出同(2)类似的问题，［(2)应当作为特例］,并进行研究，你能得到什么样的结论？

答案

22.

［解］

(1)aio=lO,a2o=10+10d=40,Ad=3

(2)a»=a2o+lOd=lO(l+d+d2)(dWO)

23

a«,=10[(d+2)2+4],

15

当dC(-8,o)U(0,+8)时，a3<iG[2,+8).

(3)所给数列可推广为无穷数列｛a,｝,其中a”a?…，是首项为1公差为1的等差数列,

当n》l时，数列a.,am,…，aw向，是公差为d"的等差数列.

研究的问题可以是:试写出a%“,关于d的关系式,并求a*,”的取值范围

研究的结论可以是：由a»=a»*10d3=10(1+d+d2+d3),

依次类推可得

810^+1/=10(l+d+d2+...+1^)=「10-----------(#1),

\-d

<

〜10(n+l)(d=l)

当d〉0时，的取值范围为(10,+8)

第53题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷I(新课程))

题目

(19)设等比数列同｝的公比为9,前n项和凡>°伽=1,2,…)。

(I)求？的取值范围；

_3

「X=2及+2—478+1/jL]干rrrrt

(II)设2，记的前n项和为八，试比较外和与的大小。

答案

(19)解：(I)因为｛a“｝是等比数列，S〉0,可得a尸S00,qWO.

当q=l时，&=nai>0;

当产1时，00,

1-4

即>0,(%=1,2,…)

i-q<o,

上式等价于不等式组:，3=1,2,…)①

L1一中<口，

-1—q>0,

或1(n=l,2,...)②

11一中>0.

解①式得q>l；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得一l<q<l.

综上，q的取值范围是(-1,0)U(0,+8).

3

(II)由5=^+2—5乐+1得

2323

bnf(q--q),Tn=(q-­q)Sn.

3

于是Ik-^=6^x(^--q—1)

1

=Sjq+2)(q—2).

又因为网>0,且一l<q<0或q>0,所以，

当一l<q<一1或q>2时，兀一%>0即

当一g<q<2且q#0时，0-%<0,即

—

当q=；，或q=2时，Tn—Sn=0,即0=%.

第54题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷H(新课程))

题目

1

(18)已知｛%｝是各项均为正数的等差数列,Igai、Iga?、Iga,成等差数列，又b产,产1,2,3….

(1)证明｛5｝为等比数列；

1

(11)如果无穷等比数列｛b“｝各项的和S=3，求数列｛a.｝的首项a,和公差d.

(注：无穷数列各项的和即当n-8时数列前n项和的极限)

答案

(18)(I)证明:

•.Tga】、lg或、lgQ成等差数列，

.*.21ga2=lgai+lgai,B|Ja=a>•ai.

等差数列｛aj的公差为d,则

(ai+d)2=ai(ai+3d),

这样d2=aid.

从而d(d—ai)=O.

⑴若d=0,则瓜｝为常数列,相应｛bj也是常数列.

此时｛hj是首项为正数，公式为I的等比数列.

(ii)若d=a】WO,则

--1----1----1---

aT=a,+(2"-l)d=2nd,b.=%”d2.

这时｛bn｝是首项b尸2d,公比为2的等比数列.

综上知，｛b“｝为等比数列.

（II）解：

如果无穷等比数列｛bn｝的公比q=l,则当n-8时其前n项和的极限不存在.

2j_

因而d刊力0,这时公比q=2,bi=2d.

这样，瓜｝的前n项和SF2,

■Y力

111

limlimI*--3

则S=*T9Sn=*T92=d.

J

由S=3得公差d=3,首项ai=d=3.

第55题（2005年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）全国卷IH（新课程））

题目

3

cosB=一

19、中，内角4B、C的对边分别是以b、c,已知尔氏c成等比数列，且4

（I）求cot/+cotC的值

BABC=-

(II)设2,求a+c的值。

答案

由=加及正弦定理得sin?8=sin』sinC

11

cot-44-cotC=---------1-

于是tan5tanC

cos-4cosC

~:+--------

sinAsinC

sinCcosA+cosCsin4

=sin4sinC

sin(一+C)

sin2B

sin5

=•2D

sinB

1

sinB

中4打

BABC=-cacos5=—cos5=-2

(II)由2得2,由4可得=2,即占=2

由余弦定理/=，+，-2ac•cos8得

a24-c2=82+2ac・cos5=5

(a+c)2=d2+1+2«c=5+4=9

.・.a+c=3

第56题（2005年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）全国卷IH（新课程））

题目

20、在等差数列｛%｝中，公差dwO,的是,与4的等比中项，已知数列"1、。3'%、"…、气'…

成等比数列，求数列｛融｝的通项融

答案

20.解：依题设得知=，+5-1”,=

2

...（/+&）=的（/+34，整理得/=3

・•・d=0，•・・d=%

得a*=阀4

所以，由已知得43d，&•♦•收义•••是等比数列

由，。0,所以数列1，'65•,•加•…也是等比数列，首项为1,公比为T,由此

得占=9

等比数列｛k.｝的首项用=9,公比q=3,所以匕,==*,=1,2,3,.…）

Jr=」+i

即得到数列｛k„｝的通项为—>

第57题（2005年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）北京卷（新课程））

题目

1

…15%〃为偶数

（19）设数列｛4｝的首项期也#一，且%+i=<]

M为奇数

I4

记久=%-「（，

月=1,2»3,

（I）求。2，03；

（II）判断数列。，是否为等比数列，并证明你的结论

(III)求+5a+%+…+d).

XT9

答案

22

(19)解：⑴a2=a,+4=a+4,

221

as=232=2a+8；

222212.

(II),/&=a+4=2a+8,所以a=2a*=4a+16,

22212

所以异a—4=a—4片o,b尸4=2(a—4),

221

6)=a-4=4(a—4),

2

猜想：｛b,｝是公比为2的等比数列•

证明如下：

2

因为"1=出”-4

22

=2瓯一4

22

2(瓯-1+4)—4

22

2（晶百1-4）

2

=2b„,惘)

11

所以｛4｝是首项为a-4,公比为2的等比数列•

4Q-呼)瓦i

lim(d+&H------Pi,.)=lim--------—=—=2(a--)

»->CDM->»11'4

1——1-----

(III)22

笫58题（2005年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）天津卷（新课程））

题目

18.已知

%=£+以'-%+以'一++8”(n6N*,a>0,Z>>0)

(I)当a=B时，求数列的前n项和工：

lim乜

(II)求%

答案

18.(I)解：当a=b时，Un=(n4-l)a",这时数列｛u7的前n项和

Sn=2a+3a2+4a3+•••+na,,tl+(n+1)a①

①式两边同乘以a,得

JJ,nn，1

aSn=2a+3a+4a+***+na+(n+l)a②

①式减去②式，得

(1—a)S,.=2a+a2+a3+,•,+an—(n+Da*.

41-1)

若aWl,(1—a)Sn=1一«—(n+l)an，,+a

以_(加+1)/"

q_(l-a)21-4

On-

(n+1)以"+，—(%+2)以a—以2+2a

=(1-丁

若a=l,$尸2+3+…+n+(n+l)

双力+3)

=~2.

(II)解:由(I),当a=b时，UF(n+l)a",则

11m乜11m(f1am义+1)

/T9加广JT9n=a

nn-1nr,

当aWb时，un=a+ab+,,,+ab+b

bbb

=a"[1+3+(«)2+・・・+(a)n]

第59题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)L海卷)

题目

20、假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年

内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8吼另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比匕一年增

加50万平方米。那么，到哪一年底，

(1)该市历年所建中低价层的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4780万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

答案

20.［解］(1)设中低价房面积形成数列E},由题意可知瓜}是等差数列.

其中a,=250,d=50.

n(n-1)

贝ijS0=250n+2X50=25n2+225n,

令251?+22511》4750,

即n、9n—19020,而n是正整数，.,.n>lO.

.•.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列｛b0｝,由题意可知｛b.｝是等比数列。

其中匕=400,q=1.08,

则b“=400•(1.08)「

由题意可知a.,>0.85b”,

有250+(n-1)•50>400•(1.08)1,-1•0.85.

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

.,.到2009年底，当年建造的中低价房的面积点该年建造住房面积的比例首次大于85%o

第60题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))

题目

1

20.设点4(/,0),)和抛物线,：/=3+&*+&(/?郎*),其中a”=-2-4〃-2*7,

♦由以卜方法得到：

M=L点月(%，2)在抛物线Ci：上点Ai(xi,0)到K的距离是4到G上点的最短距离,…,

点与+1(4+1'2)在抛物线以：y=V+&x+4上，点4(4,0)到月+1的距离是从到,上点的

最短距离.

(I)求&及6的方程.

(ID证明一打是等差数歹U.

答案

20.解(I)由题意，得

Ai(1,0),Ci：y=x2—7x+bi,

设点P(x,y)是G上任意一点，

则|AF|=J(X_l)2+y2

令f(x)=(X—1)2+(X2—7x+bi)2,

f

则f(x)=2(x-l)+2(x-7x+b1)(2x-7)

由题意，得

f

f(x2)=0,

2

即2(x2-l)+2(x2-7x2+bi)(2x2-7)=0.

又P2(X2,2)在G上

2—X2--7x2+bi,

解得X2=3,bi=14,

故G方程为y=x?—7x+14

(II)设点P(x,y)是C上任意一点，

则I4PU6二铲万

222

令g(x)=(x—xn)+(x+anx+bn),

2

则g'(x)=2(x—Xn)+2(x+anX+bn)(2x+an).

由题意，得

g'(Xn+1)=0

即2(Xn+LXn)+2(x"+anXMl+bn)(2Xn+l+an)=0

又•:2n=XnH2+anXntl+bn

A(x"H—Xn)+2"(2xn-i+an)=0(n^l).

f,

即(l+2"")Xm-Xn+2an=0(*)

下面用数学归纳法证明x„=2n-l

①当n=l时,xi=l,等式成立。

②假设当n二k时，等式成立,即Xk=2k—L

则当n=k+l时，

由(*)知(1+2.)Xk“一Xk+2kak=0

1

TJCT

又ak=-2—4k—Z,

凝—2"以E

2k+1

.•.X*1+2川

即当n=k+l时，等式成立,

由①②知，等式对n£N*成立。

・・・极力是等差数列。

第61题（2005年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）福建卷（新课程））

题目

22.已知数列｛&｝满足所4我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当疔1时，得到

1,212，..;当。=-!时得到有穷数列：-±-1,0.

(1)求当a为何值时a,=0；

7—(«e2/+)

(II)设数列｛b“)满足b尸一1,b„.,=^-1,求证a取数列｛b.｝中的任一个数，都可以得到一

个有穷数列｛a.｝；

3

—<%<2(%>4)

(III)若2,求a的取值范围.

22.(I)解法一:

解法二:.1+,=0,..=T•

a3

va3=1+—,a2a2=1+―,0=一2.故当1=-2口寸4=0.

==

(1/)解法-1,^+1-^—，-'久=j+L

a取数列｛&｝中的任一个数不妨设a=，.

,,1,1,

■:a=b*,..=1■1=1+"j-=占*-「

七九

a3=\-\----..1+--=bn_2.

,1,1,,

.,.ax=1-1------=1-1-----=瓦=—1.

斯-1b2

・・a”+i=

故a取数列｛b0｝中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛4｝

11

L_IL

解法二：•・1尸一1,*二4一］，・・・bn=4+l+1

工

当a二bi时,@2=1+1=0.

1

当a=b?时，a2=l+"a=bb.*.a3=0.

111

22

当a=b3时a2=l+“3=b2,/.ai=H^=1+^=bi,ai=0.

,般地，当a二bn时，a*0,可得•个含有n+1项的有穷数列ai,a2,a%…，an+i.

下面用数学归纳法证明：

①当n=l时，a=b”显然az=0.得到一个含有2项的有穷数列a)»a2.

②假设当n=k时，a=bk,得到一个含k+1项的有穷数列a»,a2,a3,―,加.

其中a*0.

则n=k+l时，a=bku,

1

.*.a2=l+^+1=bk.

由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列电…,a*%其中as=O.

当n=k+l时，可得到一个含有k+2项的有穷数列aha2,的…,ak.2,其中^=0.

由①②知，对一切nGN,命题都成立。

33J_

(III)要使2<a“<2,即2+<2,

Al«AMd<2.

3

要使2<a„<2,当且仅当它的前一项a,r满足l<a〈Ai<2.

3

V(2,2)2(1,2),

33

只须当a,e(2,2)时，都有a.e(2,2)(n35).

3a+233a+2

由a*=2a+l,得2V2a+1<2.

33a+21

一<------<2>"2，

22a+1<

3a+2

<2,a>0或a2,

解不等式组12a+1得I

故a>0.

第62题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))

题目

」+工+…+1>L[log/]，其中%

n

22.已知不等式23«2为大于2的整数,[log2却表示不超过log2

的最大整数.设数列的各项为正，且满足

网=殴>0),即<..-,n=2,3,4,…

加+%

2b,一

即<----------------=3,4,5,•••

(I)证明2+6[log2«]；

(11)猜测数列S,是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

1

<一

(01)试确定一个正整数N,使得当附时，对任意b>0,都有5

答案

22.(I)证法1：

八11n+乙”,11

m之2时,0<a*<——...—>.........-=——+-

...当«+^_i%〃外.1%一1«

11111

于是有的—2'。3盯"3'，a*anA~n

所有不等式两边相加可得

11111

--——之一+一+…+—

aKna.123n

11lni

-->-[log2»],

由已知不等式知，当n>3时有，%的2

_,,11,1n2+况log?%]

al~b>-->£+不[。

b2.182%]=-------27.70-------

2b

n

24-6[log2«]

111

—H----1-…+―

证法2：产=23«,首先利用数学归纳法证不等式

b

a*—n=3,4,5,•••.

1+/(«)6

(i)当n=3时，

『物3-3b

a-is---------=----------<-------------------=--------------

3+。22_+1-3•出+11+/(2

由a22al

知不等式成立.

(ii)假设当n=k(kZ3)时，不等式成立，即1+1/3屹

依+D%=_______

行飞+1)+殁曰+J(fU画+]

3+1屹_bb

痣+1)+伏+D/g)方+8=11的)।1*1+/的+1)8

Ar+l即当n=k+l时，不等式

也成立.

b

aK<----------=3,4,5,•••.

由⑴、(ii)知，1+

乂由已知不等式得

a*<—/--------=——-——,M=3,4,5,….

1+31%