大学高数期末考试题及答案

第一学期击等藏学期末考试试卷答索

一.计算题(本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分),

4七4n口日「(1+COSX)-2'

1.求极限-----Y------.

2。sin*x

解：

2xp+cosx[_](1+cosx丫

(l+cosx)v-2XI2J.V2J

lim------------------=lim------------------------=lim-----------------

20sinx”T°x'x

1+C0SX1+C0SX

,，忏)xlnln

=hm---------------=lim------：-----------lim--------六----=lim-------9----

10X,XT°1+cosXXT。X3XT°X

2

「-sinx1

limy--------；­=——・

I。(l+cosx)2x4

2

2.设x->0时,/(x)与L是等价无穷小，与A?等价无穷小，求常数k与A.

2no

解:

]7(朋

由于当x—>0时,与Af等价无穷小,所以lim»—「1.而

k

0ioAx

2

1

/砥)122

/(F)2/•一

2一.3心

lim-~—limlimk-\lim—

-3Axkx70J-Akxk-lrf06Akx6Akx

2

所以，lim―—1.因此，k=1,A=

…6Akxk-'i

x2+ax+b

3.如果不定积分dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件.

(x+l)2(l+x2)

解:

2

Kx+ax+h

将(11)(1+f)化为部分分式，有

=4+B+&+C,

(x+l)2(l+x2)x+1(X+1)21+x2

rx2+ax+b,

因此不定积分\-——ST——/公中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数

J(x+l)-(l+x2)

A=C=O.

x2+ax+bBD8(1+/)+私+1)2

22=r+=22

(x+i)(i+x)(TT07T7-(x+i)(i+x)-

所以，有x2+ax+b=8(l+x2)+£)(x+l)2=(6+O)X2+20X+(6+O).

比较上式两端的系数，有1=8+。，a=2。，b=B+D.所以，得b=l.

5

2

5.计算定积分jmin{l,|x-2|

o

解：

|x-2||x-2|1

min{1,|x-2|}=<

1|x-2|>l

1X<1

2-x1<x<2

x-22<x<3

1x>3

55

2122io

所以，jmin{1,|x-2|}dx=Jldx+j(2-x)dx4-j(x-2)dx=一.

00128

a0

5.设曲线C的极坐标方程为r=osin3一,求曲线C的全长.

3

解：

nn

曲线厂=〃sin32一周的定义域为0«上《万，即0W6W3".因此曲线C的全长为

33

=jj(r®))2+(/(。))2d0=^Ja2sin6--ka2sin4—cos2—d0=^asin2—d0=—7ia

oo、333032

(本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分，

6.求出函数/(x)=lim的所有间断点，并指出这些间断点的类型.

…81+(2x)

解:

sin(〃x)\x\<-

112

j_1

x=—

22

1•

x=——

~22

0\x\>-

112

因此=—g与*2=g是函数/(x)的间断点.

lim/(x)=lim0=0,limf(x)=limsin(^x)=-l,因此x=-,是函数/(x)的第一类可

—、_L**__L%-__L%-__L

2222

去型间断点.

lim/(x)=limsin(^-j)=1,lim/(x)=lim0=0,因此x=g是函数/(x)的第•一类可去型

2222

间断点.

7.设彳是函数/(x)=arcsinx在区间［0,4上使用Lagrange(拉格朗日)中值定理中的“中值”,

求极限lim—.

Db

解：

/(x)=arcsinx在区间［0,“上应用Lagrange中值定理，知存在Jw(0,b),使得

arcsinb-arcsin0=/(/?-0).

所以，$=1/―--1.因此，

(arcsin。)

J—,2

[.铲].Varcsin/?)(arcsin/?)-b"

lim——=lim------------=lrim——-------―

J。b一『0b-20/?-(arcsin&)~

令f=arcsin"则有

lim^-=lim/,"Sin?=limt~-sin21

bf。trI。厂sinr一0,4

「2t-sm2t..2—2cos2，1-1-cos2r1..2sm2，1

=lim-----------=hm---------；----=—lim------；----=—lim---------=-

T。4”—o12厂6f。r6-02t3

所以,lim1__L

〃一＞o~h73

\-x1

8.设/(1)=求

00

解:

00

1-X

在方程/(x)=pdv)dy中，令x=l,得

0

1-10

/())=Je'(2-y)dy=Je'd')dy=0.

oo

\-x

再在方程/(x)=卜心＞)力两端对X求导，得r(x)=—

0

111

因此，^f(x)dx=xf(x^-^xf(x)dx=-^xf'(x)dx

000

=]xe'-x21

dx=e^xe~xdx=e-=；(eT).

0，

0o2

9.研究方程，二。/(a>0)在区间(—8,+8)内实根的个数.

解:

设函数f(x)-ax2e~x—1,f'[x)-2axe'x-ax2e~x-ax(2-x)ex.

令;(x)=0,得函数/(x)的驻点X]=0,x2=2.

由于a>0,所以

limf(x)-lim(ax2e~x-1)=+oo,

XT-ooXT-oc'

lim/(x)=lim(ax2e~x-1)=alim—~\-alim--l=alim--1=-l.

XT+OOXT+QO'7XT+OOe'Xf+ooe”XT+OOe”

因此，得函数/(x)的性态

X—00(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)+00

((X)—0+0—

/(X)+00-1T4ae-2-1-1

⑴若4ae-2—1>0,即时，函数/(x)=a/e-*—1在(―oo,0)、(0,2)、(2,+8)内

各有一个零点，即方程/=。/在(一8,+8)内有3个实根.

2

⑵若4。6-2-1=0,即a=?时，函数/(x)=ax%—*—1在(-8,0)、(0,+8)内各有一个零

点，即方程在(_00,+00)内有2个实根.

(3)若4燃>-2-1<0,即时，函数/(%"a/er_1在(_%0)有一个零点，即方程

e*=ax2在(―8,+8)内有1个实根.

10.设函数/(x)可导，且满足

/(―x)=x(r(x)—1),/(0)=0.

试求函数/(x)的极值.

解:

在方程/'(—X)=MrGAD中令t=—x,得/a)=T(r(T)-1),即

:(x)=—x(r(―X)-1).

在方程组4、中消去:(-X),得

I-/⑴+八-X).7

x+X2

/'(x)=

1+x2

x2

积分,注意/(0)=0,得“X)—/(O)=J士ydf.即

/(x)=J；+［力=x+；ln(l+x2)-arctanx.

y-Iv**1I2v_丫2

由/(x)=±_^得函数/(x)的驻点占=o,x2=-l.而/"(x)='.所以，

1+x-(1+x2)-

/〃(0)=l>0,/ff(-l)=-l<0.

17r

所以，/(o)=o是函数/(x)极小值；/(—l)=—l+］ln2—I是函数/(x)极大值.

三.应用题与证明题(本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分)，

11.求曲线y=J7的一条切线，使得该曲线与切线/及直线x=0和x=2所围成的图形绕x轴旋

转的旋转体的体积为最小.

解：

设切点坐标为(f,J7),由y厂，可知曲线》=正在(，J7,处的切线方程为

27t

/一"=/7("一"或y=4r(x+0

因此所求旋转体的体积为

-那方(叫-㈤卜=7停-4+2”

所以，火=工(—乂+2］=0.得驻点，=±之，含去t=-=.由

于

力413f2J73V3

夕=三.二>0,因而函数丫在处达到极小值,

而且也是最小值.因此所求切

力2,j43『2V3

V5G

J31

线方程为y=l2x+L.

42

12.设函数/(x)在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且

2

n1

Jarctanxdx=—,/(l)=0.

o2

证明：至少存在一点彳£(0,

)使得,(正府rE

解:

2

因为/(x)在闭区间［0,1］上连续，所以由积分中值定理，知存在0,一，使得

71

2

n2

[c"')arctanxdx=—e,伪)arctanr/.

J7t

0人

2

zr]01

由于fe""arctanxdx=—,所以，一e"'"arctan〃=—.再由/(l)=0,得

•2n2

e，(“)arctan〃=(=e'⑴arctan1.

作函数g(x)=/°)arctanx,则函数在区间l]cz[0,1]上连续，在区间(q,1)内可导.所以由

Rolle中值定理,存在自€(〃,l)u(0,1),使得屋⑥=0.而

“(x)

g(x)=/⑴/(x)arctanx+

1+x2

所以存在l)u(O,1),使得

e"。尸⑥arctanJ+=0.

1+十

由于V0*0,所以/G)arctanJ+—^=0,即/6)=7----二-------

1+J-(l+J2)arctan自

福建师范大学协和学院2009—2010学年第一学期

2009级高等数学II试卷(A)

试卷类别：闭卷考试时间：120分钟

一、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)

ex+l

1、f(x)=--是(A)函数

ex—\

A.奇函数B.偶函数C.连续D.有界

2、在指定的变化过程中，下列函数中不是无穷小量的是（D

csinx/、

A.一sin—B.----,(尤f8)

XX

C.xsinL（xfO）

D.xsin—,(x—>8)

xx

3、下列命题中，正确的是（D)o

A./（x）在（a,。）内的极值点必是/'（x）=O的点

B.r（工）=0的点必是/（工）的极值点

C./（x）在（见份内的极值点处其导数尸（口必不存在

D.r。）=0的点是可能取极值的点

4、若J/（x）dr=xlnx+C,贝,（x）=（A）.

22

22xxx

A.Inx4-1B.InxC.xD.—Inx-----

24

5、下列广义积分收敛的是（A）

A.2xsin(x2+l)cos(x2+1)B.sin(x2+1)

C.2xsin(x2+1)D.sin(x2+l)cos(x2+1)

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1

1、函数1幻=6出的间断点工=0的类型是无穷间断点o

2、用微分计算，机屈的近似值为1.01（计算到百分位）。

3、世2[inx公（填“2”或“4"）•

冗1

4、估计------7必的值，在区间_________?中。

七3+cos~x43

5、—^nXln(r+l)Jr=(cosx)ln(sin2x+1)

dxX)--------------------------

6、设某产品生产。个单位的总成本为。（。）=100+3。+0.05。2,则产量。=10时总成本对产

量的弹性为（）.296o

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

1.V2—VF4-COSX

1忠1sin。

2-(Ikcosx(2分)

1、解：原式=lim—

xf0X12(5/2+5/1+cosX)

1、

-x-

1-cosX=旦

=lim(2分)石(1一_r

.10X2.2叵x-*0X*"Z

x-fe'dt

lim--------------

。%sinx

?

2、44

解：原式分余网务

=lim"<2(2)=1^^(1(2=lim—二0

工TOx，XTO%xf0x

3、求由方程y-xev=1确定的函数y=/(x)的微分dy。

解：方程两边都求微分得(2分)

dy-eydx-xeydy=0(3分)

ey

：.dy=--------dx

1一xey

4'1借”

解：令，=Jx+1,(2分)

232

则原式=1'；1=2j(J+1)力(2分)=筑勺+/)(1

5、

解:原式二一卜3X/，(4分)=cos—+C

Jxxx

6、「xexdx

解：城=limf分）=吩f价，（1=lim盘f-rexdx

a—>—xJaa—>-ooJr/a->-aolaJr/

=lim—ae"—（1分）=lim—ae"-1+e"（1分）=—1

n->-co1〃4T-OO

[

7、dx

x2y]l-x2

解:令x=sin/（--</<马（2分）

22

则原式=cost力（2分）=jcsc=df=-cotf+C

Jsintcost

71^7+c

X

四、解答题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)

1、讨论＞=/-6/+9》一4的单调性、极值点、凹凸性及拐点。

W：/=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-l)(x-3)

令y'x=1,x=3

令猾=6x-12=0,x=2(4分)

（）

X（-8,1）1（1,2）22,33（3,+00）

--+

y'+00

ff

y一-0++

y单调增加极大值单调减少凸拐点单调减少凹极小值单调增加

（3分）

・•.y的单调增加区间为(-81),(3,+)oo

单调减少区间为(1,2)(2,3)

极大值点为1,极小值点为3,

凹区间为(-902)

凸区间为(2,+%

拐点为(2,-2)

2、求由曲线V直线所围成的平脚图形的面积

解：面积=f,(y+4-gy2)dy(6分)=18

五、证明题（本大题共1小题，每小题7分，共7分）

1,

试证：当x>0时，x——x~<ln（x+1）<xo

解：令姆犍lnl(1连娥厂施fQx内可最0,x

由拉格朗日中值定理得分》使Je0,x加(x)7(0)=/C')(x—0)

即ln(x+l)-x=(J।-1)x(2分)

Q0<^<x.-.l<l+^<l+x

-1<0

1+&

ln(.r+1)<x

(2分)

令g（6德N）由对导0,x

2

,I-x

则g（，=1-x-------=------<0

X+lX+1

・•.8a）在。,■单调减少，（2分）.•.g（x）<g（0>0

x—x~<ln（1+X）

2

六、应用题（本大题共1小题，每小题7分，共7分）

假设某种商品的需求量。是价格p（单位：元）的函数:Q=24000—160p,商品的总成本C是

需求量的函数：C=50000+100。，每单位商品需纳税4元，试求使销售利润最大的商品价格和最大

利润。

解:利润L(力=pQ-C-4Q

=/?(24000-160p)-50000-100(24000-160/?)-4((24000-160/7))

=-160/+40640/9-2546000(2分)

令=-320p+40640=0

得p=127(1分)

QL"(£27<0

;.p=127时利润取得极大值，由实际问题知极大值唯一,.•该极大值就是最大值

(3分)

最大利润以£27=34640元

集美大学试卷05-06学年第一学期期末

课程名称

高等数学A卷

成

专业、年级绩

工商、营销、会计05级

工商学院______专业，班级_______学号________姓名____________

I复查总成绩：I

(本卷共六页)

一、选择题(每题3分，共15分)悔分

1.假设X”=(、份)"，当〃―8时，下述结论中，正确的是(C).

(A)x“有极限；(B)x,是有界量；(C)X,是无界量；(D)x“是无穷大量.

2.当X—>oo时，若---=o(—-—|,则a,。,c之值一定为(C).

ax+bx+c1冗+lJ

(A)a=0,b=1,c=1；(B)Qw0,/?=1,c为任意常数；

(C)awO,b、c为任意常数；(D)a、b、c均为任意常数.

3.若o(x)在(一1,1)中连续，则在(B).

(A)(一1,1)中可导；(B)x=0可导；(C)x=l可导；(D)(—1,1)中处处不可导.

4.已知=5,则在％=。处(C).

i(x-a)

(A)/(x)导数存在且一'(〃)。0；(B)/(x)取极大值；

(C)/(x)取极小值；(D)/(冗)导数不存在.

5.设=/+C,则一九与公为(C).

(A)-2(l-x2)2+C；(B)2(1-X2)2+C；(C)--(1-x2)2+C；(D)-(1-x2)2+C.

22

二、填空题（每题3分，共15分）瓯

）已知函数的=f。l,'Ixl<〉1］'则"（切=—!--------------.

(12n]_

2n.hm-------b-------+-F—-------

"T8+]“，+〃+2n~+n+n2

3.曲线，x—‘in’在『=工处的切线方程为>=一2五x+2.

y=cos2z4

4.曲线y=的斜渐近线是y=x-l

X+1

三、计算下列各题(每题5分，共30分)避

1.求极限lim[生2].

XT+8<2x4-1)

22'+|2--

解：原式=lim[(l+-----)2](1+-----)2=。

一y2x+l2x+1

i

2.求极限lim(cotx),nx.

XTO+

▲-Llncotx

解：lim(cotx),nv=lime]nx=e

x->0+xfO'

i----(—CSC-x)

-i.p■i.Incotx..cctYi•zx、<

其中hm------=hm皿二-------=lim(----------)=-1.

io，Inxio’,x->o'sinxcosx

x

2

3.设y=ln[2+#(x2)],/(M)可导，求」.

dx

解：孚一^-[/(x2)+Vf(x2).2x]

ax2+xf(x)

_/(X2)+2X7V)

2+VU2)

4.设y=y(x)是由方程e9+ln上=0所确定的隐函数，试求导数y'(0).

x+1

解：方程+lny—ln(x+l)=0两边对x求导，有

八十城)+/-七°

把X=0,y=eT代入上式，得

5.求不定积分-dx.

解：原式=2f,""==2arcsin五+C

(6)2

rx

6.求不定积分---arctanxdx.

Jl+x2

工3r+1—1.

解：原式=---------arctanxdx

J1+x2

r,rarctanx,

=arctanxJx---------dx

JJ14-X2

fX,1、2

=xarctanx-J------ax--(zarctanx)

112

=arctanx——ln(l+x2)——(arctanx)+C

3

1-X2"

四、(5分)求函数/(x)=xlimL\的间断点，并判断其类型

…1+x”

-X,X<—1

0,X=-1

解:/W="X,-1<X<1

0,X=1

一X,X>1

所以，X=±l为/(X)的跳跃间断点.

五、证明题(每题5分，共10分)I得分I

1.函数/(x)和g(x)都在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，y(i)=g⑴，且对所有xe(o,i)有

f'(x)<g\x),证明/(0)>g(0).

证明：令〃(x)=/(x)-g(x),则/?(x)在［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件，有

力(1)一人(0)=/(?),0<<<1

即/⑴一g⑴-/(o)+g(0)=/(?)一g'C)，而/(I)=g(l)J'(x)<g'(x)(xe(0,1))

所以g(0)-/(0)<0,即/(0)>g(0).

2.证明：方程x"+x"T+…+x=l(〃〉1为正整数)在［0,1］上有且只有一个实根.

证明：设/(x)=x"+x"T+…+X—1,则F(x)在［0,1］上连续，且/(0)=-1<0,

/(1)=«-1>0,根据零点存在定理，三二€(0,1),使得/(二)=0.

即方程x"+x"T+…+x=l(n>l)有一个实根.

又f\x)=nx"-'+(/?-l)x,,-2+•••+1>0(x>0)

所以/(x)在［0,1］上单调递增.于是/(x)=0在［0,1］上有且只有一个实根.

4

2v—1

六、（7分）讨论函数>=------的单调性、凹凸性和极值.|得分|

U-1）-

解：Df=(-oo,l)u(l,+oo)

2(x-l)2~(2x-l)-2(x-l)_-2x

(x-D4-(x-l)3

2

f,-2(x—I)?+2x,3(x—I)4x+2

，-d)6一(X-1)4

令y'=0,得x=0,令y"=0,得x=-3•

（-上。）

列表讨论：x(-00,--)--0(0,1)(l,+oo)

222

y--0+

y“一0++++

y减、上凸非极值减、下凸极小值增、上凸减、下凸

所以,函数的单调递减区间为（-8,0）和（1,+8）,单调递增区间为（0,1）,上凸区间为

(-oo,-1),下凸区间为(-g,l),(l,+oo),极小值为/(0)=—1.

r**r<1

七、（5分）确定常数。、。的值，使函数/（x）='~在其定义域内可导.

ax+b,x>1

解：显然函数/（X）在X<1及X>1时是可导的，X=1处,

/(I-0)=1,/(l+0)=a+b,/(1)=1

要使/(x)在x=l处连续，则有a+b=l.

f：(1)=lim⑴=a/：(1)=lim/⑺-、⑴=2

91+X-lx-1

要使/(x)在x=l处可导，则有。=2.

所以要使/(x)在定义域内可导，则有Q=2,h=-l.

5

八、（6分）设/J）有原函数学，求/犷"（外公.庭

“、/Sinx、，xcosx-sinx

解：fM=（----）=-------弓--------

XX

/(cosx-xsinx-cosx)-2x(xcosx-sinx)-x2sinx-2xcosx4-2sinx

\xf"(x)dx=Jx炉(x)=xf\x)~^f'(x)dx

-x2sinx-2xcosx+2sinx”、-

-----------p-----------一…

-%2sinx-2xcosx+2sinxxcosx-sinx

+C

-x2sinx-3xcosx+3sinx

+C

X9

九、（7分）某工厂生产某产品，日总成本为。元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品,

成本增加10元.该商品的需求函数为。=50-2P,求。为多少时工厂日总利润L最大？

解：〃。）=/?（。）-。（。）

=。/一（10。+200）

=0.50；2_]00_200

1,

=-：。+15Q-200

〃（。）=—。+15,所以，当。=15时，r（e）=o.

当。=15时，工厂日总利润L最大.

6

2010-2011第一学期《高等数学》期末试卷A

学号：姓名：学院:

一、填空

1、已知/'(3)=2，则_________

,TO2h

2、设y=«/_1)2«_2)力,则今|*=。=

3、设/(x)的一个原函数为1-x,贝ijJ/(sinx)cosxdx=

4、lim/(x)存在的充分必要条件是lim,f(x)和lim/(x)____________

x->x0X->AO-0X->AO+0

5、若两平面气+y+z—女=0与履+y-2z=0互相垂直，则左=

二、选择

1、点M(2,-3,-1)关于yoz坐标面的对称点Mi的坐标为

A、(-2,3,-1)B、(-2,-3,-1)C、(2,3,-1)(D)、(-2,-3,1)

2、下列命题不正确的是

A、非零常数与无穷大之积是无穷大。B、0与无穷大之积是无穷小。

C、无界函数是无穷大。D、无穷大的倒数是无穷小。

3、设f'(x)=2,g/(0)=1,则]7(x)尸(x)dx=

11

A、2(2尢+l)+cB、—(2x+1)+cC、2(2x+1)0+cD、—(2.x+1)9+c

4、/(x)=忖，则/(x)在X=0处

A、/'+(0)存在，不存在B、/_(0)存在，尸+(0)不存在

C、/+(0)，/_(0)均存在但不相等D、f'+(0),/[(0)存在且相等

5、「/"71-cos2xdx=

二、计算题

1、求下列极限

(1)lim----(2)lim(----------

7xInxx-l

2、求下列导数或微分

设/。)=

求由椭圆方程1+5=1所确定的函数y的二阶导数。

已知y=x3-2x6-求

dxdx"

1dnV

(4)设)，=——，求S

x2+3x+2dxn

3、计算下列积分

r2

(1)['-Je'-Idx(2)]xlnxdx

Jo

'+oO[―

(3)e-^dx(4)jcotxjsinxdx

Io

4、求曲线y=/和y2=x所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。

三、证明：当x>l时,

答案

一、填空

1>-12、-23、sin3x-sinx+c4、存在且相等。5、±1

二、选择

1、B2、C3、D4、C5、C

三、计算题

1、求下列极限。

ax

膜0ibxax_\(bx

(1)解：Lim----------=Lim-------------------=a-b

xtOxx->0x

(2)解：

1-1

.11.X-1-InX..xr.x-1,.11

Lrimyz------------)x=Lim------------=Lim-------------=Lim--------------=Lun------------=—

-Inxx-1T(x-l)lnx'\nx\xlnx+x-1elnx+1+12

x

2、求下列导数或微分。

.ln(l+x)-lnl

(1)解/IJ,：fl(0)=Lim------------------Limln(l4-x)x=1,

AT+0XXT+O

x—0

f\0)=Lim------=1・

xf-0X/0)=l

(2)解：方程两边对X求导：

2x=0"=一小

ab-

2r2V

再由与+?y'=(),两端继续对x求导

a2b2-

LjJ(-止)2=0

*京+察a2h2y4a2y

b4

n)'〃=42y3

(3)解：dy=(3x2-12x5-9x8)rfx

@=3/一12/—9炉

dx

dy_(3x2-12x5-9X8)JX

dx22xdx

9

—Dx—o<x4-----x7

22

(4)^解：y=—!-------

x+1x+2

产=(T)〃n![(l+x)-(rt+1)-(2+x)-(n+1)]

四、计算下列积分。

(1)「Je*—k/xje'_1=f力=2f(l二)力

J>J)l+r2」>l+t2

=2[t-arctan=2-—

222A,1

(2)Jxlnxdx=—jlnxJx=—[x\nxxdx]

。2]2\-\'l

1A3

=-[41n2-IxJx]=21n2--

2」