考点33空间角、空间向量及其应用-2019年浙江新高考数学考点一遍过+含解析

考点33空间角、空间向量及其应用

1.空间角

（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.

（2）了解空间两点间的距离公式

（3）会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题.

2.综合应用

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

（4）掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题.

（5）理解直线的方向向量与平面的法向量.

（6）会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

（7）会用向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题，了解向量方法在研究几何问题中的作

一、空间直角坐标系及有关概念

1.空间直角坐标系

坐标原点点。

定义以空间一点。为原点，具有相同的单位长度，给定正方

向，建立两两垂直的数轴：X轴、y轴、Z轴，建立了一坐标轴九轴、y轴、z轴

个空间直角坐标系。-孙Z通过每两个坐标轴

坐标平面

的平面

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向)，轴的正方向，如果中指指向Z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.

2.空间一点M的坐标

(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z),其中u叫做点M的横坐

标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

(2)建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.

3.空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式

①设点A(X1,y,Z|),3(孙乃"2)为空间两点，

则4,8两点间的距离।‘必卜J(.一+Gi-+(4—Z02

②设点P(x,y,z),

则点P(x,y,z)与坐标原点。之间的距离为।°尸=+r+r.

(2)中点公式

X.4-X,

x=-----

2

y-、

设点P(x,y,z)为6(x,，x，zJ,月的中点，则I2

4.空间向量的有关概念

名称定义

空间,向量在空间中，具有大小和方向的量

单位向量长度(或模)为1的向量

零向量长度（或模）为0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空间向量的有关定理及运算

1.共线向量定理

对空间任意两个向量a,仅厚0）,a〃力的充要条件是存在实数九使得a=M.

牢记两个推论：

intnmiinHM

（1）对空间任意一点。，点尸在直线AB上的充要条件是存在实数3使。产=（l-/）Qd+rO3或

1nm।MmiH—

0P=x04+y0B（其中x+y=l）.

（2）如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线，那么对空间任意一点。，点P在直线/上

的充要条件是存在实数r,使法＞=次+必，其中向量。叫做直线/的方向向量，该式称为直线方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果两个向量a,B不共啜，那么向量0与向量a,分共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,

使p=xa+）历.

ULUi■nil

牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使HP=X.13+JTC;

1nniiiiMIiHmULU

或对空间任意一点。，有0P=CU+x,必+J'XC.

3.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p=xa+.W+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.

（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

（3）0不能作为基向量.

4.空间向量的运算

（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.

夹角

(2)空间向量的坐标运算

设4=生)4=(4力"4),则4±6=(q士4：生土&，生士&)

Aa=(zz715za2sz^)(zeR)ab=q"+a2b2+a也

4尸6=6=24="=Aalsb2=20也=Aa3(zeR)

aab+a2b2+a3bm=0

|A|=V^''=Ja；+a：+不

ab_q"+a9】+生&

cos(a：b)HW也;+；t+a；猴版+片

三、利用空间向量解决立体几何问题

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作/,显然一条直线的方向向量可以有

无数个.

(2)若直线/La,则该直线/的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作以,有无数多个，任

意两个都是共线向量.

平面法向量的求法：设平面的法向量为a=(x,y,z).在平面内找出(或求出)两个不共线的向量

”⑷生㈤足他也㈤，根据定义建立方程组，得到产"=°,通过赋值，取其中一组解，得

ab=O

到平面的法向量.

2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直

设直线］,小的方向向量分别为1,，〃，平面a,6的法向量分别为a,夕.

⑴线线平行：若l”m,则2尸机=l=%»(/cR)；

线面平行：若"/a,则l—ao2a=0；

面面平行：若a〃力，则a?尸=a=/以/.eR)

(2)线线垂直：若I工m,则•加=乙，”=0：

线面垂直：若/la,则।产a=l=/a(7eR)；

面面垂直：若。，/,则a~L£=a/=O.

3.利用空间向量求空间角

设直线/,机的方向向量分别为l,m,平面的法向量分别为外.

(1)直线/，机所成的角为。，则0464工，计算方法：141股I；

2

(2)直线/与平面a所成的角为。，则0＜。(二，计算方法：冏闻；

2

(3)平面a,4所成的二面角为。，则046«兀，

如图①，AB,CC是二面角a—/一£的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=〈A3,8〉.

23

如图②③，〃|,〃2分别是二面角a-1-B的两个半平面a,。的法向量，则二面角的大小6满足|cosd|=

也出,二面角的平面角大小是向量n,与的夹角（或其补角）.

同同

4.利用空间向量求距离

（1）两点间的距离

设点A（%,y,4）,B（孙力zJ为空间两点,

ULUS,------------------；----------r

,isI=I.isi=再-9y+(耳j+(4-zj

则A,3两点间的距离

（2）点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，"为平面a的法向量，则B到平面a的距离为

ium

考向一空间直角坐标系

对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组（即坐标）表示出来，通过坐标

的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题（形）与代数问题（数）的结合.

典例引领

典例1如图，以长方体,近CD-4BIGA的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建

立空间直角坐标系，若。4的坐标为（4,3,2）,则AG的坐标为.

【答案】(-4,3,2)

【解析】如图所示，以长方体，45GA的顶点。为坐标原点，过0的三条棱所在直线为坐标轴,

建立空间直角坐标系，因为两的坐标为432,所以."440)6(032),所以为=(-432).

变式拓展

1.如图所示，在长方体ABCD-ABiGU中,\AB\=\AD\=3,\AAt\=2,点M在AQ上，|MG|=2|AiM|，

N在0c上且为。C中点，求M、N两点间的距离.

考向二共线、共面向量定理的应用

1.判断两非零向量a,万平行，就是判断a=46是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.

2.证明空间三点尸、A、3共线的方法：

①尸4=4P8(4GR)；

In1IHmiRim

②对空间任一点O,OP=OA+t.4B(reR).

1HH1HmiIIIMI

③对空间任一点O,OP=xOA+y.4B(,x+y=1).

3.证明空间四点P、M、A、8共面的方法:

①MP=xJ£4+yMB

IHBinn*1RIH・■

②对空间任一点。，°P=0X1+工也4+W;

iH1inHmiinMIiHm

③对空间任一点0,°P=x°"+J0*+zOBa+y+z=i）；

④PM//AB（或PA//MB或PB//AM）-

典例引领

7uuri

典例2如图，在正方体ABCEMiBCA中,E在力四上，且4；E=2初1，/在体对角线AC上，且遇尸-FC.

3

求证：E,F,B三点共线.

【解析】设而。而="大。

___2___

.・儿一E=H）——D/A彳F=3-FC;

T7-:T7T-^4F=54C=5兄-过尸j（AB-AD-AA^=铲一M尻及

/1•L>—Zl«U*—

13113

________24222

..EF=-4石=~fl-b-二l二（fl-；b-c\

22

又彘=就工；b—:b-c,

：.EF=-EB

5

：.E,F,B三点共线.

变式拓展

2.如图，已知。、/、B、C、D、E、F、G、〃为空间中的9个点，且OE=ZQA，OF=kOB，

ULLLULAJULULLU（JULI1X11

OH=kOD>AC=.1D+mAB-EG=EH+mEFkwO,

求证：(1)X、B、C、Z)四点共面，£、F、G、，四点共面:

（2）AC//EG；

⑶OG=kOC

考向三利用向量法证明平行问题

1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.

2.证明线面平行：

(1)该直线的方向向量与平面的某「法向量垂直；

(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.

典例引领

典例3已知正方体的棱长为2,E,尸分别是BBi,的中点，求证：

(1)尸G〃平面AOE；

(2)平面AOE〃平面BJGF.

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Df”,则有50,0,0),.4(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,

2),EQ,2,1),"0,0,1),5)(2,2,2),

所以元i=(0,2,1),刀=(2,0,0),J£=(0,2,1).

ruum

/DA=2x=0,

(1)•设巾，z。是平面4QE的法向量，则％J_D4,n,1AE，即｛uun得

IMjAE=2)、+zj=0,

[=0,

\令zi=2,则yi=—l,

[4=-2x，

所以"i=(O,-1,2).

ULU

因为尸Ci%=-2+2=0,

所以EGl/ir

又因为FC,<Z平面ADE,

所以FG〃平面AOE

(2)易得G4=(2,0,0),

n^FCx=2y2+z1=0,

设"2=(X2,心，功是平面3c1F的一个法向量，则”：一FG,%-C/i，即，___

n2clB]=2顼=0,

x,=0,

得*.令zz=2,得心=一1,

Z2=-2%

所以“2=(0,—2),

因为m=〃二,

所以平面XDE"平面BiCF.

变式拓展

3.如图，已知长方体ABCQ-AiBiG。］中,E、M、N分别是BC、AE、C£>i的中点,AO=AA|="/B=2a.求证:

MN〃平面ADQA.

考向四利用向量法证明垂直问题

1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

典例引领

典例4如图,已知正四棱锥UABCO中,E是VC的中点，正四棱锥的侧面YBC为正三角形.求证:平面VAC±

平面EBD.

t解析】如图，以，在底面」3CD内的射影。为坐标原点，建立空间直角坐标系0-酝

设心心的24在中小、；〒诲二,许而一，产

J5

・.丁（O,O：、r^）fr2^：0：0）C（-、f^0：0）：M。：,y^：Q）：D[O：・\yz：O）：E1—丁。：0：--d）t

则呢=(-----a,*a,——-a),加=(0,-2A/^,0),忆=(-嫄“,0,-^/^a).

22

■:施l/t=<72+0-a2=0,BD-Kt=O,

/.l)EA-Kt,BblVt,BPDEIVC,BD1.VC.

■:DECBD=D,

：.VCJ_平面E8D

又VCu平面VAC,

二平面IMC_L平面EBD.

典例5如图，正方体x5CD-431G4中，E,F,”分别为44，4G，CG的中点•

(1)证明：BELAH；

（2）在棱2G上是否存在一点G,使得AG〃,平面6EF?若存在，求出点G的位置；若不存在，请

说明理由.

、（1、

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系。一号z,设.”=1,则月（1上0）,5（L1SO）,E\L-;l,

,-J

呼注｝

一（n_ri

.-^=；-lsL-,BE=\Q--A',

AHBE=0>

(2)设G(OjJ),贝ij行=(一111),iLI

设平面BEF的法向量为n=(xj\z),

11c

—x+—y=0

；2"，令z=l,得”=(22」),

——x+z=0

2

:AGII平面BEE,

-t=

AGn=(1J=1)-(X-：11=0,解得~>

二当G是4G的中点时，XGII平面BEF.

变式拓展

4.如图所示，已知AB,平面ACD,OEJ_平面AC2ZXACO为等边三角形4)=£>E=2AB,F为C£>的中点.

(1)求证:AF〃平面BCE;

(2)求证:平面3CE_L平面CDE.

考向五用向量法求空间角

1.用向量法求异面直线所成的角

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求出两条直线的方向向量；

UUUUUL1

(3)代入公式求解，一般地，异面直线4C,8。的夹角的余弦值为COS£=W£S-.

\AC\\BD\

2.用向量法求直线与平面所成的角

(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

典例引领

典例6如图，在五棱锥尸―5cDE中,平面/18©£＞及21=且8=,如：=28。=2。£=2,ZDEA=

/EAB=NABC=90°.

(1)求二面角P—DE—A的大小；

(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由题可知，以AB、AE、”分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则N(0£0),E(0,ZO)Q(L2.0),尸(0,0.2),C(2J0).

设平面PDE的法向量为〃=(x,y,z),

又曲=(1,0,0),加(0,-2,2).

广IRm

nED=x=0fx=0/、

由Jinn，得〈，令y=l,得〃=(0,1,1).

nEP=-2y^2z=QU=z

(1)由于PN1平面N6CD瓦则平面ADE的一个法向量为户302),

20

于正35万＞=丽=耳石=工,

所以-=451

则二面角尸-DE-H的大小为45s.

⑵由于元=(2,1,-2),

PC"2x0+lxl+(-2)xl0

所以c行^>=布=一亚万一=—

故PC与平面PDE所成角的正弦值为由

6

典例7如图所示，在四棱锥E-A6CO中,A3〃CD,NAOC=9(T,CO=3,4B=1,EA=AD=DE=2,EC=y/13.

(1)求证:平面EAO_L平面ABCQ;

(2)求二面角。-BE-C的余弦值.

【解析】(1)如图，取的中点，，连接E，、CH.

'：EA=AD=DE=2.：.△.10石为正三角形.'

V

在RtAHDC中：a>3QA=1：

•H「=____________=_

\!CD2+DH2v32+1*v'IO!

在△即C中即=臼"=即改=,1T

：.EC2=EHZ+HC\

.,.NEHC=90。，即EH1HC.

又平面48CD.HCu平面ABCD：.AD\HC=H.

二.EH1平面ABCD：

又•「ENu平面END,.•.平面ETD1平面.-1BCD.

(2)以”为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系”一町z,

贝UH((W)”(L0e3(LL0)M-L0M，C(-L3,0),£(0:05A/3).

曲=(2-1,0),踮(=-11,四,比=(-2,2,0),

设平面的法向量为加=（与”0）贝H,

mBE=0

卜2再一凶=0

即1一再_川+代1=0'

令zi=l：则x】="々ji=2行

yoV3

从而可得平面DEB的一个法向量"，=.、手2、311

,、IM-5£=0

设平面CBE的法向量为"贝卜—，

[M-5C=0

广三一+限=0

[-2七+2B=。

令工尸、密则心=、，纣2=2，

从而可得平面CBE的一个法向量”=（行争2）,

yo'P

mn

从IE...=___5__而

ffljCOS<^h.W-^।lw|l|«|I—4^r0——--8---

故二面角D-BE-C的余弦值为巫.

8

变式拓展

5.如图，在斜三棱柱'四C-431G中，底面ABC是边长为2的正三角形，34=3,AB1=M，

NC8瓦=600

8

（1）求证：平面ABCJ.平面5CG4；

(2)求二面角3—Ag—C的正弦值.

考向六用向量法求空间距离

1.空间中两点间的距离的求法

两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为

求向量的模.

2.求点P到平面a的距离的三个步骤：

(1)在平面a内取一点4,确定向量PA的坐标.

(2)确定平面a的法向量〃.

(3)代入公式d/丛“1求解.

\n\

典例引领

典例8如图，直三棱柱中,4。=品1=144产3,44(78=90。,£＞为。©上的点,二面角A-A.B-D

的余弦值为-正.

6

(1)求证:CO=2;

(2)求点A到平面A3。的距离.

【解析】(1)以C为坐标原点，分另।以匕!、。3、(70所在直线为.\轴、)轴、2轴建立空间直角坐标系。一42：

则X(LOQ)、B(OJO)、4(L0,3).设O(OIM).

加=（1」,0）是平面4，4的一个法向量:设«=（xZ）是平面45。的法向量.

1。3-。）:'^=（0J：-a）：由y^-7J=0：后力=）得x+（3—a）z=0-皿=0,

l/ri«UDUD

取x=3—/得y=_%z=_L即“=（3_a「a「l）.

由题设知gs"«）|=件J=n=4：解得户2或"L

I训同J2x，（3-a）-+a，+l66

所以DC=2或DC=1.

但当DC=1时:显然二面角，4一/田一。为锐角，故舍去.

综上QC=2.

⑵由⑴，知E1,2-1）为平面4—的一个法向量,

他0,3）,所以点月到平面ABD的距离d=华4=空£

巧又4一4*

|«|2

变式拓展

6.如图，在四棱锥P—ABCO中，底面ABCO为正方形，PB=PD=04B=[AP=[。是C。中点.

（1）求点C到平面BPQ的距离；

（2）求二面角A-PQ—B的余弦值.

考向七用向量法求立体几何中的探索性问题

1.通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的

数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说

明假设不成立，即不存在.

2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量.

典例引领

典例9如下图所示,三棱柱ABC-ABC中,44」平面ABC,BC，AC,8C=AC=2A4i=3，。为AC的中点.

（1）求二面角G-8C-C的余弦值;

（2）在侧棱上是否存在点P,使得CPJ_平面BOG?并证明你的结论.

【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系,

则CMOOO'HOIZiqtUOLqQCQRlSC，所以0=(0:3,2):^=(13:0).

设〃=（为g口）是平面BDCi的法向量厕

nJB=0

n-CZD-0'

3u+2z~~011

所以“「二，令得〃=（1「不不是平面3DG的一个法向量,

［再+3M=032

易知_（。30）是平面ABC的一个法向量,

L«C一

■■■■I

jrQC_-12

所以cos<%C；C>=同|希|===一5,

而二面角G-8D-C为锐角，故其余弦值为g.

(2)假设侧棱A41上存在一点尸(2,)，,0)(史乃3),使得CPL平面BDCy.

因为办=(2,)，-3,0),

所以(C只PC品iH=0()•即/仁3(43-岛3)=)0=0,得尸3且三针7

所以方程组无解.

则假设不成立，即侧棱A41上不存在点R使CPL平面BDCy.

典例10已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC,/.DAB=90°,PDJ.底面/1BCD,且

PD=DA=CD=2AB=2,M点为PC的中点.

(1)求证：BM〃平面P/W.

(2)在平面PAD内找一点N,使MN1平面PBD.

【解析】(I)因为底面ABCO.CO〃48,COJ_AD,所以以“为坐标原点，建立空间直角坐标系。-xyz(如

图所示).

由于PD=CD=ZM=2A3=2,所以£>(0,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Af(0,1,1),

所以(-2,0,1),DC=(0,2,0).

因为比J.平面PAD,

所以应是平面P4。的法向量，

又因为比•B»=0,

所以由分/平面PAD,

所以8例//平面PAD.

(2)设入口0二)是平面PAD内一点，

贝11*'»——*

人」MN=(x-l,z-1\DP=(0,0,2),D3=(2,1,0),

若小工平面皿厕画羽二0，

te-D3=0

1

x=一

所以，即一f

Z=1

1

所以在平面PAD内存在点N；三刀」；使得一HV1平面E3D

变式拓展

7.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PA。，平面ABC。，PA±PD,PA=PD,ABLAD,AB=\,

AD=2,AC=CD=^/5

(1)求直线P8与平面PC。所成角的正弦值.

(2)在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在，求4竺的值；若不存在，说明理由.

AP

、亨点冲关火

1.设向量a，b,c不共面，则下列各组向量可作为空间的一个基底的是

A.(a+b,b-a,a}B.{a+b,h—a,b}

C.[a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c}

2.设空间四点O/,B,P满足0A=m0N+n(ZB,其中m+九=1,则

A.点P一定在直线4B上B.点P一定不在直线4B上

C.点P不一定在直线4B上D.以上都不对

3.设(1,2,-2)为平面a的法向量(2,-4用为平面夕的法向量，若a,及则上

A.2B.-5

C.4D.-2

4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱—431G，CX=CG=2CB，则直线BG与直线夹角的

余弦值为

「2x/5

5

5.如图所示，在直二面角。-ARE中，四边形A8C。是边长为2的正方形，aAEB是等腰直角三角形，其

中NAEB=90。测点D到平面ACE的距离d为

A百

3

C.V3D.2G

6.已知正四棱柱ABCD-AyByCyDy中,A4]=2AB,则CD与平面BDCy所成角的正弦值等于

2RG

A.-

33

「V21

D.-

33

7.已知向量,6=（-1:11|,且kz+8与2a-3）互相垂直，则女的值是.

8.如图所示，在直三棱柱A8C-4BC中，底面是以NABC为直角的等腰三角形,AC=2a,班产3g£＞是4G的中

点，点E在棱AA上，要使CEL平面BQE,则AE=

9.如图，在直三棱柱ABC-AjBiG中，ZBAC=90°,AB=AC=AA^2,点G与E分别是4闰和CG的中点,

点。与F分别是AC和AB上的动点.若GDLEF,则线段OF长度的最小值为

10.在如图所示的几何体中，四边形4BCD为平行四边形，平面4EC_L平面4BCD,乙1CB=90。，EF//BC,

1

EF=—BC,AC=BC=2,AE=EC.

2

(1)求证：AF=CF.

(2)当二面角4-EC-。的平面角的余弦值为正时，求三棱锥4-EFC的体积.

3

11.如图，在四棱锥尸-ABC力中，底面4BCD是矩形，PAL^ABCD,PA=AD=4,AB=2.若M,N分别

为棱P。，PC上的点，。为4c的中点，且AC=20例=20N.

B

(1)求证：平面平面PCD；

(2)求直线C3与平面ACM所成的角的正弦值;

(3)求点N到平面ACM的距离.

12.如图所示,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,P4_L底面ABCD,PA=AB=A£>=1,点F是PB的中点，点E

在边BC上移动.

(1)求证:无论点E在BC边的何处，都有PE±AF;

(2)BC(包括端点8,0上是否存在一点E,使PO〃平面AEF2若存在，求出点E的位置;若不存在,请说明

理由.

13.如图，矩形ABCD所在的平面和直角梯形C0EF所在的平面成60。的二面角QE〃CECC

DE入D=2,EF=3避,CF=6,/CFE=45°.

(1)求证:BF〃平面ADE;

⑵在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值《

14.如图，在多面体A8C0E77中，四边形A8CO是正方形，BF±ABCD,平面ABC。,

8P=OE,点M为棱AE的中点.

A

（1）求证：平面〃平面EFC；

（2）若DE=2AB,求直线AE与平面8OM所成的角的正弦值.

直通高考、

、一••尸

l.（2018新课标全国^理科）在长方体,4BCZ）-4用G4中，.<5=BC=l，A4,=相，则异面直线明

与所成角的余弦值为

1R非

A.-

56

c.好,D,显

52

2.（2018高考浙江卷）如图，已知多面体ABCASG，A|A,BBGC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,

A]A=49C|C=1,AB=BC=B]B=2.

(I)证明：ABi_L平面AIBIG;

(ID求直线4G与平面AB8所成的角的正弦值.

3.(2017高考浙江卷)如图，已知四棱锥尸△幺£＞是以AO为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CD1.AD,PC=AO=2OC=2CB,E为的中点.

p

（I）证明：CE//平面FAB；

（II）求直线CE与平面P8C所成角的正弦值.

4.（2018新课标全国I理科）如图，四边形ABC。为正方形，分别为A。,3c的中点，以为折

痕把折起，使点C到达点P的位置，且Pf_L8尸.

（1）证明：平面平面ABF。；

（2）求OP与平面48Po所成角的正弦值.

A8

5.(2018新课标全国n理科)如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=2&，PA=PB=PC=AC=4,O

为AC的中点.

(1)证明：PO1平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角尸A-C为30。，求PC与平面所成角的正弦值.

6.(2018新课标全国III理科)如图，边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M

是CO上异于C,£>的点.

(1)证明：平面前">_1_平面8MC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面与面MC。所成二面角的正弦值.

7.（2018江苏卷）如图，在正三棱柱48cAl81G中，AB=44|=2,点P,。分别为AiS，BC的中点.

（1）求异面直线B尸与4G所成角的余弦值；

（2）求直线CQ与平面AQG所成角的正弦值.

8.（2018北京理科）如图，在三棱柱A8C-A4G中，CG，平面ABC,E,F,G分别为AA,AC,A,C,,

Bg的中点，AB=BC=亚,AC=AA=2.

(1)求证：AC_L平面BEF：

(2)求二面角B-CD-Ci的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交.

9.(2018天津理科)如图，AD//BCSLAD=2BC,AO_LC。，EG〃A。且EG=AO,CO〃FG且C£>=2FG,

DGJ•平面ASCQ，DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：“平面CDE;

(2)求二面角E-3C-尸的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面AOGE所成的角为60。，求线段。尸的长.

10.(2017新课标全国【理科)如图，在四棱锥P-A8CQ中，AB//CD,且乙以尸ZCZ)P=90°.

(1)证明：平面以B_L平面以。；

(2)PA=PD=AB=DC,^APD=90°>求二面角A-PB-C的余弦值.

嶷赛考答案.

变式拓展

1.【解析】如图所示，分别以A3、AD.所在的宜线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知0330),5030),

'：\DD}=CC1=一工知=2,

；C(332),。】(032).

♦.•.V为CD]的中点，

3

3,1).

工

'.'3/是R】G的三分之一分点且靠近点,

/•Mb1,2).

【名师点睛】本题考查空间直角坐标系的建立、点坐标的求法以及距离公式，建系时注意要利用两两垂

直的三条线建系，由线段比例求坐标时，注意由坐标特征求，不要直接乘比例系数求坐标.建立空间直角

坐标系，分别由比例关系求出点”、点N的坐标，由两点间的距离公式求出线段长度，即可得到结果.

ULUUUU(JUS

2.【解析】(1)••[4。=,5+制京8，小。0，

iHRIinn,iHna

XC,lDilB共面，即A、B、C、。四点共面.

"EG=EH+mEF'

iniitnHi

即共面，即E、F、G、〃四点共面.

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=HOD-OA)+bn(OB-OA)

iHn«iHmi11RIULULinn・

=kAD+bnAB=k(AD+=匕1C，

・•・AC//EG

iniHimiHn・iHmiiHni(nmULU

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k9A+AC)=kOC.

3.【解析】以D为坐标原点,分别以、DC、DD】为x轴、j•轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

贝1」/（20,0）：5伍,20>0）。（0240）分】（00。）三（!224,0，

•.”、一V分别为AE、8】的中点，

：加0）邓43）.派=（一口0：刍

一工"TX

取〃=（0」,0）显然平面/QQX且””=。,

二赢•*"兄

又MVC平面ADD\A\，二MV〃平面ADD\A

4.【解析】设力）=0E=2.铝=2。,建立如图所示的空间直角坐标系A一孙z,

则40£0）,<7（勿。0）1（0£。）,刀（4鸟,0）,醺4布42。）.

为CO的中点,...Rga,—a，0).

22

3ci

(1),/AF=(-a,^-a,0),猊=(a,@,a),比=(2a,0.-q),，AF^B'E+B'C).

又AFC平面BCE,.MF〃平面BCE.

-3

(2)-：AF=(-a—4,0),d>(-。,衣,0),丽=(0,0,-2〃),AF-Cb=(),AF-协=0,，/fr±而，而_L前,AFJ_

2

CZMF_LED

又CDI即=Z),.*.4尸_L平面C。E.

又AF//平面BCE,；.平面BCE1.平面CDE.

5.【解析】(1)取SC的中点。，连接。生。31,

因为底面，加C是边长为2的正三角形，

所以。4—BC＞且QT=出)

因为3瓦=3,NCB瓦=60\05=1,

所以。B：=F+3?-2xlx3xcos60'=7,

所以。反=5,

又因为3i=而，

所以Qf+OB^=10=，

所以。4，。4，

又因为OBJBC=O,

所以04,平面6。。出，

乂因为Q4u平面ABC,

所以平面A