全国高中数学联赛模拟试题（十三）（后附答案解析）

全国高中数学联赛模拟试题（十三）

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.从集合｛1,2,,2020｝的非空子集中随机取出一个，其元素之和恰为奇数的概率

为.

2.｛《,｝为正整数列，满足q=2,a“+i为a：-13a“+133的最小素因子，a｝,a2,,an,,

构成集合4户为所有质数构成的集合，则集合MA的最小元素为.

3.已知三个非零向量a、b、c,^^A\a+b+c\=a-b+b-c+c-a-t（其中4为给

定的正常数）.则实数f的最小值为.

4.实数X、），满足［"-3'）（4'+3'）=；',（!）'贝心、的大小关系是_______

7，+11>'=13",②.

ax

5.设数列｛玉｝中，玉=五才居='］质~（〃=2,3,4,）（。为非零实数），则数列｛玉｝

的通项为居=.

TT

6.已知三角形的三个内角为A、8、C,且AB<］.它们满足2sinC+cos2A+cos23=2,

则C=.

7.抛物线「：丫2=2〃匹5>0）,设它的某三条切线交于A、B、C三点，设ABC的外接

圆与x轴相切，切点为。（火,0）,则左=.

2020mjn__9____

8.设正实数4，出，•，4。20满足»,=1，贝！1颉2。20t最大值为_____.

i=\1十乙

*=|

二、解答题

9.设实数a、b、c、d满足a+2A+c+3J=l.求（a+b+c+d）?+/+26+3/+41的

最小值.

10.定义数列优｝定€N）,满足为=0,耳=1,且居M=4,+F-（nGN.）.S„为优｝（〃GN）

前n项的平方和.求（邑“+52“）-&T•即乜的值・

22

11.已知椭圆G：三+亲■=l（a>6>0）,其右焦点为F,过F作直线/交椭圆G于A、B

两点（/与x轴不重合），设线段AB中点为。，连结。。（。为坐标原点），直线。。交

椭圆C1于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且储^=|,求椭圆G的离心率.

12.求最大的正实数4,使得对任意正整数〃及正实数天,%,,乙，均有

------------..

«=0々*=|玉)+西++xk

ABC的外接圆与内切圆分别为r、。，C.为A-旁切圆.

13.证明：存在唯一圆例，外与。内切、与C,外切，并且与r内切于点A.

14.设圆助与。八。的切点分别为尸、Q.如果ZBAQ=NC4P,求证：AB=AC.

15.求所有无穷正整数列%,“2，满足下列条件：

(1)a,<a2<a3<；

(2)不存在正整数(可以相同八j、k)使《+勺=%.

(3)有无穷多个正整数鼠使4=2&-1.

16.给定正整数nh有〃个选手A，4，，4参加一次测试，该测试由巾个项目构成，

每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分.求〃的最

小值，使得总存在4个选手4,4，4,14%<，2<<i/V〃，4，&，，&，在第，个项

目中的女个得分要么单调递增，要么单调递减，J=l，2,,m.

试卷第2页，共2页

参考答案:

22020-1

【详解】解析：集合｛12,2020｝共有非空子集—l个,

元素和为奇数的子集个数恰为函数/(x)=(l+x乂1+Y)(1+000)的展开式中奇次项系数

/⑴一/㈠）刈故尸=0击2019=

之和=2K

2

22019

故答案为:

2202。_]•

2.5

【详解】由于4=2,/=3,故2,3wA,所以集合尸—A的最小元素25.

假设存在正整数〃，使得。“=5(〃*3),贝氏。3-1341+133,

故5|(《I+1)2+2,这不可能，因为(a“+iy+2除以5的余数为1,3,

所以5wP-A.集合尸-A的最小元素为5.

故答案为：5.

3.322

【分析】应用人=|q|・|〃|cos<a]>皿|•闻4；(|&『+闻2)=3,+叶及求和的轮换关

系得到尹=1。+b+。F=+2、>bN3t,再分类讨论即可得解.

4eyeeye

【详解】a•。=|aI•I。Icos<tz,b>4|a|•16区g（|a『+1b『）=；（'+,

所以入/先心故4T

=|a+/>+c|2=+2^a-b>3t.

eyeeye

假设f=0,则a+6+c=0,a/+（a+6>c=0.

i^a2+b2=c2-2d-b=-｛d+b)-c-2d-6=-ab,

所以|a|-|b|N|a2|=|a|2+g|2N2|a|・|b|,

这与a、b为非零向量矛盾.从而r>0.

又「23彳2f，所以当a,),c两两同向且模均为4时等号成立.

故心=3储.

答案第1页，共11页

故答案为：3公

4.x>y/y<x

【分析】比较X、)，的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确的答

案，结论错误则结果与假设的相反.

【详解】假设xVy.由①知16,一9,=133由于13*413，,贝(113rl6，一9,,从而

府+恁)工.设/⑺=借)+舄)，则/⑺在R上递减，且/QI,又

/(2)=f-1+j2]<1,所以/(y)>/(2).于是y<2.

由②知，7*+11'=13",Xir<1F，所以7*+11*4131即A

类似上面有x>2.于是与矛盾故x>y.

故答案为：x>y.

(〃eN+)

2[]]]

【分析】将汇=卢9变形为二=1+二，所以二是以二为首项，1为公差的等差数

1+V1x“xn_,J玉

列.从而求得数列通项公式.

Y211

【详解】由题设，由。工0知，X,尸0,所以二=1+二，

1+X„-iXnXn-\

所以[士]是以4为首项，1为公差的等差数列.

EJ玉

所以同号，于是X.,X1同号.故口=/：J〃GN)

\Jna+1

故答案为:(«eN)

\Jna2+1+

【分析】由C=%-(A+8)代入条件，根据二倍角正余弦公式化简，再由和差化积公式化简,

答案第2页，共11页

结合角的范围，可得5询(竽-?)=0,再由角的范围求出管-?=0即可求解.

【详解】由A+8+C=;r,代入条件式2sinC+cos2A+cos28=2,

得2sin(A+B)+(l-2sin2A)+(l-2sin2B)=2,

化简得：

sin2A+sin2B=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=sin/l(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0

A+B"、C•D(3-A(A+B7r\八

02sin4cos-------—+2sin8cos-------+—sin-------------=0

I224jI24；I24j

A+BTV卜inAcosA-B

02sin+sinBcos-------

242I2

1A-B71冗cB-A冗,71

不妨设AN8,则7V—^+：<彳,0<一+7,

4242244

cos+>0,sinB>0,cos+

所以sinA>0,(^i^7)(^V^7)>o,

那么---l=°-

「71A+B7171

又一一<--------<—,

4244

所以竽一9。，即"Bg

TT

则C=;r-(A+B)=—.

2

故答案为：!

2

7」，

2

【分析】先证明A、B、C、尸四点共圆，得出。、尸重合，进而求出h

【详解】设r的焦点为尸(与，。］,下面我们证明：A、B、C、F四点共圆.设直线AB与r切

2

于P(X1,乂)，直线BC与r切于。(程必)，直线C4与「切于R(0%)•则X,=在(i=1，2,3),

于是直线A3的方程为yy=P(x+xJ,直线BC的方程为y%=P(x+W),直线C4的方程为

抄3=「(》+%).记/，为直线网=P(x+xJ0=l,2,3).设厂在直线AS、BC、C4上的射影分

答案第3页，共11页

别为K「降、降，于是直FK,的方程为>=-方卜-5），又直线/,方程为

W=p（x+x,.）a=1,2,3）,则直线时与直线4交点为（0,获K=1，2,3）,所以K1、匕、降均

在y轴上，故K-Kr&三共线，由Simson定理逆定理知：A、B、C、F四点共圆.所以

D、尸重合，于是卜=与.

2

81—L.

【详解】解析：最大值为

~\72

记、=感肌齐，应+则4m,故瓷土口3-耳即

1+24tx,x；

k=l

1-5>^,对1=1,2,3,,2020,

求和，并结合算术-几何平均不等式，

2020

x2020_2020

有2020(1-SRZ上>2020x

i=\Xi2(叫-20202

故S41-5，等号当4=（2吨）J（噬尸"=1,2,3,,2020）时取到.

所以原式的最大值为1-忐.

故答案为：分.

-S/Z

2

9.

5

【分析】根据条件及所求的式子的结构运用柯西不等式即可求解.

【详解】由柯西不等式得：

[(o+/?+c+d)2+/+2层+3。2+4〃2}(1+0+J+0+l)2[(a+/?+c+d)+〃+2d]2=1,

从而(a+b+c+d)24-df2+2Z?2+3c2+4J2.

另一方面，当a=0,/?=g,c=0,d=(时，a+2b+c+3d=1且

(〃+〃+c+d)2+/+2〃+3/+4/=|_

故所求最小值为:2.

10.-1

答案第4页，共11页

【分析】先根据特征根法求出数列｛工｝(〃eN)的通项，再求S“，最后根据目标式化简求值

即可.

【详解】｛r｝的特征方程丁-》-1=0的解为1=匕上,夕=与叵.

由二阶线性递推公式，知工=C/a"+C2/",其中C1、C2为常数.

C+G=O,「1「1

而由乙=0为=1,知」A解得。1=飞,。2=一十.

[Cja+C2-p=l,V5A/5

所以工二七(a"_£")，〃eN.且有&+5=有,£+,=_石,q+夕=1,3=_1.

因为5"=三月=外-环+£尸=£孑2+£耳==%一「乙一2+6〉=工一「力.

,=01=11=2

n+l

所以5“+5„+,=F„+F„-Fn+l=1(a"-^)(a-"”+优一_旷')

=1(a2n+,+a2"-'+尸向+俨)

斗"(a+扑叩+£|)

=g(a?"•石+夕”•(一石))=/(〃eN,).

所以(S?”+^2n+\)一瑞”-1*&+1=F：”—F4ti-X,En+1

=l[(a4n-段)2-(a4n-'-^4"-')(a4n+l-夕向)

=；(-2(4)"'+a"用夕"i+a4"-'^4,,+l)

=1(-2-(«+y0)2+2a^)=-l.

故所求值为-1.

H.述

3

【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出。坐标，再结合直线。。交椭圆G于〃、

\MN\8(22Ja2一11

N两点，若A、M、B、N四点共圆，且片求出M不一警一再代入椭圆求出。，

\OD|333a

\/

进而求出离心率.

【详解】不妨设椭圆G的半焦距c=l,则〃="2一],椭圆右焦点为RI,O).设/：》=仙+1,

答案第5页，共11页

22

将犬=什+1,代入=+马=1消去X化简整理得

a-b-

22

[ak_/2+/)),2+2(q2__(a2_])-=0.

显然，方程判别式△>(),设4(5,”),3(4,%).

2(/-1袂

由韦达定理知力+%从而

a2k2-k2+a2

2

x.+xB1zc、1/2(/-l)K]a

x=-----=-(ky+ky+2)=——-~z---------4-2=--~~；---；-----,

D22「A'B」21……2Ja2m

XD-1

…(/(f)

2222

于760萩F再不'ak-k+a,

\7

a2

所以直线。。的方程为)=-卜2_1快>.

设圆AMBN的方程为G：f+V+Dx+Ey+F=0,

2

直线/，直线MV的方程为4：（》-卧-1）x+/-1袂[=0,

由于。3经过G、G的交点，且G、G、。3均为二次曲线，则存在常数4、4,使得

（x-ky-\）x+（丁］袂y=4］讶+方一1J+4（Y+）,+£）%+4+尸），

22

比较方程两边冲系数知一"/2"》=°，即公=Y—,

-甲a2-\

由对称性不妨设人后•代入点力的坐标得一年

|AW|822五-1

又|。。|得点M-

3a

⑶2

,解得。=JI,

而“在C1上，故同［一一五一

a-a-1

答案第6页，共11页

于是C1的离心率为e=?=2也.

12.4的最大值为3.

【分析】先取为=*=1,々=2/3=4,、％=2"\通过对其求和可得；I的范围,再利用放缩

法可得，+，+1、333

+—>-----+----------+H-------------------------------,最后求出最大的正实数

/%匕%十~飞+再+々/+玉++%

2的值.

【详解】一方面,取/=玉=1,々=2,工3=4,,X〃=2"T,得

11

即

令"一>8,W2<3.

114

另一方面对正实数X,V有万7故

11、4

—+—>—■—,

与王与+%

11、4

------+—>-----------,

x0+演x2玉）+%+x2

11、4

---------------------------1-------之-------------

X+X14-玉）+X]+工2+工3

ox2X3

14

+±>

尤（,+为++x„_,X,,玉）+占++x„

以上各式相加，得

113

------1--------F-H------N4-H------------------------------

X。X4%+王玉)+芭+x2XQ+%++Xn

故2=3时，原不等式恒成立.综上，4的最大值为3.

(1)证明见解析

(2)证明见解析.

【分析】(1)第一步三角形的内外切圆的半径与心心距，利用平面几何欧拉定理可得到

0/2=店—2口关系，第二步证明外与。人外切.利用正弦定理表示圆的面积为

S=!"sinC=绛=!"a+b+c),于是找到R,/•与“*,c的关系，第三步利用斯特瓦尔特

24/\2

答案第7页，共11页

定理可知结果.

(2)由(1)可知处与。的切点尸在线段4尸上，故/BAQM/CAP',证明4、p、I、Q

共线，并且Q、。2也均在此直线上，可知为等腰三角形，于是A8=AC.

(1)

首先，与。内切、并且与「内切于点A的圆唯一，记此圆为例，下面证明他与外切.记

"C的三边长为〃、b、c,外接圆半径为心内切圆半径为r,面积为S,于是

O/2=R2-2Rr,①

乂lcabc1.、八八abc/

并且S==—r(za+b+c)n2Rr=---------.②

4R2a+b+c

作圆灯使灯与c外切，并且与r内切于点A.

设圆外、的圆心分别为。I、Q,助、牡的半径分别为小r2.

对.O/A及点。广02,由Slewart定理知:

22

Ol\+AI(R-rl)=(rl-r)R+^(R-r^R,(3)

22

OIr2+AI(R-r1)={r1+r^R+r2{R-r2)R.④

2

结合①，③，④知：4=R＞二'二，"=/?•AI，故若上万%•而由②知:

AIAI2+4Rr

(8+C-Q]2

(2J+2ahc_(h+c-a)2+2ahc

AI2+4Rr=

cods一4a+b+c2(14-cosA)a+b+c

2

答案第8页，共11页

bc（b+c-a）2ahc.

=-----------+--------=be.

a+b+ca+b+c

AO,AI2AI1

故二77二-;—,结合二A/Bs.AC/=>hc=A/,故二7T=17，这表明［r@，。］位似于

A。beA/AJ

面,cj,故心与见相切.

（2）

由（1）可知。2与。的切点P'在线段"上，故NBAQ=NCAP',

又4平分/BAC,于是NQA/=NP'A/,结合P7=Q/知人p、/、。共圆，于是

ZOAP'=ZO.P'A=NAQl=ZOAQ,

这表明A、P、I、Q共线，并且&、。2也均在此直线上，故A、/、。共线，于是AB=AC.

15.答案见解析

【详解】所求的正整数列只有%=2&-l,M;eN..

一方面，不难验证此数列满足条件.另一方面，我们证明所求的数列只能是此数列.

设4=c.我们证明：ak+c..ak+2c,Vk&^^,设见+,.<%+2c.

由数列单调递增，知4+1，4+2，，，+『均在［4+1，G+2C-1］中.

又由条件（2）,知a*+。任{4,“%2，，%+0}.

将集合［«*.+1,/+2c-1］\{/+c}划分为c-l个二元组

{a*+l,a*+c+1},{4+2,4+c+2},、{4+c-1,4+2c—11.

由抽屉原理，4』,4+2,，a*+,中必有两数在同一个二元组内，这与条件（2）矛盾.

所以限4+2c,WeN+.

进而，对非负整数内有

a…2他5间+2。“叫+2〃?c=⑵〃+l）c.①

于是，对任意正整数，满足IV均有

a〃“+r-4〃K+I+（--1）N（2〃？+l）c+r-122mc+2r-l=2（nrc+r）-l,

由条件（3）,知存在无穷多组（肛厂）使得等号成立，任取其中一组.

答案第9页，共11页

等号成立当且仅当r=c,%…=限+（r-l）,a_1=（2m+l）c三式同时成立.

又因为amc+c>a,w.+c,,+1>>a,,,”+c-1,

所以a,…=j+（r-1）=（2m+l）c+r-1.

而因为+2c,咻eN.,所以a,4-2，nc=c+r-1.V14r4c,

结合条件（1）,知a,=c+r-l,力4r4c.由①取等知4+i=3c.

若c>l,则,=c+l,所以/+/=（c+l）+（2c-l）=3c=&+1,与条件（2）矛盾.

所以c=l.由①，am>2m-\,由条件（2）及4=1知数列｛《,｝的项两两不相邻.又由条件

（3）及数列单调递增，知所求的正整数列只有4=2k-l》％eN+（否则，若弘°eN.使得

%则不存在