高考数学（理）真题汇编：直线与圆

高考数学（理）真题专题汇编：直线与圆

一、选择题

1.【来源】2019年高考真题一一理科数学（全国卷H）

22

设厂为双曲线G二-二=1（。>0,6>0）的右焦点，0为坐标原点，以在为直径的圆与

a

圆d+y2=a2交于尸，。两点.若|pq=Q同，则c的离心率为

A.y/2B.y/3

C.2D.V5

2.【来源】2019年高考真题一一理科数学（全国卷m）

已知曲线y=+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为片2户6,则

A.a=e,Z>=—1B.a=e,b=lC.a=h=\D.a=e~],

b=-\

3.【来源】2018年高考真题一一数学理（全国卷m）

直线x+y+2=°分别与x轴，y轴交于6两点，点尸在圆（X—2）2+V=2上，则△四尸

面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]

C[亚,3亚]口.12亚,3亚]

4.【来源】2018年高考真题一一理科数学（北京卷）

在平面直角坐标系中，记d为点尸（cos。，sin。）到直线x-〃i）-2=0的距离，当0,m

变化时，，的最大值为

（A）1（B）2

（C）3（D）4

5.【来源】（06年湖南卷理）若圆-4丁-10=°上至少有三个不同的点到

直线，：ax+by=°的距离为2/，则直线/的倾斜角的取值范围是

A.B.%'匀C.[?（3]D

[0,5

.乙

6.【来源】(06年福建卷理)对于直角坐标平面内的任意两点工(再，兄)，以与，乃)，定义

它们之间的一种“距离”：|145||=上一再|+1-必].给出

下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则M*悴卜|网;

②在AA5C中，若“=90’,则|四|+|阳|=|加||，

③在2L4BC中，+g却邓却，

其中真命题的个数为

(A)0(B)1(C)2(D)3

7.(04年广东卷)如右下图，定圆半径为。，圆心为0，c),则直线ax+打+c=°与直

线x-y+l=0的交点在

(A)第四象限(B)第三象限(C)第二象限(D)第一

象限

8.【来源】2012年高考真题——理科数学(天津卷)

设若直线(/+l)x+(〃+l)y-2=0与圆(x—l)2+(y—l)2=1相切，则m+n

的取值范围是

(A)[1-73,1+73](B)(-oo,l-a31+6,+8)

(C)[2-272,2+272](D)(^»,2-2V2]u[2+2V2,+oo)

9.【来源】2012年高考真题一一理科数学(陕西卷)

己知圆C/+V-4x=0,/过点尸(3,0)的直线，则()

A.1与C相交B./与0相切C.1与C相离D.以上三个选项均有可

能

二、填空题

10•【来源】2019年高考真题一一数学（浙江卷）

己知圆C的圆心坐标是（0,而，半径长是工若直线2x-y+3=O与圆C相切于点

A（-2,-l）,则m=____,r=.

11•【来源】2019年高考真题一一理科数学（全国卷I）

曲线y=3（i+x）eK在点@0）处的切线方程为.

12.【来源】2019年高考真题一一数学（江苏卷）

在平面直角坐标系刀行中，点/在曲线_y=lnx上，且该曲线在点/处的切线经过点（-e,-

l）（e为自然对数的底数），则点/的坐标是一.

13.【来源】2019年高考真题一一数学（江苏卷）

4

在平面直角坐标系x0中，。是曲线y=x+—（x>0）上的一个动点，则点2到直线A+片0

x

的距离的最小值是.

14.【来源】2018年高考真题一一数学理（全国卷III）

曲线尸（a户De*在点（0,1）处的切线的斜率为一2,则炉.

15•【来源】2018年高考真题一一数学（江苏卷）

在平面直角坐标系"S'中，/为直线/：>=2x上在第一象限内的点，8（5,0）,以is为直径

的圆。与直线/交于另一点〃若AB-C£>=（）,则点4的横坐标为▲.

16•【来源】2011年高考试题数学（江苏卷）

在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数/》的图象交于P、Q两

点，则线段PQ长的最小值是

17.【来源】2011年高考试题数学（江苏卷）

2

A={（x,y）|£《（x—2）2+/<m,x,y&R}

设集合2,

B=[(x,y)\2m<x+y<2fn+l,x,y^R｝若Acb¥。，则实数m的取值范围是

18•【来源】2012年高考真题一一数学（江苏卷）

（5分）在平面直角坐标系'/中，圆C的方程为8x+15=°,若直线

y=kx-2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

▲.

19•【来源】2012年高考真题一一理科数学（上海卷）

若〃=（一2,1）是直线/的一个法向量，则/的倾斜角的大小为（结果用反三角函

数值表示）。

三、解答题

20•【来源】2019年高考真题一一理科数学（北京卷）

已知函数/（x）=-x3-X2+X.

4

（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；

（II）当xe[-2,4]时，求证：x-6<f（x）<x；

（III）设尸（x）="（x）—（x+a）|（aeR）,记尸（x）在区间[—2,4]上的最大值为“（a）,

当"（a）最小时，求a的值.

21•【来源】2019年高考真题一一理科数学（全国卷H）

（12分）

V*_1_1

己知函数---.

x-1

（1）讨论/Xx）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设施是/■（■¥）的一个零点，证明曲线片Inx在点力（即，In刖）处的切线也是曲线

y=e、的切线.

22•【来源】2018年高考真题一一理科数学（北京卷）

（本小题13分）

设函数f（x）=[or2-（4a+l）x+4a+3]eA.

（I）若曲线f（x）在点（1,/⑴）处的切线与天轴平行，求a；

（11）若/（X）在产2处取得极小值，求a的取值范围.

23.【来源】2018年高考真题一一理科数学（天津卷）

（本小题满分14分）

已知函数/（幻=优，g（x）=l°g"x,其中a>i.

（I）求函数〃（%）=/（x）_xlna的单调区间;

（II）若曲线旷=/（"）在点（%，/（%））处的切线与曲线>在点02，g（X2））处的切

/、2InIna

%+g(%)=一—:-----

线平行，证明Ina

（III）证明当aNee时，存在直线1,使，是曲线y=/（x）的切线，也是曲线y=g（x）

的切线.

24.【来源】2018年高考真题一一理科数学（全国卷II）

（12分）

设抛物线C-.，=4x的焦点为F,过Q且斜率为瓜4>0）的直线/与C交于儿6两点，

\AB\=8.

（1）求/的方程；

（2）求过点46且与C的准线相切的圆的方程.

25.【来源】

（2009江西卷文）（本小题满分14分）

2

如图，已知圆G:（x—2y+y2=/是椭圆上+y2=1的内接△A3。的内切圆，其中4

16

为椭圆的左顶点.

（1）求圆G的半径r;

（2）过点M（0』）作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,

证明：直线EF与圆G相切.

26.【来源】2011年高考数学理（广东）

设圆C与两圆（户石）2+；/=4,（x—«）2+:/=4中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程.

M苧等,F/0),

且P为L上动点，求W*闭

（2）已知点的最大值及

此时点P的坐标.

27.（07年辽宁卷）（14分）

已知正三角形ER的三个顶点都在抛物线J=2x上，其中。为坐标原点，设圆C是

△。月夕的内接圆（点C为圆心）

（I）求圆C的方程；

（II）设圆"的方程为（x_4_7cos?2+j_7sin?2=i,过圆M上任意一点尸分别

作圆C的两条切线尸EPF,切点为区F,求无■丽的最大值和最小值.

28.（06年辽宁卷）（14分）

已知点上（再，必），8（孙乃）"述200）是抛物线=2px（p>0）上的两个动点，。是坐

标原点，向量而无满足|》+。8|=|。+。圻，设圆C的方程为

/+J_（再+X3）X-01+^2）^=0

（1）证明线段28是圆C的直径；

26

（2）当圆C的圆心到直线入一2丁=°的距离的最小值为5时，求。的值.

29.

（03年上海卷）（14分）

在以。为原点的直角坐标系中，点A（4,—3）为aOAB的直角顶点.已知|AB|=2|0A|,且

点B的纵坐标大于零.

（1）求向量的坐标；

（2）求圆/一6x+_/+2y=°关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a,使抛物线y=a--1上总有关于直线OB对称的两个点？若不

存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

30.（05年广东卷）（14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形/8S的长为2,宽为1,幺。边分别在X轴、V

轴的正半轴上，工点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使上点落在线段

DC

（I）若折痕所在直线的斜率为止，试写出折痕所在直线的方程；

（II）求折痕的长的最大值.

试卷答案

1.

A

..\PQ\=\OF|=c,ZPOQ=90

•9••

222

人又|OPHOQI=a，♦•.«+«=c

2.

D

1

a=——

今/(幻=。/+xlnx,则/'(x)+lnx+l,尸(l)=ae+l=2,得e

f(V)=ae=2+bf可得6=-1.故选D.

3.

•.•直线x+y-2-0分别与轴，轴交于，两点

--..A(-2.0)j5(0.-2),则AB2、5

•.•点P在圆(x-2)2+y2-2上

二圆心为(2,0),则圆心到直线距离42'72

故点P到直线x->-2=0的距离的范围为3.3向

则SAABP；AB!d;v/2d,€[2.6]

故答案选A.

4.

C

分析：P为单位圆上一点，而直线xmy-2=0过点A(2,0),则根据几何意义得d的最

大值为0A+1.

详解：cos：0-sin：91.•••P为单位圆上一点，而直线*-my20过点A(2,0),所

以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.

5.答案：B

解析：圆一+丁2-4工-4丁一1°=°整理为5-2）2+（>-2）2=（3应）2,...圆心坐标为

（2,2）,半径为3五，要求圆上至少有三个不同的点到直线‘：”+切=°的距离为

2也,则圆心到直线的距离应小于等于五，

应A2+<）+l<0-2-V3<A<-2+V3

:.7a+b,：,bb,b,

尢=-（3[——]

b,：,2-看<k<2+J5,直线，的倾斜角的取值范围是正'12,选B.

6.答案：B

解析：对于直角坐标平面内的任意两点内孙/）乃（*2，必!），定义它们之间的一种“距

离”：I四||二同一句+[一>4①若点，在线段AB上，设C点坐标为（x。，y°）,x。在

X1、

X2之间,yo在yi、y2之间，

则MC|+||C即=1%-演|+|益-必|+|勺-*+|当-/1」々-再I+L-乃|=||幽|.

③在&4BC中，

卜。|+归抑=|%-再|+|%-必|+出-*+|1y2-％1>

|（X。-再）+（与-通）|+1仇一珀+以一九）I

小2f|+Lf|=|⑷||,.•.命题①③成立,而命题②在AA5C中,若“=90°,则

Mi+花圳=|网।；明显不成立，选民

7.答案：B

8.D

圆心为（U）,半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足

1（〃?+1）+（〃+1）-2|

---■=11//〃Z十〃、2

r,2,/77^2m+n+l=mn<（-----）

+1X+（〃+D，即2,设m^n=z,即

12

4°,解得ZK2—2A/5,或ZN2+2A/5,

9.A.

圆的方程可化为（x-2）2+V=4,易知圆心为（2,0）半径为2,圆心到点p的距离为1,

所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.

10.

m--2r=后

【分析】

本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到

其方程，将（0,〃2）代入后求得计算得解.

【详解】可知Kc=—；nAC:y+l=—；（x+2）,把（0〃：代入得加=一2,此时

r^\AC\—\/4+1

【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应

用圆的几何性质.

11.

片3x

：/=3（2x+l）e'+3（x2+x）ex=3（x2+3x+l）ex,

...结合导数的几何意义曲线在点（0,0）处的切线方程的斜率k=3,

切线方程为y=3x.

12.

（e,1）

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点A（事,y（））,则为=lnx（）.又■/=，,

x

,1

当x=x（）时，y=—,

xo

1,、

点/在曲线y=inx上切线为y—%=一（X—%），

%

即＞一垢莅=----1,

%

代入点（一4一1）,得TTn/=，-l,

即与In/=e,

考查函数"(x)=xlnx,当xe(数1)时,H(x)<0,当xe(l,+oo)时，H(x)>0,

且H'(x)=lnx+1,当x〉l时，“'(x)>O,H(x)单调递增，

注意到"(e)=e,故/In%=e存在唯一的实数根拓=e，此时为=1,

故点A的坐标为A(e,l).

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定

是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共

点.

13.

4

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】当直线咚平移到与曲线y=x+9相切位置时，切点0即为点尸到直线阵的

距离最小.

由y'=]—r=-L得x=0(—a舍)，y=3叵,

即切点。(夜,3五)，

.2IV2+3V2I

则切点0到直线空-的距离为।,」=4，

产VF7F

故答案为：4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素

养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

14.

-3

y=ae、+(ax+l)cx

则f'(0)=a+1-2

所以a-3

15.

3

分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积

求结果.

a+5

详解:设A(a,2aXa,()),则由圆心C为AB中点得c(——.a),易得

2

0C:(x-5Xx-a)+y(y-2a)=0,与y=2x联立解得点〃的横坐标x。-1所以D(1.2).所以

--a+5

AB-(5-a,-2a),CD-(l-------,2-a)，

a♦5,

由AB,CD-0得(5-aXl-------)+(-2aX2-a)-O,az-2a-3-O3-3或a=-1.

因为a>0,所以a=3.

16.4

本题考查了两曲线交点坐标的求解、两点间距离公式，考查了学生的计算能力，难度中等.

2

_./（X）

设过坐标原点的一条直线方程为依，因为与函数x的图象交于P、Q两点,

P

所以女>°,且联列解得，所以

[—,2+V2J

17.2

本题是在集合与解析几何的交汇处命题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离等

知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大。.

<JYTtn<2—

因为所以即2一，解得一〜一2,且点（2,0）到直

|2-2/n|

线x+y=2机或x+y=2机+1的距离小于等于同，即、历或

号二%同”&2+近加《0或〃壮工

,2，解得2，与2取交集得实数m的取值

-,2+72

范围是L2

4

18.3o

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

：圆（：的方程可化为：（“一4）2+产=1,.・.圆（；的圆心为（4，°）,半径为1。

...由题意，直线y=丘一2上至少存在一点A(X0,5一2),以该点为圆心，1为半

径的圆与圆c有

公共点；

存在X。eR,使得AC<1+1成立，即4cmMW2。

阳-Z|4"2|"

AJn即为点C到直线y=&x-2的距离护不，：.&+1,解得

4

0<A:<-

3O

4

的最大值是

19arctan2

设倾斜角为二，由题意可知，直线的一个方向向量为(1,2),则tana=2,

.・.a-arctan2o

20.

(I)x-y=0和27x-27y-64=0.

(ID见解析；

(III)a=—3.

【分析】

(I)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切

线方程；

(II)由题意分别证得/(x)-(x-6)20和/(x)-x<。即可证得题中的结论；

(III)由题意结合(II)中的结论分类讨论即可求得a的值.

338

【详解】(I)r(x)=—/-2x+l,令r(x)=—V-2x+l=l得x=0或者x=—.

443

当x=0时，/(0)=0,此时切线方程为丫=了，即九一丁=0；

当x=:时，/(|)=(，此时切线方程为y=x—|^，即27x—27y—64=0；

综上可得所求切线方程为％—y=0和27x—27y-64=0.

133

(II)设g(x)=/(x)-x=—/-f,g'(x)=-x2-2x,令g'(x)=—/-2%=0得

444

x=0或者x=|,所以当xe[-2,0]时，g'(x)20,g(x)为增函数；当xe(0,|)时，

Q

g'(x)<0,g(x)为减函数；当xe[§,4]时，g'(x)20,g(x)为增函数;

而g(0)=g(4)=0,所以g(x)40,即/(x)Wx；

同理令/i(x)=/(x)-％+6=!/一1+6,可求其最小值为〃(—2)=0,所以丸(x)20,

4

即/(x)2x-6,综上可得x-6K/(x)Kx.

(Ill)由(II)知一6</(x)—x<0,

所以M(a)是回,卜+6］中的较大者,

若时2卜+6|,即aW-3时，M(a)-\a\--a>3；

若同<|a+6],即。>一3时，M(a)=|a+6|=a+6>3；

所以当“⑷最小时，M(a)=3,才-3.

【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法,

分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21.

解：(1)F(x)的定义域为(0,1)U(1,+8),

12

因为广。)=盘+(.])2>0,所以/•(»在(0,1),(1,+8)单调递增.

因为/Xe)=1———<0,/伯2)=2—=

e-1e2-le2-l

所以F(x)在(1,+8)有唯一零点汨，即f(小)=0.

又0J<1,/(上)=_lnx+五|=_/(%)=0,

jq玉玉一1

1

故/'(x)在(0,1)有唯一零点一.

玉

综上，f(x)有且仅有两个零点.

(2)因为」-=eT"”,故点6(-lnx。，-)在曲线尸e'上.

/%

,玛+1

由题设知/(玉))=0,即1!!/=「■,

%oT

1%+1

--lnx0

小%)一11

故直线46的斜率女=

Tn/-//

%-1°

曲线尸e'在点6(—Inx0,—)处切线的斜率是—,曲线y=Inx在点4(朝，Inx0)处切线的

X。X。

1

斜率也是一，

%

所以曲线y=lnx在点A(x°,lnxo)处的切线也是曲线尸e『的切线.

22.

解：(I)因为f(x)=[ox2-(4〃+l)x+4a+3]e",

所以F/(x)={2ax-(4^-1)]e*+lax-(4K1)/3]eA(%£/?)

=\_ax-(25+1)x+2]e\

f'(1)=(1-a)e.

由题设知f'(1)=0,即(l-a)e=0,解得a=l.

此时f(1)=3eW0.

所以a的值为1.

(H)由(I)得F'(x)=[a*-(2a+l)A+2]ex=(ax-1)(x-2)e".

若a〉5，则当xe(L,2)0寸，f'UXO；

当xd(2,+8)时，f'(力>0.

所以7•(x)<0在卡2处取得极小值.

若aW』，则当xW(0,2)时，x-2<0.ax-1^—x-KO,

22

所以f'(x)>0.

所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知，a的取值范围是(5,+8).

23.

本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质

等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和

解决问题的能力.满分14分.

(D解.由已知，h(x)=ax-x\nah'(x)=a'Ina-Ina

令"(x)=°,解得产o.

由a>l,可知当x变化时，"(X),〃(x)的变化情况如下表：

X(-8,0)0(0,+8)

h'(x)—0+

h(x)极小值

所以函数〃（X）的单调递减区间（一8,0）,单调递增区间为（°，+8）.

（H）证明：由r（x）=a'lna,可得曲线在点区，/（%））处的切线斜率为

aX{Ina

g，（x）=----

由x\na,可得曲线丁=8（外在点（工2,8（%2））处的切线斜率为/111。.

。再In。=------

Xl2

因为这两条切线平行，故有“2In”即x2a(Ina)=1

2InIn（2

两边取以a为底的对数，得bg“W+石+21og21na=0,所以改+且“Ina

（IH）证明：曲线,=/（幻在点处的切线小y—a'=a'Tna＜x-X］）

—:—•(X-12)

y-logdx2

曲线y=g（x）在点（z，k）g"马）处的切线；2：x2Ina

I

要证明当aNee时，存在直线1,使/是曲线y=/（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切

2

线，只需证明当々Ze。时，存在%£（＜°，斗8）,马£（0,+8）,使得人和人重合.

aX]Ina=————①

x2\na

1XiXx

a-xxaIna=10gqx2———②

即只需证明当aNe。时，方程组'Ina有解,

X?——-X|（71InQ+玉d-----1--------0

由①得"'v（Ina广，代入②，得InaIna.③

I

因此，只需证明当aNee时，关于生的方程③有实数解.

/、rXI12InIn6（I

u（x）=a-xalna+x+---+--------_/、

设函数EaIna,即要证明当aNe。时，函数〉="（》）存

在零点.

u'（x）=l-（\na）2xax,可知xe（-co,0〕时，/（无）＞（）；xe（0,+oo）时，/（无）单调递

减，又

]

1

u=1-4标<0

/(0)=1>0(Ina)2

,故存在唯一的Ab，且Ab>0,使得

〃（工0A1即

1一(1110)2犷"=0

由此可得"（无）在（一2天）上单调递增，在（与，*8）上单调递减."（X）在*处取得极

大值"（/）.

因为aNee,故ln（lna）?_l,

所以

21nhia121nlna、2+21nlna八

A()

W(XQ)=a'"_XQCIIn6/+H-----F------7+/+>---------->0

\naIna九o(lna)~\na\na

下面证明存在实数t,使得

由(I)可得/Nl+xlna,

1

x>---

当Ea时，

有

/11x12InIn(2八、1121nlna

w(x)<(14-xlna)(l-x\na)+x+——+------=-(lna)2x2+x+l+——+-------

InaInaInaIna

所以存在实数t,使得〃(好<°

I

因此，当aNe。时，存在芭G(YO,+OO),使得“(％)=0.

所以，当aNee时，存在直线/,使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

24.

解：⑴由题意得尸(L°),/的方程为"k(xT)依>0)

设45，%),8(%,%),

y=k(x-l),

<

由y=4x得k-W—(2K+4)x+K=0

_2^+4

△=16公+16>0,故X+“2=公

4^2।4

IAB|=|^|+|5^|=(^+1)+(%+1)=—

所以2k'.

竺卫=8

由题设知k，,解得女=一1(舍去)，k=l

因此/的方程为丁=”一1.

(2)由(1)得46的中点坐标为(3,2),所以46的垂直平分线方程为丁一2=-(*-3),

即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(/，为),则

%=-*0+5，

3=7+'得"‘』—

因此所求圆的方程为(x-3f+(y-2)2=16或(11)2+“+6)2=144

25.解析：(1)设B(2+厂,为)，过圆心G作GO,AB于。，8C交长轴于，

由以=也得一=上，

AOAH，36-06+r

77rtD但iI21(2+r)~12—4r—r~(r—2)(r+6)

而点8(2+匕％)在椭圆上，%=1------------=---------------=-------------------⑵

161616

由⑴、(2)式得15r+8r-12=0,解得r=2或/■=—£(舍去)

35

o14

(2)设过点M(0/)与圆(x—2)2+y2=§相切的直线方程为：y—1=日⑶

则1=严+U,即32k2+36攵+5=0(4)

3VI7F

版句-9+V41.-9-V41

解得k、=---,k,=---

16-16

y32我

将⑶代入二+V=1得(16公+1)Y+32日=0,则异于零的解为x=-一一一

1616/+1

L/7hL,,八,i32勺

或,rL网不3,+l),E®&W+l),则m％=-叼,々=一直32k有,

则直线短的斜率为：小■=含最4

32婷.3.32kl、

于是直线FE的方程为：y+

16婷+1416K2+1

37

即y--X——

-43

3_1

232

则圆心(2,0)到直线FE的距离d=隼旦=—

曰3

V16

故结论成立.

26.(1)解：设C的圆心的坐标为(用丁)，由题设条件知

I\l(x+yj5)~+y2-«x-布y+丁|=4,

%22.

----y=1•

化简得L的方程为4

(2)解：过M,F的直线/方程为y=-2(x—6),将其代入L的方程得

15X2-32A/5X+84=0.

玉=坐,x,=¥，故/与L交点为7；(华，-¥),与(噌，一

解得5'1555'15

因「在线段MF外，”在线段MF内，故R町I也lRME|=2，

\\MT2\-\FT2若p不在直线MF上，在AMFP中有

||MP|-|FP||<|MF|=2.

故11AzpIT尸产U只在『点取得最大值2。

27.本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解

析几何知识解决问题的能力.

解析：（I）解法一：设AB两点坐标分别为1乙九I"1A由题设知

解得义=府=12,

所以改6,20），8（6,—2，5）或/（6,-2，5）,8（6,2诲

2「“

设圆心c的坐标为S，0）,则一3一，所以圆c的方程为

（“4）2+/=16

解法二：设儿5两点坐标分别为（孙乃），（马为），由题设知

4+火=君+只.

又因为、；=2均，近=2%可得入；+2再=X：+2工2.即

（应一工2）（再+勺+2）=0

由々＞°,弓＞0,可知五二马，故A8两点关于X轴对称，所以圆心C在X轴上.

—r,—r——r=2x—r

设c点的坐标为50）,则工点坐标为122）,于是有（2）2,解得

r=4,所以圆C的方程为（X-4）2+J=16.

（II）设NEW=2。，则

CE-CF=|CE|＜|CF卜cos2a=16cos2a=32cos2a-16

x4

cosa=----=-----

在RtZkFCE中，匹II产C|,由圆的几何性质得

|PC|<|MC|+1=7+1=8>|PC|>|MC|-1=7-1=6T

cosa《—

所以23,由此可得

-8<CS.CF<--

9.

_16

则无,方的最大值为~9,最小值为-8.

28.解析：⑴证法--W+舛烟一剪

•.停+西2=/_珂，

即就+2至5市+市2=O^-2OAOB+OS1,

整理得0403=0.

；々马+丁仍=0.........................................12分

设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则也4朋3=0.

即*_々）（\_工2）+3_珀（＞一乃）=0・

展开上式并将①代入得一+/一（々+町勿_5+为）y=0.

故线段48是圆C的直径。

证法二：寸刀+31=15一11，

（jOA+OB）2=（jOA-OB）2,

叩曲+2«方+/=/-201-08+03^,

整理得OAOB=0

:百对+丁必=0①……3分

若点（XJ）在以线段43为直径的圆上，则X-XiX—X?

去分母得*一再）。_巧）+3_/）＜＞一当）=0

点（不，必），（々J2），（今，必），（叼，乃）满足上方程,展开并将①代入得

/+y2_（毛+/）X-（必+^2）丁=0

所以线段上8是圆c的直径.

证法三：

..向+/=肉一词

；.（与+丽2=（OA-OBy,

^）0^+2OAOB+'O^=O^-2OAOB+O^,

整理得。403=0

：*2+乃乃=0

“(x—^^y+O—^^)2=%(XI-X2)2+3「%)2]

以为直径的圆的方程是22'4125”」

展开，并将①代入得/+/一(再+X?)x-31+乃»=0

所以线段是圆C的直径.

工_演+x、

2

y=211^

(H)解法一：设圆C的圆心为C(x，y),则2

XX-"2

,•10；=2Px1，*=2P外（P>0）,124/

又•••西马+丁仍=0,

••工1工2二一切乃，

22

一"=答4P2

;再演H°，尤乃。。，

y仍=-4/

24p

=48；+£+2'必)-

4P2p

=-(y2+2p2)

P

所以圆心的轨迹方程为：丁=Px-2P2

设圆心C到直线入一27=°的距离为d,则

八空

有

\-(y2+2p2)-2y\

_P

_I。-PP+PI

石p

99_24

当y=P时，d有最小值、5,由题设得.•.55

,■.P=2……14分

解法二：设圆。的圆心为C（x，»）,则

\._X1+X2

<2

>=必+为

■20©

•••W=2pxlry^=2Px.p>0）

22

xx一"

1

又•.•再今+^仍=°，

=一丁仍，

•••x/2R0…V必=一4".......9分

..工_内+向

--2

=j-Oi2*W)

4P

=+乃2+2%乃)一

4。2P

=工4+2/)

P

所以圆心得轨迹方程为/=px_2P2.......11分

2.

++设直线工一2丁+溶=°与二一2«=0的距离为5，则肉=±2

因为x_2y+2=0与1/=px—2/无公共点

所以当芯—2丁+2=0与^=_?工_2/仅有一个公共点时，该点到为一27=0的距离最

述

小，最小值为5

x-2y-2=0,

"y2=px-2p2.

将②代