商务统计学课件-参数估计

参数估计6.1参数估计的基本原理6.2总体参数的区间估计1Applied

Statistics

学习目标2参数估计的基本原理点估计与区间估计单个与两个总体参数的区间估计样本量的确定方法6.1参数估计的基本原理6.1.1点估计与区间估计6.1.2

点估计量的评价标准3Applied

Statistics4点估计与区间估计点估计

(pointestimate)5用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量区间估计

(intervalestimate)6在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限7点估计的评价标准无偏性

(unbiasedness)8无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于

被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏无偏性

(unbiasedness)9

定义

若估计量的数学期望存在，且对于任意有，则称是的无偏估计量。其中，是总体的一个样本，是包含在总体的分布中的待估参数，是的取值范围。

被称为以作为的估计的系统误差。无偏估计的实质上就是无系统误差。偏误：有效性

(efficiency)10有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)有效性

(efficiency)11

定义设与都是的无偏估计量，若有，则称较有效。最小均方误差12

问题：若估计量和的情况为：但，此时何者为优？均方误差：最小均方误差13最小均方误差14

例已知真值，估计量，如何评价这两个估计量，哪一个好一点？解：故较优。一致性

(consistency)15一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)一致性

(consistency)16

定义设为参数的估计量，若对于任意的，当时，依概率收敛于则称为一致估计量。6.2总体参数的区间估计6.2.1总体均值的区间估计6.2.2总体比例的区间估计6.2.3总体方差的区间估计6.2.4样本容量的确定17Applied

Statistics18总体均值的区间估计单个总体均值区间的一般表达式19总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要求的置信水平为1-

时，统计量分布两侧面积各为

/2的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度总体均值

在1-

置信水平下的置信区间可一般性地表达为样本均值±分位数值×样本均值的标准误差两个总体均值区间的一般表达式20两个总体均值的置信区间是由两个样本均值之差加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要求的置信水平为1-

时，统计量分布两侧面积为

/2的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度两个总体均值之差(

1-

2)在1-

置信水平下的置信区间可一般性地表达为(

x1-

x2)±分位数值×(

x1-

x2)的标准误差21总体比例的区间估计单个总体比例的区间估计

(传统方法)221. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10使用正态分布统计量z3.总体比例P在1-

置信水平下的置信区间为样本比例±分位数值×样本比例的标准误差单个总体比例的区间估计

(传统方法)23【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%单个总体比例的区间估计

(现代方法)24按照传统方法计算出来的置信水平为(1-

)的置信区间能够覆盖总体真实比例的概率小于(1-

)，既使是大样本也是如此，更不可能应用于小样本根据经验法则：传统方法要求np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10(也有些书上说大于5)对于非常大的样本，传统方法和现代方法的结果几乎相同，但对于小样本或中等样本现代方法更适用单个总体比例的区间估计

(现代方法)25通过修正试验次数n(样本量)和试验成功的比例p(样本比例)改进置信区间将试验次数n加上4，即用代替n；将试验成功的次数x加上2，即用代替p对于任意大小的样本都可以使用该方法计算置信区间只是在样本较小时，偶尔会有区间下限小于0或区间上限大于1的情况发生。此时可用0代替小于0的下限，用1代替大于1的上限单个总体比例的区间估计

(现代方法)26设总体服从二项分布，即X~B(n，p)，x为n次独立伯努利试验成功的次数，p为成功的概率定义和总体比例P在1-

置信水平下的置信区间该区间也称为Agresti-Coull区间(由AlanAgresti和BrentCoull给出，以其姓氏命名)如果下限小于0则用0代替；如果上限大于1则用1代替单个总体比例的区间估计

(现代方法)27【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：该城市下岗职工中女性比例的置信区间为47.72%~79.12%两个总体比例的区间估计

(传统方法)281. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的n1p1和n1(1-p1)，n2p2和n2(1-p2)，均应该大于102. 两个总体比例之差P1-P2在1-

置信水平下的置信区间为(p1-p2)±分位数值×(p1-p2)的标准误差两个总体比例的区间估计

(传统方法)29【例】在某个电视节目的收视率调查中，城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目；农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间两个总体比例的区间估计

(传统方法)30解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-

=95%，z/2=1.96

P1-P2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%两个总体比例的区间估计

(现代方法)31通过修正试验次数n1、n2(样本量)和试验成功的比例p1、p2(样本比例)改进置信区间将试验次数n1和n2各加上2，即用代n1，代替n2；将试验成功的次数x1和x1各加上1，即用代替p1，用代替p2对于任意大小的样本都可以使用该方法计算置信区间两个总体比例的区间估计

(现代方法)32设两总体都服从二项分布，即X1~(n1，p1)，X2~(n2，p2)。x1为n1次独立伯努利试验成功的次数，p1为成功的概率，x2为n2次独立伯努利试验成功的次数，p2为成功的概率定义，；，P1-P2在1-

置信水平下的置信区间该区间也称为Agresti-Caffo区间(由AlanAgresti和BrianCaffo给出，以其姓氏命名)如果下限小于-1则用-1代替；如果上限大于1则用1代替单个总体参数的区间估计

(小结)33两个总体参数的区间估计

(小结)3435样本容量的确定估计单个总体均值时样本量的确定36估计总体均值时样本量n为样本量n与总体方差

2、允许估计误差、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许估计误差的平方成反比与可靠性系数成正比样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等其中：允许估计误差估计单个总体均值时样本量的确定37【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，允许估计误差为400元，应抽取多大的样本量？估计单个总体均值时样本量的确定38解:已知

=2000，=400,1-

=95%，z/2=1.96

应抽取的样本量为即应抽取97人作为样本估计两个总体均值时样本量的确定39设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体均值时样本量的确定40【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班

12=90，普通班

22=120。如果要求估计的误差范围不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？English估计两个总体均值时样本量的确定41解:已知

12=90，22=120，=5,1-

=95%，z/2=1.96即应抽取33人作为样本估计单个总体比例时样本量的确定42根据比例区间估计公式可得样本量n为

的取值一般小于0.1

P未知时，可取使方差达到最大的值0.5估计单个总体比例时样本量的确定43【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求估计误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解:已知p=90%，

=0.05，z/2=1.96，

=5%

应抽取的样本量为

应抽取139个产品作为样本估计两个总体比例时样本量的确定44设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体比例时样本量的确定45【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认