《高数重修15定积分》课件

《高数重修15定积分》PPT课件contents目录定积分的概念定积分的计算定积分的应用定积分的证明习题与解答定积分的概念01定积分的定义几何意义定积分就是求曲线下面积的代数和。即由曲线、直线围成的曲边梯形面积的代数和。定义定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。定积分实际上表示一个数，记作∫(上限a下限b)f(x)dx，而这个数值称为定积分的“值”，记作∫(上限a下限b)f(x)dx=F(x)∣(上限a下限b)。性质定积分的值只与被积函数和积分的区间有关，与积分区间是否连续、被积函数是否可积无关。平面区域与其围成的面积定积分表示的是曲线与x轴所夹的面积，即曲线下的面积。曲线的“上方的面积”与“下方的面积”之差定积分表示的是曲线下方的面积与曲线上方的面积之差。特殊情况当函数图象完全在x轴上方或下方时，定积分就是该函数图象与x轴、直线x=a、x=b所围成的区域的面积。定积分的几何意义线性性质定积分的区间可加性是指，对于任意两个区间[a,b]和[b,c]，有∫(上限c下限a)f(x)dx=∫(上限c下限b)f(x)dx+∫(上限b下限a)f(x)dx。区间可加性常数倍性质定积分具有常数倍性质，即对于任意实数k，有∫(上限a下限b)k⋅f(x)dx=k⋅∫(上限a下限b)f(x)dx。定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。定积分的性质定积分的计算02微积分基本定理是定积分计算的基础，它建立了积分与微分之间的联系。总结词微积分基本定理指出，一个函数的定积分可以通过在其定义域内任选一点，求该点的函数值与该点处的导数的乘积，再求和，最后除以一个无穷小量来得到。这个定理是计算定积分的核心，因为它将复杂的积分问题转化为简单的求和问题。详细描述微积分基本定理总结词定积分的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。详细描述直接法是直接利用微积分基本定理进行计算的方法，适用于简单的函数。换元法是通过引入新的变量来简化积分计算的方法，适用于具有特定形式的函数。分部积分法是通过将两个函数的乘积的导数转化为两个函数的导数的乘积，从而简化积分计算的方法。定积分的计算方法VS通过具体的计算实例，可以加深对定积分计算的理解和掌握。详细描述在PPT课件中，可以列举几个典型的定积分计算实例，包括直接法、换元法和分部积分法的应用。通过这些实例的计算过程，可以让学生更好地理解定积分的计算方法和技巧，提高他们的计算能力和数学素养。总结词计算实例定积分的应用03曲线下面积定积分可以用来计算曲线下的面积，通过将区间分成若干小区间，再计算每个小区间的面积并求和，最后取极限得到曲线下面积。平面图形面积定积分可以用来计算平面图形的面积，例如矩形、三角形等，通过将图形分成若干小矩形或三角形，再计算每个小矩形或三角形的面积并求和得到。面积的计算定积分可以用来计算旋转体的体积，例如圆柱、圆锥等，通过将旋转体分成若干薄层，再计算每个薄层的体积并求和得到。定积分可以用来计算曲顶柱体的体积，例如圆台、球缺等，通过将曲顶柱体分成若干小柱体，再计算每个小柱体的体积并求和得到。体积的计算曲顶柱体的体积旋转体的体积变速直线运动的路程定积分可以用来计算变速直线运动的路程，通过将运动过程分成若干小段，再计算每段的位移并求和得到。功的计算定积分可以用来计算变力做功的问题，通过将力分成若干小段，再计算每段力做的功并求和得到。物理中的应用定积分的证明04微积分基本定理的证明总结词微积分基本定理是定积分的基础，其证明涉及极限、连续性和可微性的概念。详细描述微积分基本定理的证明过程需要利用极限理论，通过一系列的推导和变换，将定积分转化为一系列无穷小矩形面积的和，从而证明了定积分的存在性和计算方法。定积分的性质包括线性性质、区间可加性、不等式性质等，其证明涉及对定积分定义的深入理解。定积分的性质证明需要利用定积分的定义和积分区间的可加性，通过逐步推导和变换，证明各种性质的正确性。这些性质在后续的学习中将被广泛应用。总结词详细描述定积分性质的证明总结词重要极限是微积分中的基本概念，其证明涉及极限的运算法则和性质。要点一要点二详细描述重要极限的证明过程需要利用极限的运算法则和性质，通过逐步推导和变换，证明重要极限的存在性和计算方法。这些极限在后续的学习中将被广泛应用。重要极限的证明习题与解答05计算下列定积分$int_{0}^{1}frac{1}{sqrt{x}}dx$$int_{0}^{pi}x^2sinxdx$习题习题010203$int_{0}^{1}e^xdx$计算下列定积分$int_{0}^{2}sqrt{x}dx$习题$int_{-1}^{1}(x^2+1)dx$$int_{-1}^{1}sqrt{1-x^2}dx$$int_{-1}^{1}frac{1}{x}dx$$int_{-1}^{1}e^xdx$计算下列定积分$int_{0}^{pi}x^2sinxdx=0$$int_{0}^{1}frac{1}{sqrt{x}}dx=2$答案与解析$int_{0}^{2}sqrt{x}dx=frac{8}{3}$$int_{0}^{1}e^xdx=e^x|_{0}^{1}=e-1$答案与解析答案与解析01计算下列定积分02$int_{-1}^{1}(x^2+1)dx=frac{4}{3}$$int_{-1}^{1}frac{1}{x}dx=ln|x||