数列求通项公式的常用方法

课题：一般数列求通项公式（1）一、明确目标、自主学习掌握各种常用方法求有关数列通项公式二、合作探究、问题解决1.观察归纳法观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。2．定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为d(d>0)，∵成等比数列，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。变式练习1：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－13.公式法已知求，用公式例3.（1）数列的前项和，求；（2）数列的前项和，求。[名师点评]：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．4．由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。4．1类型1递推公式为，其中的和比较易求，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例4.（1）数列中，已知，求。（2）数列中，已知，,求此数列的通项。4．2类型2递推公式为。（1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例5.(1)已知数列满足，，求通项公式。(2)已知数列满足,且,求通项公式。（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，…，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。例6.在数列中,=1,,求数列的通项公式.解：（迭代法）数列的通项公式为()例7.已知数列，，，求。课题：一般数列求通项公式（2）一、明确目标、自主学习掌握各种常用方法求有关数列通项公式二、合作探究、问题解决4．3类型3已知形如的递推公式例8.已知数列满足=1，，求。1.待定系数法（方法1）：形如可设，求出，即构造出等比数列.2.构造法（方法2）：利用和两式相减，得到，即构造出为等比数列，再结合累加或迭代法求出。4．4类型4.取倒数法:例9.(1)变式训练：已知数列满足=2，，求。[举一反三]：—题多解：例10.已知数列，，，求。（待定系数法）：（构造法）：（迭代法）：例11.在数列中,=1,,求数列的通项公式。[解法1].(迭代法)数列的通项公式为()[解法2].(构造等差数列)两边同除以,得即又=1数列是以1为首项,1为公差的等差数列,故=数列的通项公式为()[解法3].（构造等比数列）两边同时减去，得即=即又=1