离散型随机变量的均值与方差(4类必考点)(北师大版2019选择性必修第一册)(解析版)

专题6.3离散型随机变量的均值与方差TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【基础知识梳理】 1【考点1：求离散型随机变量的均值】 1【考点2：均值的性质】 7【考点3：求离散型随机变量的方差】 11【考点4：方差的性质】 16【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，PX=6若甲一赢一平，得分5分，PX=5若甲平两局，得分4分，PX=4若甲一赢一输，得分2分，PX=2若甲一平一输，得分1分，PX=1若甲输两局，得分−2，PX=−2故E2．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)27(2)分布列见解析，数学期望E【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋”两个类型，利用组合数和古典概型公式。求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；（2）白球个数ξ的可能值为0，1，2，3，分别计算相应的概率，列出分布列，用公式求数学期望.【详解】（1）记“乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个小球中仅1个红球”；“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个球中仅1个红球”，分别记为事件A1，A2，且A1则P(A又P(A所以P(A)=P(A则从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率为2756（2）白球个数ξ的可能值为0，1，2，3.P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=则ξ的分布列为ξ0123P539277所以，E3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）用1、2、3、4个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次.(1)求所有满足条件的六位数的个数；(2)记数字1用到的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)1560(2)分布列见解析，E【分析】（1）分两种情况讨论：①一个数字用了3次，其余三个数字都只用了1次；②两个数字用了2次，其余两个数字用了1次.利用组合计数原理、倍缩法以及分类加法计数原来可求得满足条件的六位数的个数；（2）分析可知，随机变量ξ的可能取值有1、2、3，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，进一步可求得Eξ【详解】（1）解：用1、2、3、4四个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次，分成两种情况：①一个数字用了3次，其余三个数字都只用了1次，满足条件的六位数的个数为C4②两个数字用了2次，其余两个数字用了1次，满足条件的六位数的个数为C4所有满足条件的六位数的个数为480+1080=1560个.（2）解：记数字1用到的次数为ξ，ξ可能的取值为1、2、3，Pξ=1Pξ=2=C所以，ξ的分布列如下表所示：ξ123P1591∵Eξ4．（2023·山东临沂·统考一模）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．(1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%(2)采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)82(2)分布列见解析，4【分析】（1）根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为x，则成绩在x,100的概率为0.3，列出方程即可得解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望即可.【详解】（1）根据直方图可知，成绩在80,100的频率为0.025+0.010×10=0.35成绩90,100的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应该介于80,90之间，设分数线为x∈80,90，使得成绩在x,100即90−x×0.025+0.010×10=0.3可得x=82，所以获奖分数线划定为82；（2）成绩在80,90的人数有7×0.025成绩在90,100的人数为7−5=2人，则ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=Cξ的分布列为ξ012P111∴数学期望E(ξ)=0×105．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A.记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件B.(1)求PB∣A(2)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)1(2)分布列见详情；E【分析】（1）求出在抛一次后达到一号格的条件下，抛第二次飞机前移一格的概率，即可得出答案.（2）求出随机变量X的可能取值即每个变量X对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再由期望公式即可求出X的数学期望.【详解】（1）由题意，在抛一次后达到一号格的条件下，抛第二次飞机前移一格的概率为26=1（2）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，PX=0=1PX=2=1PX=4则随意变量X的分布列为：X01234P12121E6．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为2(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)15(2)分布列见解析，E(X)=【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A，所以PA所以小陈同学有机会答题的概率是1516（2）X的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以PX=0PX=5PX=10PX=15PX=20所以X的分布列为：X05101520P111151所以E(X)=0×1【考点2：均值的性质】【知识点：均值的性质】1．（2022春·江苏常州·高二校考期末）下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4D．离散型随机变量X的均值E(X)=【答案】B【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；由离散型随机变量的均值为E(X)=i=1【详解】对于A，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在0,1上，故A错误，对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，故B正确，对于C，离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=2E(X)+1=5，故C错误，对于D，离散型随机变量X的均值E(X)=i=1故D错误．故选：B．2．（2022春·黑龙江绥化·高二校考期末）设ξ的分布列如表所示，又设η=2ξ+5，则E(η)等于（

）ξ1234P1111A．76 B．176 C．173【答案】D【分析】根据分布列求出E(ξ)，再根据期望的性质计算可得.【详解】解：依题意可得E(ξ)=1×1所以E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×17故选：D．3．（2023·高三课时练习）已知X的分布列如下表所示，设Y=2X+3，则EYX－101P111【答案】7【分析】先求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.【详解】因为EX所以EY故答案为：734．（2023·全国·高二专题练习）国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则n=3），若n=4则中一等奖，n=3则中二等奖，n=2则中三等奖，n⩽1时没有奖励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券.(1)求某位顾客中一等奖的概率；(2)若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望.【答案】(1)8105(2)分布列见解析，E(X)=122【分析】（1）根据古典概型概率公式即得；（2）设一次抽奖所获奖励为Y，可得取值为20，10，5，0，然后结合排列组合知识及概率公式分别求概率进而可得分布列及期望，进而即得.【详解】（1）由题意设获一等奖的概率为P，则P=C（2）设一次抽奖所获奖励为Y，则Y的可能取值为20，10，5，0，∴P(Y=20)=P(n=4)=8P(Y=10)=P(n=3)=P(Y=5)=P(n=2)=CP(Y=0)=P(n≤1)=C所以Y的分布列为：Y201050P856392∴E(Y)=20×8因为两次抽奖相互独立，所以E(X)=2E(Y)=1225．（2023·全国·高三专题练习）某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标60,6868,7676,8484,9292,100元件甲12840337元件乙17840287(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较EX和E【答案】(1)甲为正品的概率45，乙为正品的概率(2)①81128；②【分析】(1)用元件甲和元件乙为正品的频率估计生产一件元件甲和生产一件元件乙为正品的概率；(2)①利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；②先计算生产一件甲元件的利润和生产一件乙元件的利润，再计算并比较EX和E【详解】（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为40+33+7100100件乙元件的样本中正品的频率为40+28+7100所以生产一件元件甲为正品的概率为45，生产一件元件乙为正品的概率为34（2）①设生产的5件乙元件中正品件数为x，则有次品5−x件，由题意知100x−20(5−x)≥300得到x=4,5，设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件C，则P(C)=C②设生产一件甲元件的利润为ξ，则ξ的所有取值为90,-10，则P(ξ=90)=45，所以ξ的分布列为：ξ90-10P41Eξ=90×设生产一件乙元件的利润为η，则ξ的所有取值为100,-20，则P(ξ=100)=34，所以ξ的分布列为：ξ100-20P31Eη=100×所以E(X)=E(Y)【考点3：求离散型随机变量的方差】【知识点：求离散型随机变量的方差】1．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知p1，p2∈0,1，随机变量X−101Y−101Pp11−P1−1p下列说法中正确的是（

）A．若p1<12B．若p1<C．若p2<D．若p1<【答案】AC【分析】根据期望与方差公式表示出EX、EY、DX【详解】依题意EXEY则EX又EXEY所以DXDY所以D=2对于A：因为p1<12且p2<1对于B：因为p1<p2<1即无法判断1−p1+p2对于C：因为p2<p1<所以p2−p1p对于D：因为p1<12<p2即无法判断p1+p2−1故选：AC2．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设X是一个离散型随机变量、其分布列为X012P1x2若0<x<23，则下列说法正确的是（

）A．EX有最大值 C．EX无最小值 D．D【答案】CD【分析】求得EX【详解】EX所以EX在区间0,D=1对称轴为x=52>23没有最值，B选项错误，D选项正确.故选：CD3．（2023·高二课时练习）已知随机变量ξ的取值为1、2、3，若Pξ=1与Pξ=3相等，且方差Dξ【答案】2【分析】设Pξ=1=Pξ=3【详解】设Pξ=1=Pξ=3=p，则Pξ=2=1−2p，Pξ=2故答案为：24．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p0<p<1，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差DX的最大值为______；【答案】

14；

【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解.【详解】由题意可得随机变量X的所有可能取值为0，1，并且PX=1=p，所以EX=p，所以当p=12时DX2DX当且仅当2p=1p即所以2DX−1E故答案为：14；5．（2023·高二课时练习）已知ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下：−10121−2q   【答案】Eξ=1−2【分析】根据概率分布的性质，解得q=1−22，然后根据均值与方差的计算公式求解Eξ【详解】解：由概率分布的性质，得12+1−2q从而可得Eξ=−16．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为21元/kg方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及方差DX【答案】(1)128(2)应该采用第二种方案，理由见详解(3)分布列见详解，D【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解；（2）根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；（3）先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.【详解】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则PA从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为Y，则Y∼B5,故恰好有2个水果是礼品果的概率PY=2（2）方案2：每公斤的单价为x=16×∵21>20.6，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为1,3,4,2，即4个精品果，6个非精品果，由题意可得：X的可能取值有：0,1,2,3，则有：PX=0X的分布列如下：X0123P1131则EXDX【考点4：方差的性质】【知识点：方差的性质】1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知随机变量X满足EX=−4，DXA．E1−X=−5 C．D1−X=5 【答案】BC【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案.【详解】依题意，EX=−4，所以E1−XD1−X故选：BC2．（2023·全国·高三对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若EX=1X－101P1ab【答案】5【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出a，b，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．【详解】依题意可得a+b+16=1所以DX所以D3X−2故答案为：5.3．（2022·高二课时练习）对于随机变量X，它的数学期望EX和方差D①EX是反映随机变量的平均取值；

②DX越小，说明X越集中于③EaX+b=aEX+b；【答案】①②③【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；EaX+b=aEX故答案为：①②③.4．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X的分布列如下所示．X123Pa2ba则DbX的最大值为（

）A．29 B．19 C．2【答案】D【分析】根据分布列得出a+b=12，即可代入计算出D(X)=2a，即可根据方差的运算率得出DbX，令f【详解】由题可知2a+2b=1，即a+b=1E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，D(X)=a1−2则DbX令fb则f′则fb在0,13所以fb则DbX的最大值为1故选：D.5．（2023·山西·统考一模）已知随机变量ξiξ012P1−2p其中i=1，2，若12<p1<p2<1，则（

）A．C．Eξ1>Eξ2，D【答案】B【分析】由题知ξi【详解】解：由表中数据可知ξi∴Eξi=2又∵12∴Eξ1<E∴Dξ1>D故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均