模煳数学方法漆晓均教案

1Of70模糊数学方法2Of70一、模糊集合的定义

（一）普通集合论知识：确定概念→普通集合→特征函数

1、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母A、B、C

等表示。因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。

2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母U、V、X、Y

等表示。论域中的每个对象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大学的学生}就可以成为一个论域。⑴有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。⑵无限论域：元素个数为无限个的论域。

3、论域中的子集：论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。

用A、B、

等表示。如论域U={中南大学的学生}，则A={中南大学的男学生}就是论域U中的一个集合。（二）模糊子集的定义：模糊概念→模糊集合→隶属函数给定论域

U，称A是论域

U上的模糊子集(记为Ã)：如果对x∈U，都有一个确定的数

A(x)∈[0,1]与之对应。此时，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)称为

A的隶属函数；数

A(x)称为论域U中的元素x对模糊子集A的隶属度，表示x属于A的程度。

特例：当

A(x)=0、1时，模糊子集Ã蜕化为普通集合A；

Ã的隶属函数

A(x)蜕化为A特征函数CA(x)，即

3Of70

例2-1组成一个100人的评比小组，对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是：认为商品X1“质量好”的有81人，占81%=0.81；认为商品X2“质量好”的有53人，占53%=0.53；认为商品X3“质量好”的有100人，占100%=1；认为商品X4“质量好”的有0人，占0%=0；认为商品X5“质量好”的有24人，占24%=0.24。对论域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶属度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它们确定了U中的一个模糊子集A，表示商品“质量好”这一模糊概念。

例2-2考查某商店商品销售利润的经济效益论域U=[0，k](无限论域)表示该商品销售利润额的范围，则表示商品销售利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隶属函数表示：

其中，n为同期商品销售额，m为销售利润效益最好时刻的利润率。

4Of70

例2-3取年龄为论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：

0150

100x0125

100x

若你的年龄x=30岁，则

5Of70二、模糊子集的运算：Ã仍记为

A(除非特别申明)

1.关系运算：对论域U

⑴模糊空集：对xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：对xU，均有E(x)=1⑶模糊幂集

(U)：U中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。⑷A=B：对

xU，均有A(x)=B(x)⑸A

B：对

xU，均有A(x)≤B(x)

2.并、交、余运算：对论域U

⑴并(A∪B)：设A,B(U),对

xU，则A∪B是由下列隶属函数确定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）⑵交(A∩B)：设A,B(U),对

xU，则A∩B是由下列隶属函数确定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）⑶余(Ac)：设A(U),对

xU，则Ac是由下列隶属函数确定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示

“商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

“商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。则：①表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；②表示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；③表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；6Of70例2-5年龄论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”,对应的模糊子集Y与O,隶属函数为

0150

100x0125

100x

则：表示“又老又年轻”这个模糊概念的模糊子集为O∪Y：隶属函数为

0125

100x

50x*

7Of70

3.运算性质：⑴对偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵幂等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺两极律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻还原律：(

Ac)c=A

⑼不满足互补律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽伪补律：A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥½

；A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤½

例2-6设有模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

则：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，并且其隶属度均大于1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，并且其隶属度均小于1/2

8Of70

4.几种常用的模糊算子：须同时满足对偶律、交换律、结合律、两极律⑴普通实数乘法

与最大∨算子M(

,∨)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)∨B(x)⑵普通实数乘法

与有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)⊙B(x)

其中有界和⊙：对a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通实数乘法

与概率和△算子M(

,△)：

A∩B(x)=A(x)

B(x)；A∪B(x)=A(x)△B(x)

其中概率和△：对a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界积☆与有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∩B(x)=A(x)☆B(x)；A∪B(x)=A(x)⊙B(x)

其中有界积☆：对a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7设有模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。采用算子M(☆,⊙)，得：则：A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}

9Of70三、模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广

1.模糊子集A的水平截集A

给定模糊子集A(U)，对

[0,1]，称普通集合A

={x|xU,且A(x)≥}为模糊子集A的水平截集。

即：A

由U中哪些隶属度大于或等于的元素组成，其特征函数为：1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五种商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“质量好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，进一步研究：有50%以上的人认为“质量好”，称为“合格”，则“合格”商品的集合为

A0.5={X1,X2,X3}，

=0.5

有80%以上的人认为“质量好”，称为“优良”，则“优良”商品的集合为

A0.8={X1,X3}，

=0.8

A0.5与A0.8

均是A按一定水平确定的普通子集(截集)。

10Of70

2.水平截集A

的性质

①

(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；③设

1,2[0,1]，且1≤2，则A1

A2

3.模糊子集A的核A1、支撑架SuppA、边界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；②A的支撑架SuppA

={x|A(x)＞0}

；③A的边界SuppA-A1={x|0＜A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五种商品论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，则

A的核

A1={X3}；

A的支撑架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的边界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA1111Of704.由A

生成的模糊子集设A(X)，其水平截集为A

，

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隶属函数

结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理；从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展；

A(x)xoA

U112Of70①矩形分布

②尖

分布

③正态分布

④柯西分布

⑤梯形分布

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

四、实数域上的模糊集

论域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隶属函数称为模糊分布。

13Of70模糊关系

1、模糊关系的定义

从普通集合A到普通集合B的一个模糊关系R是指：以笛卡尔积

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}为论域的一个模糊子集

R，

记作R：AB，或R∈(A×B)

其隶属函数为

R(a,b)，称为(a,b)具有模糊关系R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，则称R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

为A上的模糊关系。

例3-1设A={质量好,质量一般,质量差}，B={价格高,价格中等,价格低}是两个普通集合，则表示“质价相符”这个模糊关系R，就是笛卡尔积A×B上的一个模糊子集，其隶属函数为：

R价格高价格中等价格低质量好10.70质量一般0.810.5质量差00.6114Of70

例3-3设X，Y为两个坐标轴，则表示“x远远大于y”这个模糊关系R，就是笛卡尔积X×Y上的一个模糊子集，其隶属函数为：

0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，则x远远大于y的程度是：

例3-2设A={直线,园,椭圆,双曲线,抛物线}，则表示这五种几何图形“相似关系”

R，就是笛卡尔积A×A上的一个模糊子集，其隶属函数为：

R直线园椭圆双曲线抛物线直线100.10.20.3园010.90.50.4椭圆0.10.910.70.6双曲线0.20.50.710.8抛物线0.30.40.60.8115Of70

2模糊矩阵一、概念

当论域A、B为有限集时，模糊关系R可用矩阵表示，记为R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“质价相符”这个模糊关系的模糊矩阵为：

五种几何图形“相似”这个模糊关系的模糊矩阵为：

特例：当隶属度为0和1时，模糊矩阵变为普通矩阵。如:16Of70

二、几种特殊的模糊矩阵：①表示A×B上的“零关系”的零矩阵O：

(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A与B中任意元素之间具有关系O的程度为0。

②表示A×A上的“恒等关系”的恒等矩阵I：

(a,b)A×A，当a=b时,I(a,b)=1；当a≠b时,I(a,b)=0。即A中任意元素自己与自己具有关系I的程度为1，与其余元素具有关系I的程度为0。

③表示A×B上的“全称关系”的全矩阵E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A与B中任意元素之间具有关系E的程度均为1。

17Of70

三、模糊矩阵的运算：设有模糊矩阵R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R与S的并：R∪S=(rij∨sij)；②R与S的交：R∩S=(rij∧sij)；③R的余：Rc=(1-rij)；④R与S相等：R=S，

i,j，均有rij=sij

；⑤R包含于S：R

S，

i,j，均有rij≤sij

。

例如：

18Of70

四、模糊矩阵的运算性质：⑴幂等律：R∪R=R，R∩R=R；⑵交换律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；⑶结合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；⑹两极律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺还原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；⑼R

S

Rc

Sc

；⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩阵R的截矩阵R

：是一个普通矩阵设R=(rij)，对

[0,1]，称R

=(rij(

))为R的截矩阵。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的运算性质：⑴对

[0,1]，有R

S

R

S

；⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。19Of70

例3-4设有模糊矩阵：

则：

例3-5商品“质价相符”模糊关系的模糊矩阵为：

若参加者都认为“质价相符”,则记为100%=1；无人认为“质价相符”,则记为0%=0；有70%的人认为“质价相符”,则记为70%=0.7。而质检和物价部门确定商品“质价关系”时，把全部的人认为“质价相符”定为“完全相符”;80%以上的人认为“质价相符”定为“相符”;50%以上的人认为“质价相符”定为“基本相符”。

取

=1，0.8，0.5得截矩阵：

20Of703模糊关系的合成

1、模糊关系合成的概念：

设有论域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，则Q对R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一个由X到Z的模糊关系，其隶属函数定义为：

特例：若X=Y=Z，则对X上的一个模糊关系R，记R

R=R2

2、对有限论域，模糊关系的合成可用模糊矩阵的运算表示：设论域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，则Q对R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，并且21Of70

例3-7设有模糊矩阵：

则：

22Of703、模糊矩阵合成的运算性质：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8设有模糊矩阵：取

=0.6

则：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；⑶Rm+n=Rm

Rn

；⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

23Of70⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9设有模糊矩阵：

则:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10设有模糊矩阵：

则:

Q

R≠R

Q

24Of70

4几种常见的模糊关系

1、模糊倒置关系：

设R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊关系，其隶属函数为

R(x,y)，则RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊关系，称为R的倒置关系，其隶属函数定义为：

特例，对有限论域X、Y，模糊关系R可表示为模糊矩阵R=(rij)m×n，则RT的模糊矩阵为RT=(rji)n×m

例3-11商品“质价相符”模糊矩阵为：则商品“价质相符”模糊矩阵为：2、模糊对称关系：

设R∈(X×X)，即R是X上的模糊关系，其隶属函数为

R(x1,x2)，

若对x1,x2

X

，均满足

则称R是模糊对称关系。特例，对有限论域X，模糊关系R可表示为模糊矩阵R=(rij)m×n，若满足RT=R，则R为模糊对称矩阵。

例3-12模糊矩阵

则由RT=R，知R为模糊对称矩阵。25Of703、模糊自反关系：

设R∈(X×X)，即R是X上的模糊关系，其隶属函数为

R(x1,x2)，

若对xX

，均满足

则称R是模糊自反关系。特例，对有限论域X，模糊关系R可表示为模糊矩阵R=(rij)m×n，若R主对角线上的元素均为1，则模糊矩阵R为模糊自反矩阵。

例3-13模糊矩阵

则R为模糊自反矩阵。4、模糊相似关系：

设R∈(X×X)，即R是X上的模糊关系，其隶属函数为

R(x1,x2)，

若R既是对称关系又是自反关系，则称R是X上的模糊相似关系，其隶属函数满足：对x1,x2,xX

，均有

特例，对有限论域X，模糊关系R可表示为模糊矩阵R=(rij)m×n，若R对称且主对角线上的元素均为1，则R为模糊相似矩阵。26Of70

例3-14论域U={直线,园,椭圆,双曲线,抛物线}上的模糊矩阵因为R既是模糊对称矩阵又是模糊自反矩阵，所以R为U上五种几何图形间的模糊相似矩阵。

转置模糊矩阵运算性质：⑴(RT)T=R；⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶

R

Q

RT

QT

；⑷(RT)

=(R

)T；⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；⑹对

模糊矩阵R：R∪RT必是对称矩阵,

且R∪RT被所有包含R的对称矩阵所包含。

27Of705、模糊传递关系：⑴普通传递关系R：对x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如几何中的平行关系就普通传递关系：若ab,bcac⑵模糊传递关系R：

设R∈(X×X)，即R是X上的模糊关系，其隶属函数为

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，则称R是X上的模糊传递关系，其隶属函数满足：对x1,x2,x3

X

，均有

特例，对有限论域X，模糊关系R可表示为模糊矩阵R=(rij)n×n，其隶属度为rij

，

若RR

R(或R2

R)，则称R是X上的模糊传递矩阵，其隶属度满足：

例3-15影响企业经济效益的主要因素构成论域

U={销售额(X1),购销费用(X2),零售利润(X3)},

它们彼此影响的模糊关系矩阵为：即RR

R，所以R为模糊传递矩阵。28Of70⑶模糊关系R的截关系

R

：

设R∈(X×Y)，即R是X到Y上的模糊关系，其隶属函数为

R(x,y)，

对

[0,1]，R的截关系R

是X到Y上的普通关系，其特征函数为

特例，当X=Y时，称R

是X上的截关系。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊传递关系与普通传递关系的联系：

[定理]：设R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊关系，则：

R是模糊传递关系

对

[0,1]，R的截关系R

均是普通传递关系。29Of706、模糊等价关系：⑴普通等价关系R：若普通关系R同时具有自反性、对称性、传递性，则称R是普通等价关系。⑵模糊等价关系R：若模糊关系R同时具有自反性、对称性、传递性，则称R是模糊等价关系。特例，对有限论域，模糊等价关系R可表示为模糊等价矩阵R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊关系矩阵：为模糊自反、对称、传递矩阵。故R为模糊等价矩阵。[定理]模糊矩阵R是模糊等价矩阵

对

[0,1],R的截矩阵R

均是普通等价矩阵。30Of70模糊综合评判

1模糊综合评判数学模型及其应用一、综合评判数学模型

设有二个论域：X={X1,X2,…,Xn}表示综合评判多种因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示评语集合，

R(X×Y)，是X到Y上的模糊关系矩阵；

A是X上的模糊子集，即各评判因素的权重，则模糊变换AR=B称为综合评判数学模型。其中：B是Y上的模糊子集，即评判结果。二、综合评判步骤

1、确定R：对因素集X中各个因素，用各种可行方法分别作出对评语集Y中各个评语的单因素评判，进而得到一个实际上表示X和Y间模糊关系的模糊矩阵R。

2、确定A：对因素集X中各个因素，确定其在被评判事物中的重要程度(权重)，且权重之和为1。

3、确定B：作模糊变换B=AR，则B正好表示被评判事物在评语集Y上的综合评判结果。R输入A输出BAR=B31Of70

例4-1市场调查与销售预测时，欲知某商品受欢迎的程度。现确定顾客从质量、价格、花色、式样、包装五个方面评判该商品受欢迎的程度。取评判因素集为X={质量、价格、花色、式样、包装}，取评语集为Y={很受欢迎、较受欢迎、不大受欢迎、不受欢迎}，试就这五个因素对该商品受欢迎程度作出综合评判。

解：①确定R：对该商品进行单因素评判用随机抽样的方法，组成一个100人的有各方代表人物参加的评判小组，让他们各自独立对该商品“质量”作出独立评判，结果是：有60人表示该商品“很受欢迎”，有30人表示该商品“较受欢迎”，有10人表示该商品“不大受欢迎”，无人表示该商品“不受欢迎”。于是得：A质=(0.6，0.3，0.1，0)

同理有：A价=(0.2，0.4，0.3，0.1)A花=(0.5，0.3，0.2，0)A式=(0.4，0.3，0.2，0.1)A包=(0.1，0.2，0.4，0.3)

这样就可得模糊矩阵：32Of70②确定A：确定五项单因素在总评判中的权重经分析研究确认，对这100名代表人物，该商品受欢迎程度的五项因素中：

“质量”占30%，“价格”占25%，“花色”占20%，“式样”占20%，“包装”占5%，于是得因素权重：A=(0.3，0.25，0.2，0.2，0.05)(带主观因素，随时间、场合和对象不同而变化)

③确定B：进行综合评判，采用算子M(⊙,)，可将结果归一化

结论：对该商品，顾客表示“很受欢迎”的比重为41.5%；顾客表示“较受欢迎”的比重为32%；顾客表示“不大受欢迎”的比重为20.5%；顾客表示“不受欢迎”的比重为6%；

33Of70模糊聚类分析1普通分类(分类是硬性的，非此即彼)

一、集合的划分对集合

X的一个划分，是指把X分成若干个子集X1,X2,…,Xn，使得满足下列二个条件：①X1∪X2∪…∪Xn=X，且对

i≠j

，②Xi∩Xj=

，(i,j=1,2,…,n)

二、普通等价关系设R∈(X×X)，称R是X上一个等价关系，若R满足下列三个条件：①自反性：

x∈X，有(x,x)∈R；②对称性：

x,y∈X，若(x,y)∈R，有(y,x)∈R；③传递性：x,y∈X，若(x,y)∈R，(y,z)∈R，有(x,z)∈R。例6-1对集合(论域)X={人}，则关系R=“年龄相同”就是X上的一个普通等价关系，因为满足下列三个条件：

①自反性：任何人与自己是“年龄相同”的；②对称性：我与你年龄相同，你与我年龄也相同；③传递性：我与你年龄相同，你与他年龄相同，我与他年龄也相同。三、普通分类一个普通等价关系决定一个普通分类。34Of70一、建立X={X1,X2,…,Xn}

上的模糊关系矩阵R(叫标定)

其中rij[0,1]，表示元素Xi

与Xj

间的相似程度，i,j=,1,2,…,n，

2模糊聚类(分类是有弹性的，亦此亦彼)

方法(一).评定打分法：请专家或有经验的专业人员组成评定小组进行打分评定获得rij

。

例：组成一个100人的评比小组，对X={X1,X2,X3}上的3个元素的相似性进行评价。结果是：认为X1与X1“相似”的有100人,占100%,r11=1；认为X1与X2“相似”的有81人,占81%=1,r12=0.81；认为X1与X3“相似”的有53人,占53%,r13=0.53；认为X2与X3“相似”的有24人,占24%,r23=0.24；此时r22=1，r33=1，r21=0.81，r31=0.53，r32=0.24。从而X上的模糊关系矩阵为：35Of70

方法(二).统计指标法：一个模糊等价关系决定一个模糊分类---叫聚类。分类的集合

X={X1,X2,…,Xn}，由n个元素组成，对其中每一个元素，采用不同的m个统计指标：对元素X1

，采用统计指标x1=(x11,x12,…,x1m)；对元素X2

，采用统计指标x2=(x21,x22,…,x2m)；

…………………

对元素Xn

，采用统计指标xn=(xn1,xn2,…,xnm)；

(xij为第i个元素Xi的笫j项统计指标值)

将每个元素各项统计指标标准化：常用极值标准化公式=36Of70

经过上步标准化后的Xi

与Xj的各统计指标按下列方法中的任一种计算rij

。

1.欧氏距离法：2.数量积法：其中M是个适当选择的常数，3.夹角余弦法：37Of704.相关系数法：5.指数相似系数法：其中sk

是个适当的正常数6.最大最小法：7.算术平均最小法：8.几何平均最小法：38Of709.绝对值数法：10.绝对值倒数法：其中M是个适当的正常数，使得

0≤rij≤111.绝对值减数法：其中C是个适当的正常数，使得

0≤rij≤1

二、进行聚类

分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。39Of703模糊等价关系(矩阵)与聚类分析一、原理因为:模糊矩阵R是模糊等价矩阵对∈[0,1]，R的截矩阵R

均是普通等价矩阵。所以:可通过R

对

X上的元素进行聚类。二、定理

若水平

1,2满足0≤1≤2≤1，则按2分出的每一类必是按1分出的一类的子类。

例6-2设论域X={X1,X2,X3,X4,X5}，经过标定后得模糊关系矩阵为

易证R是X上的模糊等价矩阵，因此可从R出发对X中的元素进行模糊聚类。解：方法(一)：直接分类

40Of70②取0.85＜

≤0.9，得：按该水平，r35=r53=1，可将X3,X5

归为一类，其余元素各自成一类，共分成四类：

X={X1}∪{X2}∪{X3,X5}∪{X4}③取0.8＜

≤

0.85

，得：按该水平，r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可将X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成三类：

X={X1}∪{X2,X3,X5}∪{X4}①取0.9＜

≤1，得：可将X1,X2,X3,X4,X5

各自成一类，共分成五类：

X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}41Of70④取0.2＜

≤

0.8

，得：按该水平，r12=r21=r13=r31=r15=r51=r23=r32=r25=r52=r35=r53=1，可将X1,X2,X3,X5归为一类，其余元素各自成一类，共分成二类：

X={X1,X2,X3,X5}∪{X4}⑤取0≤

≤

0.2

，得：按该水平，可将X1,X2,X3,X4,X5归为一类，共分成一类：

X={X1,X2,X3,X4,X5}模糊聚类过程是一个动态过程，随水平由小到大，集合X的分类越来越细。

42Of704模糊相似关系(矩阵)与聚类分析一、原理经标定得的模糊关系(矩阵)R不是模糊等价关系(矩阵)，它只具备自反性和对称性，不具备传递性，即R只是模糊相似关系(矩阵)。要利用R对X中的元素进行聚类，须将R改造成模糊等价关系(矩阵)。二、定理

设R是模糊相似矩阵，进行如下复合运算：

RR2=RRR4=R2R2

……R2k=RkRk

……

若存在正整数k，使得：R2k=Rk，则R2k是模糊等价矩阵，这样:可通过R2k对

X上的元素进行聚类。

例6-4对以下五种物质进行模糊聚类，设论域X={白色乒乓球X1,面包X2,黄色排球X3,白犁X4,黄橙X5}，用评定打分法标定X上的模糊关系矩阵为：

显然R具备自反性和对称性，43Of70

由定理知R16是模糊等价矩阵，利用R16对X中的元素进行聚类，用编网法：

44Of70②取0.8＜

≤0.9

，得：X={X1,X3}∪{X2}∪{X4}∪{X5}①取0.9＜

≤1

，得：X={X1}∪{X2}∪{X3}∪{X4}∪{X5}45Of70②取0.7＜

≤

0.8

，得：

X={X1,X3}∪{X2,X5}∪{X4}③取0.6＜

≤

0.7

，得：

X={X1,X3}∪{X2,X4,X5}④取0≤

≤

0.6

，得：

X={X1,X2,X3,X4,X5}46Of70模糊模式识别

1模糊子集的内积和外积一、内积和外积的定义设A,B∈(X)，其隶属函数为

A(x),B(x)，则称：

为A与B的内积；

为A与B的外积。

例5-1A1、A2是实数域R上两个正态模糊子集，其隶属函数为：

xo1

a1a2C(小中取大，故为交点C)(大中取小，故为0)47Of70

二、有限论域内积和外积定义

设X是有限论域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，则称：

为A与B的内积；

为A与B的外积。

例5-2设A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

则A·B=(0.4∧0.1)∨(0.6∧0.7)∨(0.3∧0.5)∨(0.5∧0.2)=0.1∨0.6∨0.3∨0.2=0.6A

B=(0.4∨0.1)∧(0.6∨0.7)∧(0.3∨0.5)∧(0.5∨0.2)=0.4∧0.7∧0.5∧0.5=0.4

三、性质

1、(A·B)c=Ac

Bc

，(A

B)c=Ac

·Bc

2、对任意模糊向量A均有：A·Ac≤1/2，A

Ac≥1/248Of70

四、模糊向量的笛卡尔积设模糊向量A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，

则称A×B=ATοB为A与B的笛卡尔积(是一个模糊矩阵)。

例5-3设A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

49Of70

五、A·B与A×B

几何意义

1、A·B=AοBT：表示同一个论域X上二个模糊概念与的相关程度(模糊关系)。

A可看成是由单元素论域{

}到论域X上的模糊关系：ABT

可看成是由论域X到单元素论域{

}到上的模糊关系：BT

由模糊关系合成定义：AοBT

表示由{

}到{

}到上的模糊关系：AοBT2、A×B=ATοB：表示用两个不同论域X与Y表现同一个模糊概念时，X与Y(元素)间的转换关系。模糊概念

可看成是单元素论域{

},在论域X与Y上分别表现为模糊向量A与B：AT

可看成是由论域X到单元素论域{

}上的模糊关系：ATB可看成是由单元素论域{

}到论域Y上的模糊关系：B由模糊关系合成定义：ATοB表示X到Y上的模糊关系：ATοB50Of70

例5-4判断企业经营管理好坏，取五个评判因素构成论域X={产值、产量、费用、利润、资金周转}。在X上有“企业管理好”、“企业管理较好”、“企业管理差”三个模糊概念，分别用模糊向量表示：A=(0.7，0.9，0.8，1，0.8)，

B=(0.5，0.6，0.5，0.7，0.8)，

C=(0.1，0.2，0，0.3，0.4)。

则：①X上“企业管理好”与“企业管理较好”这两个模糊概念的相关程度是：

②X上“企业管理较好”与“企业管理差”这两个模糊概念相关程度是：

51Of70

例5-5企业“经济效益好”这个模糊概念，在论域“利润”与论域“费用”上分别表现为模糊向量：

A=(0.5，0.9，0.3，0.2)，B=(0.1，0.8，0.4)，

则：“经济效益好”这个模糊概念，在两个论域“利润”与“费用”之间的转换关系为：

52Of70

2模糊子集的贴近度一、贴近度的定义设A,B∈(X)，即A、B是论域X上的二个模糊子集，则称：为A与B的贴近度。

例5-6A1、A2是实数域R上两个正态模糊子集，其隶属函数为：

xo1

a1a2C

例5-7设A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),

B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

因为A·B=0.6，A

B=0.4

53Of70

二、贴近度的性质

1、(A,A)=1，当存在0、1隶属度时。2、(A,B)=(B,A)≥03、若ABC，即

x∈X，A(x)≤B(x)≤C(x)

则(A,C)≤(B,C)54Of70

三、贴近度的其它定义设X是有限论域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，1、2、3、

例5-8设有模糊子集A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)①、②、③、55Of703最大隶属原则和择近原则一、最大隶属原则设A1,A2,…,An∈(X)，x0∈X是论域X上的一个确定元素，

则认为x0相对隶属于模糊子集为Ai

。说明：是模式识别的直接方法，即模型是模糊的(A1,A2,…,An是模糊子集)，而被识别的对象x0是确定的，判别x0相对隶属于A1,A2,…,An中的哪一个。

例5-9由五种商品组成论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，定义商品“质量好”的模糊子集为A=(0.81，0.53，1，0，0.24)，

“质量差”的模糊子集为B=(0.05，0.21，0，0.86，0.57)

用最大隶属原则判定

A(X1)=Max{A(X1),B(X1)}，即0.81=Max{0.81,0.05}

知商品Xl相对隶属于A

，即相对隶属于“质量好”；同理知商品X2、X3相对隶属于A

，即相对隶属于“质量好”；商品X4、X5相对隶属于B

，即相对隶属于“质量差”。56Of70

例5-10识别三角形：取论域U={(A,B,C)|A+B+C=

，A≥B≥C≥0}，其中A,B,C为三角。定义以下几个模糊子集，并给出其隶属函数：

①近似等腰三角形I：

②近似直角三角形R：

③近似正三角形E：

④近似直角等腰三角形IR=I∩R：

⑤非典型三角形O=Ic∩Rc∩Ec

：

解：

57Of70

例5-11取年龄为论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：

0150

100x0125

100x

若你的年龄x=55岁，问：这个人相对来说是属于“年轻”还是“年老”?

所以这个人相对来说是属于“年老”。

58Of70

二