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文档简介
广东省广州荔湾区广雅中学2023-2024学年高考数学考前最后一卷预测卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.32.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-33.已知实数满足,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.6.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.8.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.9.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.10.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A. B. C. D.11.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.412.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.14.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.15.已知全集,,则________.16.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图,四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面.(1)求证:是的中点;(2)在上是否存在点,使二面角为直角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.19.(12分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线与直线的直角坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,求的值.20.(12分)某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的用时作了记录,得到大量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:分钟).若用时不超过(分钟),则称这个工人为优秀员工.(1)求这个样本数据的中位数和众数;(2)以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率,任意调查名工人,求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望.21.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.22.(10分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的值域为A,且,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;2、D【解析】
设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.3、A【解析】
所求的分母特征,利用变形构造,再等价变形,利用基本不等式求最值.【详解】解:因为满足,则,当且仅当时取等号,故选:.【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.4、C【解析】
先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.5、A【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、B【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.7、A【解析】
观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。8、D【解析】
建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.9、D【解析】
由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.10、D【解析】
分别求出球和圆柱的体积,然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为,则,所以圆柱的体积.又球的体积,所以球的体积与圆柱的体积的比,故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解,侧重考查数学运算的核心素养.11、D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.12、C【解析】
根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、【解析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、、依次成等比数列,则,即,,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】
利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集,,所以.故答案为:【点睛】本题考查了集合的补集运算,需理解补集的概念,属于基础题.16、2【解析】
根据为焦点,得;又求得,从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上,则又本题正确结果:【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】
(1)因为,,成等差数列,所以,由余弦定理可得,因为,所以,即,所以.(2)若B为直角,则,,由及正弦定理可得,所以,即,上式两边同时平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,与(*)矛盾,所以不存在满足为直角.18、(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)连交于可得是中点,再根据面可得进而根据中位线定理可得结果;(2)取中点,由(1)知两两垂直.以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,求出面的一个法向量,用表示面的一个法向量,由可得结果.试题解析:(1)证明:连交于,连是矩形,是中点.又面,且是面与面的交线,是的中点.(2)取中点,由(1)知两两垂直.以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为.设存在满足要求,且,则由得:,面的一个法向量为,面的一个法向量为,由,得,解得,故存在,使二面角为直角,此时.19、(1)曲线的直角坐标方程为;直线的直角坐标方程为(2)【解析】
(1)由公式可化极坐标方程为直角坐标方程,消参法可化参数方程为普通方程;(2)联立两曲线方程,解方程组得两交点坐标,从而得两点间距离.【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为(2)据解,得或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查参数方程与普通方程的互化,属于基础题.20、(1)43,47;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)根据茎叶图即可得到中位数和众数;(2)根据数据可得任取一名优秀员工的概率为,故,写出分布列即可得解.【详解】(1)中位数为,众数为.(2)被调查的名工人中优秀员工的数量,任取一名优秀员工的概率为,故,,,的分布列如下:故【点睛】此题考查根据茎叶图求众数和中位数,求离散型随机变量分布列,根据分布列求解期望,关键在于准确求解概率,若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.21、(1)(2)见解析【解析】
(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得,,又,解得,.所以,椭圆的方程为(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.设,,定点.(依题意则由韦达定理可得,,.直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.所以,,即得.又,,所以,,整理得,.从而可得,,即,所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立.特别地,当直线为轴时,也符合题意.综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.22、(1)或(2)【解析】
(1)分类讨论去绝对值即可;(2)根据条件分a<﹣3和a≥﹣3两种情况,由[﹣2,1]⊆A建立关于a的不等式,然后求出a的取值范围.【详解】(1)当a=﹣1时,f(x)=|x+1|.∵f(x)≤|2x+1|﹣1,∴当x≤﹣1时,原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2,∴x≤﹣1;当
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