相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.27相似三角形的性质(培优篇)(专项练习)

一、单选题

知识点一、运用相似三角形性质求解

1.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分

别交CD,AB于点E,F,则DE的长是()

135

A.y/sB.—C.1D.—

66

2.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃CD交

AF于点G,连接DG.给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③

PC2=PAXPB；

④当AG=6,EG=26时，BE的长为上叵，其中正确的结论个数是()

5

A.1B.2C.3D.4

3.在RSABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=8,D,E是AB和BC上的动点，连接CD,

DE贝IJCD+DE的最小值为()

16+8出16石门32

A.oERD.-------rL.----LJ.

555

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+〃?(〃?>())分别交x轴，y轴于A8两点，已知

点C的坐标为(-2,0),若。为线段OB的中点，连接AE),OC,S.ZADC=ZOAB,则"?的

值是()

A.12B.6C.8D.4

知识点二、证明相似三角形对应线段成比例

5.如图，若AABC内一点P满足NFAC=NPBA=NPCB,则称点P为4ABe的布洛卡

点.问题：已知在等腰直角三角形DEF中，NEDF=90。,若点Q为4DEF的布洛卡点，

DQ=\,贝ijEQ+FQ^()

A.5B.4C.3+72D.2+V2

6.如图，在矩形ABC。中，E是AD边的中点，BE1AC,垂足为点F,连接OF,分析下

列四个结论：①△AEFsaCAB；②CF=2AF；③FC=OC；④CD:AD=0:2.其中正确的

结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0,3),点B坐标(4,0),将点O沿直线y=+6

4

对折，点。恰好落在NOAB的平分线上的。处，则〃的值为()

c15

A.BD.—

2-?eV16

8.如图，AB〃CD,AEPFD,AE.FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的

是()

PHCH「GECG「AFHG-FHBF

A.B.-—C.----=------D.=

FHBHFDGBCECGAGAB

知识点三、利用相似三角形解决动点问题

9.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,E为AC边上的点且AE=2EC,点。在8c边上

且满足BO=DE,设BD=y,ABC=X9则y与x的函数关系式为（)

c4,5

A.y=-^+-B.y=­/+一

78102,8102

C.y=-^—x2+24

D.y=-―-x2+2

)810■810

10.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点P从点8出发以1个单位/s的速度向点A

运动，同时点。从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B,P,。为顶点的三角

形与△ABC相似时，运动时间为（）

A.帝24B.j9sC,帝24或］9sD.以上均不对

11.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AD上，且AE：ED=1：3.动点P

从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF_LPE交射线BC于点F,联结PF,设

M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（）

A.—>/10B.—>/10C.3.y2D.

12.如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE±BC

于点E,PFJ_DC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接

EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；

②AP=EF；®AH±EF；®AP2=PM«PH；⑤EF的最小值是垃.其中正确结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

知识点四、相似三角形的判定与性质

13.如图，矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC,

AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为（）

A2&口9003⑪「40

52045

14.如图，E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=-AC.连接DE,DF并

4

延长，分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则称四的值为（）

A.4B.f-C.-D.1

234

15.如图，正方形的边长为4,延长C3至E使目3=2,以£»为边在上方作正方形

EFGB,延长FG交。C于连接AM、AF,〃为AO的中点，连接切分别与A3、AM

交于点N、K.则下列结论：QMNH三AGNF；②ZAFN=/HFG；③FN=2NK；④

SMFN:SMDM=1:4.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如图，过点4（01）作》轴的垂线交直线/：y=^x于点A，过点A作直线/的垂线，交

y轴于点&,过点A作y轴的垂线交直线/于点儿，…，这样依次下去,得到，"44，

△4A46,…，其面积分别记为豆，邑，s3,则耳皿（）

A.［孚］B.（3>/3）100C.36x4"D.3^x2395

知识点五、相似三角形的综合问题

17.如图，在AABC中，。是线段AB上的点，且AD:8£）=1:2,尸是线段2c上的点，DE\\BC,

正||BA.小亮同学随机在AMC内部区域投针，则针扎到:砂（阴影）区域内的概率是

（）

1254

A.—B.—C.—D.一

39189

18.如图，正方形ABCQ和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上，顶点B,C,G

在同一条直线上.。是EG的中点，NEGC的平分线G/7过点。，交BE于点H,连接FH

交EG于点、M,连接OH.以下四个结论：©GHrBE；②XEHMsXGHF；③g=&-

CG

h④2L=2-拉，其中正确的结论是（）

、△HOG

A.①②③B,①②©C.①③④D.②③©

19.如图，在矩形ABCD中，点E是边AO上一点，过点E作EF1BC,垂足为点F,将^BEF

绕着点E逆时针旋转，使点8落在边8c上的点N处，点F落在边OC上的点例处，若点

An

M恰好是边CO的中点，那么当的值是（）

A2y/3p4A/3「5且N5A/3

3346

20.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,NDBC的角平分线BE交DC于点E,

现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为4BCE.当线段BE，和线段BC都与

线段AD相交时，设交点分别为F,G.若ABFD为等腰三角形，则线段DG长为（）

二、填空题

知识点一、运用相似三角形性质求解

21.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,ZBAD的平分线交BC于点E,

交DC的延长线于点F,BG1AE,垂足为G,BG=4及，则4CEF的周长为.

22.将三角形纸片SABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点8，折痕

为EF.已知AB=AC=3,8C=4,若以点夕，F,C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF

的长度是.

23.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE,CD的延长线相交于点F,若△ABE

的面积为1,则4BCF的面积等于—.

24.在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BDLCE,垂足为O.若

OD=2cm,OE=4cm,则线段AO的长度为cm.

知识点二、证明相似三角形对应线段成比例

25.如图，在正方形ABC。中，点£为49的中点，连接EC,过点E作E尸J_EC,交

AB于点尸，则tan/ECF=.

26.如图，在平面直角坐标系中，点A（0,1）,点B为直线y=/x上的一个动点，ZABC=

90°,BC=2AB,则OC的最小值为.

27.如图四边形ABCD中，AD=DC,ZDAB=ZACB=90°,过点D作DF_LAC,垂足为F.DF

与AB相交于E.设AB=15,BC=9,P是射线DF上的动点.当△BCP的周长最小B寸，DP

的长为

28.如图，点A，4,Ay4在射线上，点用，B2,员在射线0B上，且44〃4a〃4员，

AB,//A,B2/M4B3.若△4片与，△4坊纭的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积

之和为.

知识点三、利用相似三角形解决动点问题

29.如图，平面直角坐标系中，已知点A(8,0)和点B(0,6),点C是AB的中点，点P

在折线AOBk,直线CP截4AOB,所得的三角形与^AOB相似，那么点P的坐标是.

30.如图，在AABC中，AB=5,。为边AB上一动点，以CQ为一边作正方形8EF,当

点。从点8运动到点A时，点E运动的路径长为.

31.如图，在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点尸在边AC上，点E为边BC上

的动点，将△CEF沿直线E尸翻折，点C落在点尸处.若CF=2,则点P到48距离的最小

值为.

32.如图，正方形ABCD中，BC=2,点M是边AB的中点，连接DM,DM与AC交于点

P,点F为DM中点，点E为DC上的动点.当NDFE=45。时，则DE=.

知识点四、相似三角形的判定与性质

33.如图，在心AA8C中，ZABC=90,AB=3,BC=4,Rt^MPN,NMPN=90l点P

在4c上，PM交AB于点E,PN交BC于点,F,当PE=2PF时，AP=.

34.如图，在RfAABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,CDA.AB,垂足为。，E为BC

的中点，AE与CO交于点尸，则。尸的长为.

35.如图，在菱形ABC。中，NA£>C=60°,点E,F分别在4。，C£>上，且AE=OF,AF

与CE相交于点G,BG与4c相交于点H.下列结论:①△ACF也&CG、GHBG;

2

③若OF=2CP,则CE=7Gb；®S^ABCC=^-BG.其中正确的结论有.(只填

序号即可)

36.如图所示，AABCAEC。均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm,B、C、D三点在同

一条直线上，则下列结论正确的.(填序号)

13

@AD^BE②8E=7cm③△CFG为等边三角形④CM=^cm⑤CM平分

知识点五、相似三角形的综合问题

37.如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列

4MB31

结论：©AF1BG；②BN=-NF；(§)—=-；④S四边柩CGNF=-S㈣边彩ANGD.其中正确的结

3MG82

论的序号是.

38.如图，在RSABC中，NACB=90。，AC=8,BC=6,点E是AB边上一动点，过点E

作交AC边于点。，将NA沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处,连接FC,

当ABCF为等腰三角形时，AE的长为.

39.如图，尸是AABC内一点，过点P分别作直线平行于AABC各边，形成三个小三角形面

积分别为岳=3,$2=12,S,=27,则5AAsc=

40.在等边△ABC中，AB=5,点。为BC上一点，BD：DC=\：4.点E和点尸分别是

AB.AC边上的点，将aAEF沿EF折叠，使点A刚好落在点。处，则AF=.

三、解答题

知识点一、运用相似三角形性质求解

41.在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将4BCP沿CP折叠，得到△FCP.

(1)如图1,延长PF交AD于E,求证：EF=ED；

DF

(2)如图2,DF,CP的延长线交于点G,求下的值.

ACJ

知识点二、证明相似三角形对应线段成比例

42.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线上一点，CF=DE,

连结BE和EF,EF与CD交于点G,且NFBE=NFEB.

(1)过点F作FHLBE于点H,证明：—=—；

BHBF

(2)猜想：BE、AE、EF之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若DG=2,求AE值.

知识点三、利用相似三角形解决动点问题

43.如图，在RSABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,

均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒

2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,设移动时间为t(单位：秒，0<t<2.5).

(1)当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；

若不存在，请说明理由.

知识点四、相似三角形的判定与性质

44.如图1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,点D、E分别是边BC、AC的

中点，连接DE.将ACDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.

(1)问题发现

Ap

①当a=0。时，—=；

AE

②当a=180。时,

BD

(2)拓展探究

Ap

试判断：当HWa<360。时，黑的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

(3)问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长.

知识点五、相似三角形的综合问题

45.如图乙，△A8C和△4OE是有公共顶点的等腰直角三角形，NR4C=ND4E=90。，点

P为射线8。，CE的交点.

(1)如图甲，将AAOE绕点A旋转，当C、。、E在同一条直线上时，连接B。、BE,则

下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个.(回答直接写序号)

①BD=CE；②BD_LCE；(3)ZACE+ZDBC=45°；@BE2=2(AD2+AB2)

(2)若AB=6,AD=3,把△ADE绕点A旋转：

①当NCAE=90。时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值.

参考答案

1.D

【分析】

过F作FHLAE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF是平行四边形,

ArAn

根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相似三角形的性质得到美=矍，于是得到

AFFH

AE=AF,列方程即可得到结论.

【详解】

解：如图:

解:过F作FHLAE于H,v四边形ABCD是矩形,

AB=CD,AB〃CD,

1••AE//CF,四边形AECF是平行四边形，

AF=CE,，DE=BF,

...AF=3-DE,

AE=V4+£)E2.

/FHA=/D=/DAF=90”,

AZAFH+ZHAF=ZDAE+ZFAH=90,AZDAE=ZAFH,

△ADE~AAFH,

AE=AF,

〃+£>炉=3-DE、

•.DE。，

6

故选D.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键.

2.D

【详解】

试题解析：'JGE//DF,

：.NEGF=NDFG.

•••由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

：.NDGF=NDFG.

...GD=O凡故①正确；

：.DG=GE=DF=EF.

四边形EFCG为菱形.故②正确；

如图1所示：连接CE,交AF于点0.

•.•四边形EFDG为菱形，

：.GF±DE,OG=OF=^GF.

'：ZDOF=ZADF=90°,NOFD=NDFA,

.,.△DOF^AADF.

A—=—,即DF^FOAF.

AFDF

；FO=3GF,DF=EG,

：.EG2=^GF-AF.故③正确；

如图2所示：过点G作G”，QC,垂足为H.

'：EG2=^GF-AF,AG=6,EG=2^5,

.•.20=gFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

,:DF=GE=26AF=10,

AD=y/AF2-DF2=46.

'：GHLDC,AD1DC,

J.GH//AD.

:.丛FGHs丛FAD.

-GH=FG吗上

ADAF'147510,

:.GHqB.

o12r—

:.BE=AD-GH=4也-三小=—卮故④正确.

55

故选D.

【点拨】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、

菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用.利用相似三角形的性质得

到DF^FOAF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④

的关键.

3.D

【解析】

【分析】根据轴时称的性质，可得C的对称点C\然后过U作垂线可得CE,再根据垂线

段最短可知CD+DE最短，再利用直角三角形的性质求得CC的长，继而得知

△CC'E^AABC,利用相似三角形的对应边成比例，求出答案.

【详解】

过C作C关于AB的对称点C，，然后过C作C，E，BC,垂足为E,交AB于D,则

CE=C，D+DE=CD+DE最短，

VAC=4,BC=8

AB=4\/5

.eACBC8不

・・CF=-----------=--------

AB4

即CC=3叵

4

■:NC+NCCB=NB+NCCB=90。

ZC?=ZB

•••△CCEs/iABC

.CECC'

32

・・・C'E=—

5

【点拨】此题主要考查了最短路径问题，勾股定理，直角三角形的性质以及相似三角形的判

定与性质，注意找到D、E的位置是解题关键.

4.A

【分析】

根据“一线三等角“，通过构造相似三角形ADEC〜AAHD,对m的取值进行分析讨论即可求

出m的值.

【详解】

由已知得04=OB=m,Z.OAB=/OBA=45°,Z_ADC=45.

如图，在y轴负半轴上截取。石=OC,可得A0CE是等腰直角三角形，

NCEO=/DBA=45°.

又,:Z.CDE+Z.ADB=Z.CDE+ZDCE=135°,

：.ZADB=ZDCEf:.SABD〜NDEC,

.ABBD

，9~DE~~CEf

m

—

即-=解得加=0（舍去）或加=12的值是12.

%+22及

2

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质的知识点，解题时还需注意分类讨论的数学思

想的应用

5.D

【分析】

根据新定义得N2=N3QDQFsaFQE,运用对应边成比例即可解题.

【详解】

解：如下图，在等腰直角三角形DEF中，/EDF=90。，DE=DF,/l=/2=/3,

VZ1+ZQEF=Z3+ZDFQ=45°,

/QEF=/DFQ,

N2=N3

.,.△DQF^AFQE,

DQFQDF1

‘五'=至=国=方

：DQ=1,

；.FQ=应,EQ=2,

；.EQ+FQ=2+72

故选D.

【点拨】本题考查了新定义和三角形的相似，属于简单题，通过新定义证明三角形的相似是解

题关键.

6.C

【分析】

①证明NEAC=NACB,NABC=/AFE=90。即可得到；

ApAp1[Ap1

②由AD〃BC,推出AAEFs/XCBF,得到,由AE=；AD=；BC,得到==

BCCF22CF2

即CF=2AF；

③作DM〃EB交BC于M,交AC于N,证明DM垂直平分CF,即可证明；

In

④设AE=a,AB=b,则AD=2a,根据△BAES/\ADC,得到巳=a，即b=0a,CD:AD=

ab

血：2.

【详解】

解：①如图，过D作DM〃BE交AC于N,

:四边形ABCD是矩形,

，AD〃BC,NABC=90°,AD=BC,

VBE1AC于点F,

/.ZEAC=ZACB,/ABC=NAFE=90。,

.-.△AEF-ACAB,故①正确；

②：AD〃BC,

/.△AEF^-ACBF,

.AE_AF

"~BC~'CF'

VAE=1AD=yBC,

A171

•*----=-，即CF=2AF,

CF2

...CF=2AF,故②正确；

③作DM〃EB交BC于M,交AC于N,

：DE〃BM,BE〃DM,

•••四边形BMDE是平行四边形，

.,.BM=DE=yBC,

，BM=CM,

；.CN=NF,

；BE_LAC于点F,DM〃BE,

；.DN_LCF,

Z.DM垂直平分CF,

；.DF=DC,

而FC/DC故③错误：

④设AE=a,AB=b,则AD=2a,

由ABAE^AADC,

,即Jj=0a,CD:AD=—=^2L,

故④正确,

ab2a2

综上所述正确的是①②④,

故选c.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直

角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.

7.D

【分析】

假设宜线与/OAB的平分线交x轴点C,交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b，且直

线与AB平行，利用角平分线性质可得=g="再由平行线分线段成比例得生=隼,

CBAB5OAAB

b

即W3，解得方=9/结合图象，19利用排除法即可得到答案.

35+382o

【详解】

假设直线与NOAB的平分线交x轴点C,交y轴于D,如图：

VA(O,3),B(4,0),

3

・・・OA=3,OB=4,AB=5,且直线AB斜率等于一二，

4

3

由直线y=--x+b知OD=b,且直线与AB平行，

4

VAC平分NOAB,

.PCOA3

一瓦一花一，

・・,直线与AB平行，

.ODOC,b3

••=,卜HIJt-=,

OAAB35+3

解得6=/9

O

319

结合图象直线y=—匕的位置，b的范围为

利用排除法，

故选D.

【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选

择题的一种技巧.

8.B

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断

各个选项.

【详解】

解：VAB/7CD

.PHCH

・•丽―丽

・,・A选项正确，不符合题目要求;

VAE//DF,

.'.△CEG^ACDH,

.GE=CG

"D/7"C/7

.EGPH

**CG-CH'

VAB/7CD,

.CHDH

^~CB~~DF'

.DHDF

，eCH-CB，

・GEDF

"CG-cF,

.GECG

^~DF~~CB'

，B选项错误，符合题目要求；

VAB//CD,AE〃DF,

・・・四边形AEDF是平行四边形，

AAF=DE,

VAE/7DF,

.DEGH

，U~CE~~GC'

AF_HG

~CE=~CG；

・,・C选项正确，不符合题目要求;

VAEZ/DF,

.,.△BFH^ABAG,

.FHBF

••前一耘’

・,・D选项正确，不符合题目要求.

故选：B.

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定

理得出比例式是解此题的关键.

9.A

【分析】

过A点作△ABC的高AH,过E点作EG垂直于BC,垂足为G.RsEDG中根据勾股定理

可用x来表示EG=J10y-25,由已知可知AH=3EG,即可得到^ABC的面积ABC-X

=9同二方，通过变形即可得到答案.

【详解】

解：过A点作△ABC的高AH,过E点作EG垂直于BC,垂足为G

；.EG〃AH,

.GCCEEG

**C/7-AC-AW'

又：AE=2EC,

AGC--CH,EG--AH

33

"：AB=AC,BC=6,

；.CH=BH=3,GC=1,BG=5,

在RSEDG中，EG'+DG1=ED2,

•设BD=.y,则DG=5-y,BD=DE=y,

•*.EG=yjy2-（5-y）2=J10y-25,

；.AH=3jl0y-25

△ABC的面积SAABC=；xBCxAH=gx6x3jlOy-25=9^1Oy-25,

即：x=9jl0y-25,

故选A

【点拨】本题考查了几何动点问题，利用勾股定理找到三角形高与BD的数量关系是解题关

键.再利用三角形面积公式转化即可得到函数解析式.

10.C

【分析】

首先设ts时4ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

然后分两种情况当△BAC^ABPQ和当△BCAs^BPQ讨论.

【详解】

解：设运动时间为描则

BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

当△BACSMPQ，冷箭

当△BCASABPQ,器=翳，

t6—2f.,,..9

即Hn£=——，解z得f=£，

oo5

24Q

综上所述，当以8,P,。为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为yys或（s,

故选：C.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.

11.A

【分析】

连接BE、EM、BM,作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、

H,过D作DNLGH于点N,连接EH,过H作HKLAD,与AD的延长线交于点K,根

据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知BM=EM,说明M点在BE的垂直平分线

GH上，当M与N点重合时DM=DN的值最小，根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形

的性质和相似三角形的性质求得DN便可.

【详解】

连接BE、EM、BM,作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、

H,过D作DNLGH于点N,连接EH,过H作HKJ_AD,与AD的延长线交于点K,

；/ABC=/PEF=90。，M是PF的中点,

，无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上,

・・・M点在GH匕

当M与N点重合时，DM=DN的值最小，

设EH=x,

・・・GH是BE的垂直平分线，

・・・BH=EH=x,

.'.ZEHG=ZBHG,

VGD/7BH,

AZEHG=ZBHG=ZG,

EG=EH=x,

:ZABH=ZBAK=ZK=90°,

・•・四边形ABHK为矩形，

・・・AK=BH=x,AB=KH=6,

・・・AD=8,点E在边AD上，且AE：ED=1：3,

・・・AE=2,ED=6,

・・・EK=AK-AE=x-2,

VEH2-EK2=KH2,

Ax2-(x-2)

解得,x=10,

.".GE=x=10,

GD=EG+DE=x+6=10+6=16,

VOE/7DN,

.'.△GEO^AGDN,

.EOGE10_5

••丽一班一记一国’

8

.'.DN=-EO,

BE=>]AB2+AE2=J36+4=2>/10，

.,.EO=1BE=VW,

£W=|加,

即线段DM长的最小值为亚，

5

故选：A.

【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，

灵活运用所学的知识点进行分析是解题的关键.

12.C

【分析】

由点P为BD中点时，MC=O#MF,可得①错误；连接PC,交EF于0,由点P在BD上，

可得AP=PC,根据PFLCD,PE1BC,/BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC,

即判断②正确；利用SSS可证明△APD丝ZiCPD,可得/DAP=/DCP,由矩形的性质可得

ZOCF=ZOFC,即可证明NDAP=/0FC,可得/DAP+/AMD=/OFC+NAMD=90。，即

可判断③正确；根据平行线的性质可得NDAP=/H,可得/DCP=/H,由NHPC是公共角

可证明ACPMs^HPC,根据相似三角形的性质可得痣=塞，根据PC=AP即可判断④

PHPC

叱河，「PC—BD肘PC的僚最小，限据等腰自内件皮厂求鼻PC的最I、化为、/“

根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.

【详解】

当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0,MF,故①错误，

连接PC,交EF于0,

•.•点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，

；.AP=PC,

VPF1CD,PE1BC,ZBCF=90°,

四边形PECF是矩形，

；.EF=PC,

；.AP=EF,故②正确，

VAD=CD,AP=PC,PD=PD,

.,.△APD^ACPD,

；./DAP=NDCP,

•.•四边形PECF是矩形，

/.ZOCF=ZOFC,

AZDAP=ZOFC,

・•・ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,

/.ZFGM=90°,即AH_LEF,故③正确，

VAD//BH,

AZDAP=ZH,

VZDAP=ZDCP,

AZMCP=ZH,

VZCPH为公共角，

.'.△CPM^AHPC,

.PCPM

••f

PHPC

VAP=PC,

...APJPMWH,故④正确，

当PCLBD时，PC有最小值，PC=yBD=V2,

VPC=EF

；.EF的最小值为亚，故⑤正确，

综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，

故选C.

【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握

相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.

13.B

【分析】

过F作FH1AD于H,交ED于0,于是得到FH=AB=2,根据勾股定理得到AF=1FH+AH

=历石=2夜，根据平行线分线段成比例定理得到，0H=；AE=g,由相似三角形的性质

得到而'=而=亍=|，求得AM=：AF=^Z,根据相似三角形的性质得到绦=隹=彳，

-5o4FNB卜2

求得AN==AF=5E,即可得到结论.

55

【详解】

过F作FH±AD于H,交ED于0,则FH=AB=2.

VBF=2FC,BC=AD=3,

ABF=AH=2,FC=HD=1,

AF=dFH?+AH?=A/22+22=2夜，

VOH/7AE,

,HODH\

••——«

AEAD3

AOH=-AE=-,

33

.e.OF=FH-OH=2-

33

VAE^FO,AAAME^AFMO,

AMAE]「

-----==-33

/.FMFO5=-,.•.AM=9AF=&,

3584

VAD/7BF,.".△AND^AFNB,

.ANAD3

AAN=-AF=^,

55

.Xy|XT_XT»«_65/23\/2_9>/243生D

••MN—AAN-AAM=-------------------,故J比B.

5420

【点拨】构造相似二角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂

线

14.C

【分析】

首先证明AG：AB=CH：BC=1：3,推出GH〃AC,推出△BGHs2^BAC,可得

甘S.四Dr=百S空„A£r=(.BA)-=(,3)2,2=9(S四=1由此即可解决问题.

【详解】

・・•四边形ABCD是平行四边形

AAD=BC,DC=AB,

VAC=CA,

.'.△ADC^ACBA,

•*«SAADC=SAABC,

VAE=CF=-AC,AG〃CD,CH〃AD,

4

AAG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,

AAG：AB=CH：BC=1：3,

AGH/7AC,

.S.)c_S&BAC_(8A)2=(3)2=2

SABGHSABGHBG24

SAnr1

，

•0S^ADC―,3

-S---A-D-C-——9X1———3

S.BGH434.

故选C.

【点拨】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、

等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

15.C

【分析】

由正方形的性质可得NBAD=/C=/E=NEFB=NBGF=90。，AD//BC,继而可得四边形

CEFM是矩形，ZAGF=90°,由此可得AH=FG,再根据/NAH=NNGF,ZANH=ZGNF,

可得△ANH/ZXGNF(AAS),由此可判断①正确；由AFHAH,判断出NAFN，/AHN,即

ZAFN^ZHFG,由此可判断②错误；证明△AHK^AMFK,根据相似三角形的性质可对③

进行判断；分别求出SAANF、SAAMD的值即可对④作出判断.

【详解】

,四边形ABCD、BEFG是正方形,

ZBAD=ZC=ZE=ZEFB=ZBGF=90°,AD//BC,

二四边形CEFM是矩形，ZAGF=180°-ZBGF=90°

，FM=EC,CM=EF=2,FM//EC,

AAD//FM,DM=2,

为AD中点，AD=4,

；.AH=2,

VFG=2,

.\AH=FG,

,?ZNAH=ZNGF,ZANH=ZGNF,

•二△ANH丝△GNF(AAS),故①正确；

.'.ZNFG=ZAHN,NH=FN,AN=NG,

VAF>FG,

AAF^AH,

AZAFN^ZAHN,即NAFN#NHFG,故②错误；

VEC=BC+BE=4+2=6,

.'.FM=6,

VAD//FM,

/.△AHK^AMFK,

.FKFM_63

AFK=3HK,

VFH=FK+KH,FN=NH,FN+NH=FH,

AFN=2NK,故③正确；

VAN=NG,AG=AB-BG=4-2=2,

AAN=1,

**•SAANF=_ANFG=—x1x2=1,SAAMD=-AD-DM=—x4x2=4,

2222

•'•SAANF：SAAMD=1：4,故④正确，

故选C.

【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三

角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关内

容是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

16.D

【分析】

本题需先求出OAi和OA2的长，再根据题意得出OAn=2,把纵坐标代入解析式求得横坐标，

然后根据三角形相似的性质即可求得Sioo.

【详解】

二点4的坐标是

=1,

；点4在