高考数学考前60天冲刺50题六大解答题圆锥曲线

高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】

圆锥曲线

2

1..如图，在平面直角坐标系xQy中。椭圆。:三+产=1的右焦点为尸，右准线

为/。

(1)求到点F和直线/的距离相等的点G的轨迹方程。

(2)过点尸作直线交椭圆。于点4,8,又直线。4交/于点T,若07=204,求

线段的长；

(3)已知点M的坐标为优,为),与工0,直线OM交直线当+%y=l于点N,且

和椭圆。的一个交点为点P,是否存在实数/I,使得OP?=〃)MON?,若存在,

求出实数4;若不存在，请说明理由。

22

2.设A8分别为椭圆二+与=1(。乃〉0)的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦

ab"

距，且x=4是它的右准线，

(1)求椭圆方程；

(2)设夕为右准线上不同于点(4,0)的任一点，若直线4"、跖分别与椭圆

交于异于4、8两点风N,证明：点8在以肥为直径的圆内.

22

3.如图，已知椭圆与+[=1(4＞。＞0)的长轴为4?,过点B的直线/与X轴垂

Th

第1页共38页

直.直线(2—A)x-(1+2&)y+(1+2左)=0(左eR)所经过的定点恰好是椭圆的一个顶

点，且椭圆的离心率e=?.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P是椭圆上异于A、8的任意一点，轴，〃为垂足，延长HP到点

。使得HP=PQ,连结A。延长交直线/于点M,N为MB夕中点.试判断直线。N

M

与以AB为直径的圆。的位置关系.

N

-->

一X

4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为妇，且经

2

过点"(4,1),直线/:y=x+机交椭圆于不同的两点A,B.

(I)求椭圆的方程；

(II)求相的取值范围；

(III)若直线/不过点M,试问%也是否为定值？并说明理由。

5.已知椭圆的焦点耳(1,0),玛(-1,0),过作垂直于y轴的直线被椭圆所截

线段长为指,过耳作直线/与椭圆交于46两点.

(I)求椭圆的标准方程；

(H)是否存在实数f使胡+。6=次耳，若存在，求，的值和直线/的方程；若

不存在，说明理由.

第2页共38页

6.已知椭圆C:=+与=l(a>8>0)的离心率为工，以原点为圆心，椭圆的短半

ab~2

轴为半径的圆与直线x-y+&=0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴直

线/与椭圆C相交于A、B两点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)求Q4,03的取值范围；

(3)若B点在于x轴的对称点是E,证明：直线AE与x轴相交于定点。

7.已知椭圆r+，=1(4>。>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

角三角形，直线x-y+b=0是抛物线V=4x的一条切线.

(I)求椭圆的方程；

(II)过点S(0,-：)的动直线£交椭圆。于A.6两点.问：是否

存在一个定点T,使得以为直径的圆恒过点T?若存在，求点7坐标；

若不存在，说明理由。

V-2

8.设椭圆C:一■+丁=1(。>0)的两个焦点是耳(―c,0)和居(c,0)(c>0),且椭圆C上

a-

的点到焦点艮的最短距离为6-0.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线/:y=依+〃Z(ZNO)与椭圆C交于不同的两点M、N,线段MN垂直平

分线恒过点A(0,-1),求实数m的取值范围。

第3页共38页

->2

9.已知椭圆C:'+方=1的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点厂的最短

距离为0-1.

(I)求椭圆C的方程；

(H)过点七(2,0)且斜率为％(%>0)的直线/与C交于M、N两点，P是点

M关于x轴的对称点，证明：N、F、P三点共线.

13

10.椭圆少的中心在坐标原点0,焦点在X轴上，离心率为5.点/(1,5)、4、8

在椭圆后上，且苏1+屈=勿游(加£心.

(1)求椭圆£的方程及直线4?的斜率；

(2)当勿=—3时，证明原点。是△/8的重心，并求直线的方程.

11.已知抛物线V=4x,点M(l,0)关于y轴的对称点为N,直线/过点M交抛物

线于4,8两点.

(1)证明：直线M4,NB的斜率互为相反数；

(2)求AANB面积的最小值；

(3)当点M的坐标为(，〃,0),(加〉0且mwl).根据(1)(2)推测并回答下列问

题(不必说明理由)：

第4页共38页

22/y

12.已知椭圆E5+与=1(a>6>o)的离心率疔注，且经过点(后，1),0

ah~2|y

为坐标原点。

(I)求椭圆£的标准方程；~~〜

(II)圆。是以椭圆£的长轴为直径的圆，"是直线I冲?

x=-4在x轴上方的一点，过"作圆。的两条切线，

切点分别为只Q，当NP给60°时，求直线尸0的方程.

13.设抛物线C：/=4y的焦点为凡曲线C2与G

关于原点对称.

(I)求曲线G的方程；

(II)曲线C2上是否存在一点尸(异于原点)，过

点2作G的两条切线用，PB,切点4B,

满足I四|是|必|与|知|的等差

中项？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

14.在平面直角坐标系％。中，已知圆q：(x+3)2+(y-l)2=4和圆

22

C2:(X-4)+(^-5)=4,

(1)若直线/过点A(4,0),且被圆G截得的弦长为2屿，求直线/的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线(和

12,它们分别与圆G和圆C2相交，且直线4被圆G截得的弦长与直线4被圆C2

截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

第5页共38页

3

15.已知，椭圆C过点A(l,1),两个焦点为(-1,0),(1,0)o

(1)求椭圆C的方程；

(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如.果直线AE的斜率与AF的斜率互为相

反数，证明直线EF的斜率为定值，，并求出这个定值。

16.已知双曲线E：土一21=1的左焦点为F,左准线/与x轴的交点是圆C的圆

2412

心，圆C恰好经过坐标原点。，设G是圆C上任意一点.

(I)求圆C的方程；

(II)若直线FG与直线/交于点T,且G为线段FT的中点，求直线EG被圆C

所截得的弦长；

(HI)在平面上是否存在定点P,使得对圆C上任意的点G有些｝=」？若存在,

\GP\2

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22

椭圆C：下方=1

17.a>b>0)的左、右焦点分别为片、F2,右顶点为A,

P为椭圆C上任意一点.已知助・。巴的最大值为3,最小值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：y=foc+〃7与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右

顶点)，且以为直径的圆过点4.求证：直线/过定点，并求出该定点的

坐标.

18.已知抛物线。的顶点是椭圆片+亡=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重

43

合.

第6页共38页

(1)求抛物线。的方程；

(2)已知动直线I过点P(4,0),交抛物线。于A、8两点.

⑺若直线/的斜率为1,求A8的长；

(")是否存在垂直于x轴的直线机被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为

定值？如果存在，求出〃，的方程；如果不存在，说明理由.

19.已知圆G的方程为炉+(丁—2)2=1,定直线/的方程为y=-l.动圆C与圆

G外切，且与直线,相切.

(I)求动圆圆心C的轨迹M的方程；

(II)斜率为A的直线/与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线1

的垂线恰好经过点A(0,6),并交轨迹M于异于点P的点Q,记S为APOQ

(0为坐标原点)的面积，求S的值.

222

20.已知椭r圆=+v==1(。＞人＞0)经过点M(—,遥)，它的焦距为2,它的左、

ab2

右顶点分别为a，A2,片是该椭圆上的一个动点(非顶点)，点外是点片关于工

轴的对称点，直线A/与相交于点E.

(I)求该椭圆的标准方程.(II)求点E的轨迹方程.

21.椭圆。的中心为坐标原点。，焦点在y轴上，离心率e=乎，椭圆上的点到

焦点的最短距离为1坐直线1与y轴交于点P(0,加，与椭圆C交于相

第7页共38页

异两点4B,且AP=/lPB.

(1)求椭圆方程；

(2)若OA+XOB=40P,求加的取值范围.

22.设抛物线M方程为V=2PHp>0),其焦点为F,P(〃向(aH0)为直线y=x

与抛物线M的

一个交点，IP用=5

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点F的直线/与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否

存在一点Q,使得AQAB

为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由.

23.已知点R(-3,0),点P在y轴上，点。在x轴的正半轴上，点股在直线PQ上,

且满足2PM+3MQ=0,RP-PM=0.

(I)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程;

(11)设42,必)、为轨迹C上两点，且$>1,y>0,N(l,0),求实数2,

—*—►.16

使A3=/IAN,且AB二一.

3

7

24.如图，在AABC中，|ABHAC|=/J|=2,以B、C为焦点的椭圆恰好过AC

的中点P.

(1)求椭圆的标准方程；

第8页共38页

(2)过椭圆的右顶点4作直线/与圆E:(x-l)2+y2=2相交于〃、N两

点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出

直线/的方程；若不能，请说明理由.

25.如图所示，尸是抛物线y2=2pMp>0)的焦点，点A(4,2)为抛

物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|P4|+|「目的最小值为

8.

(1)求抛物线方程；

(2)若。为坐标原点，问是否存在定点使过点M的动直线

与抛物线交于8,C两点，且以3c为直径的圆恰过坐标原点，若

存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22

26.已知椭圆二+2=1(。乂〉0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为

ab

3+272,3-2V2o

(1)求椭圆的方程；

(2)如果直线x=9eR)与椭圆相交于AB,若C(T)，证明直线CA与

直线8。的交点K必在一条确定的双曲线上；

(3)过点Q(l,0)作直线/(与x轴不垂直)与椭圆交于M、N两点，与y轴交于

点R,若=RN=RNQ,证明：4+〃为定值。

27.已知抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过焦点F的直线1与C交于A,B两点，

0为坐标原点。

第9页共38页

(1)求。A•。8的值；(2)设A尸=2~8,求AABO的面积S的最小值;

(3)在(2)的条件下若SW石，求4的取值范围。

22

28.已知抛物线。的顶点是椭圆±+±=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重

43

合.

(1)求抛物线。的方程；

(2)已知动直线/过点P(4,0),交抛物线。于A、8两点.

(i)若直线/的斜率为1,求A8的长；

(")是否存在垂直于x轴的直线〃?被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为

定值？如果存在，求出机的方程；如果不存在，说明理由.

高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】圆锥曲线专练答案

2

1..如图，在平面直角坐标系xOy中。椭圆C:5+y2=i的右焦点为尸，右准线

为/。

(1)求到点F和直线/的距离相等的点G的轨迹方程。

(2)过点/作直线交椭圆。于点又直线交/于点T,若OT=2Q4,求

线段的长；

(3)已知点M的坐标为优，先),X0N0,直线OM交直线当+为y=l于点N,且

7

和椭圆C的一个交点为点尸，是否存在实数丸，使得OP-=2OMON?,若存在,

求出实数几；若不存在，请说明理由。

第10页共38页

解：(1)由椭圆方程为5+9=1

可得〃2=2,b2=\9c=l,

/(1,0),l:x=2.

设G(x,y),贝0由题意可矢口Ja—iy+J耳％_2|,

化简得点G的轨迹方程为V=—2尢+3...............4分

(2)由题意可知xA=xF=c=\,

X22

故将％=i代入万+y=i,

可得1%1=#，从而4?=夜..........8分

(3)假设存在实数2满足题意.

由已知得=①

%

当+%y=i②

2

椭圆ay+y2=l③

由①②解得漏=-2^--y-2%

V+2%-,/2+2%2・

由①③解得xj=/反亍2=_^y£_

年+2媪"年+2城

12分

尸2_X2+V2_

•u0r2xJ2yJ_2(xj+yj)

,,-Xp十yp-2八2十2c2-2c2‘

X。+2y0/+2yox0+2yo

OMON=xx+yv=———+―—=土

°"2年+2%\+2%2心2城•

故可得4=1满足题

意.16分

2.设46分别为椭圆=l(a,0>0)的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦

靛+F

距，且x=4是它的右准线，

(1)求椭圆方程；

(2)设尸为右准线上不同于点(4,0)的任一点，若直线力只分别与椭圆交

于异于4、8两点KN,证明：点6在以助V为直径的圆内.

第11页共38页

22

---F—=1..........................................................6分

43

(2)A(-2,0),B(2,0),令"(后,%)M在椭圆上，.・・用2=》4一七2),

又M异于A、B点，—2</<2,令P4)yP、A、M三点共线，.•.匕b=上工,

%_()x0+2

...y...P(4,-^y=(x°-2,y°),3P=(2,-^)..........

10

x0+2x0+2x0+2

分

3

2(/24)+6Xz(4/2)_205/2

6%2

BMBP=2(xn-2)+

x0+2x()+22(x0+2)

2

-2<xa<2,:.xo+2>O,20-5AQ>0BM-BP>0,.................14

分

ZPBM<90°,ZNBM>90°,5在以新V为直径的圆内

22

3.如图，已知椭圆三+斗=l(a>6>0)的长轴为加，过点8的直线/与％轴垂

ah~

直.直线(2-&)x-(1+2k)y+(1+2k)=O(keR)所经过的定点恰好是椭圆的一个顶

点，且椭圆的离心率e=g.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P是椭圆上异于4、8的任意一点，尸"，x轴，”为垂足，延长“P到点

2使得HP=PQ，连结A。延长交直线/于点M,N为的中点.试判断直线。N

y，

与以AB为直径的圆。的位置关系.

(1)将(2—&)x—(1+2左)y+(l+2C)=0整理得(一x—2y+2)左+2x-y+l=0

解方程组［―"―2丁+2=0得直线所经过的定点（0,1）,所以b=i.

2x-y+1=0

由离心率6=且得。=2.

所以椭圆的标准方程为

—+y2=1---------------------------------------------------------------------4分

4

2

（2）设尸■，先）,则年■+为』.

,HP=PQ,...•OQ=Jx；+(2y＜：)=2

二。点在以。为圆心，2为半径的的圆上.即。点在以至为直径的圆。上.……6

分

又A（-2,0）,.•.直线A。的方程为广乌1"+2）.

X八十Z

令x=2,得M2,3^.又B(2,0),N为MB的中点，,N2,3上...8分

、公+2JI%)+2,

2%%、

/.OQ=(x,2y),NQ=x-2,

000X。+2,

.•.。0.3=%(%-2)+2%.笔=%(%-2)+誓=%伉_2)+^^

X()*1/十乙I乙

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.

二OQLNQ..,.直线QN与圆。相切.

A

4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为”,且经

2

过点A/（4,l）,直线/:y=x+机交椭圆于不同的两点A,B.

第13页共38页

（I）求椭圆的方程；

（II）求，”的取值范围；

（III）若直线/不过点M,试问K是否为定值？并说明理由。

c,b_1

2分

a2a2

22

依题意设椭圆方程为:方+方=1,把点（4,1）代入，得。2=5

22

椭圆方程为二+±=1.---------------------------------4分

205

(II)把y=%+加代入椭圆方程得：5x2+8/7HX+4/??2-20=0,

由△>(),可得-5(加<5.6分

（III）设A（x,,y）,3优,必），A,B与M不重合,

4m2-20

%,+x8分

25

),|_1I乃_1=()1_1>(毛_4)+()’2_1>(为_4)

一”"A+

—4%2-4(%—4),(X2—4)

(X+〃2——4)+(九0+/T2—1),(%一4)2X|X9+(/%—5)(玉+%2)—8(〃2—1)

(X,-4)-(X2-4)(X,-4)-(JC2-4)’

二左MA+kMB为定值0--------------12分

5.已知椭圆的焦点6（1,0）,6过P（0,，作垂直于y轴的直线被椭圆所截

线段长为指，过耳作直线/与椭圆交于48两点.

（I）求椭圆的标准方程；

（H）是否存在实数"吏P4+P3=fP£,若存在，求，的值和直线/的方程；若

不存在，说明理由.

（I）设椭圆方程为「+£=1,由题意点[乎,g）在椭圆上，/=〃+]

61Y2

所以而由■+加=1,解得5+y、i............5分

第14页共38页

(H)当直线斜率不存在时，易求A1,,81,-,所以

PA=(1,^1),PS=西=(1,-1)

由PA+PB=fPK得t=2,直线/的方程为x=l.7分

当直线斜率存在时，

■Wi-g、、

所以PA=,PB=入2，%3，PR=

7乙)7

由B4+P3=/P6得

x}+x2=t%14-X2=Z

<11「即，

=1

I12222y+必-2

因为M+%=%(X+9一2),所以女

2

此时，直线/的方程为y=-g(x-l)

22

6.已知椭圆C：f++~=1(。＞人＞0)的离心率为:，以原点为圆心，椭圆的短半

轴为半径的圆与直线x-y+灰=0相切，过点P(4,0)且不垂直于X轴直

线/与椭圆C相交于A、B两点。

(1)求椭圆c的方程;

(2)求。4,03的取值范围;

(3)若B点在于x轴的对称点是E,证明：直线AE与x轴相交于定点。

a2-tr

⑴解:由题意知八？［,“哈即〃=与

a243

又/?=仆=y/i，**.a2=4,h2=3

Vl+1

2,

故椭圆的方程为f+==1

43

(2)解：由题意知直线的斜率存在,设直线用的方程为y=A(x-4)

y=k(x-4)

由尤2[得：(4k2+3)x2-32k2x+Mk2-12=0

-+r.

I43

由△=(-32公>-4(4/+3)(64公一12)>0得：k2<-

4

32k2Mk2-12

设4(用，%)，8(%，%)，则西+马=—；，X.JC,=——；①

4&2+34F+3

22

••y%=k(X]—4)々(％2-4)=kx}x2—4k(x]+/)+16公

第15页共38页

64A:2-1232k287

OA•OB=x.x+y.y=(1+X:2)----；-----4公+I6&2=25-

024K+34k2+34k2+3

••八一c1.87.8787-八4「413、

•OW/r<―,••----W--------v----,••OA•OBG[-4,—)

434^+344

...OAOB的取值范围是[T,?).

⑶证：•；8、£两点关于x轴对称，...以如一㈤

直线46的方程为y-y=2"（x-X）,令y=0得：._）信一%）又

也一乙必+x

_/M/X_4人）,y_—/k/{x-4人）,.••x—2不々-4（西+■■马）

22X1+/—8

由将①代入得：x=1，・•・直线/£与X轴交于定点（1,0）.

r22

7.已知椭圆：+忘v=1（。＞。〉0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

角三角形，直线x-y+b=0是抛物线V=4x的一条切线.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点S（0,-；）的动直线£交椭圆。于A.6两点.问：是否

存在一个定点T,使得以为直径的圆恒过点7?若存在，求点7坐标；

若不存在，说明理由。

解析：（I）由°消去y得：/+磔-4»+反=0

因直线y=x+b与抛物缗2=4%相切，.•.△=（抄一4下一4〃=0,.•"=1,

.............2分

22

•.•圆C：=+二=1（。＞6＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

ab~

角三角

2

形，：.a=B=叵故所求椭圆方程为二+V=1.

2

（II）当L与X轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，+（y+；）2=（g）2

当L与X轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1

/+(y+，

由＜解得

、=1

/+y2=1

第16页共38页

即两圆公共点（0,1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0,1）

（i）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0,1）

（ii）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx--

3

y=kx——

3

由<消去y得：（18左2+9）x2-12fct-16=0

X22

♦1

12k

*+x

2―1812+9

记点A（X|，M）.3（々,%）,则｛

-16

xx=

t2186+9

又因标=区,弘-1）,范=区,%-1）

：）（人-。

xx

所以1见•=x]x2+（必一1）（%-1）=i2+（3

2416

—（1+）用工2——+%-））4------

9

=（1+廿）.-126--]2k+3=。

181+9318左2+99

ATA1TB,

综合（i）（ii）,以AB为直径的圆恒过点T（0,1）.

2

8.设椭圆C东+V=13>0）的两个焦点是耳（_go）和鸟（c,O）（c>0）,且椭圆C上

的点到焦点F?的最短距离为6-夜.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线/:y=履+加（左wO）与椭圆C交于不同的两点M、N,线段MN垂直平

分线恒过点A（0,-1）,求实数m的取值范围。

第17页共38页

解：(I)设椭网上的点P(工y)到焦点玛90)的距离为4.

则/=(X-c)1+了2-xJ-2cx+cJ+1——x*-2ex+c'+l

(可以出接用结论).于是，《

.-.所求桶厕方程为三+y?=1.

y=kx+m,,,

,、得(3K+l)L+6加依+3(用2-1)=0(•)

fx*+3尸=3

.直线/与林M交于不同两点..•.△>0.即用2<3产十］.①

设做片,必)、N(x,.y3)，则$、x,是方程(•)的两个实数解，

、

‘♦"』=-环6mk7'•'线3段6'”7的4中点…为《乂-三3m可4？宿m工)

乂•.线段MN的垂直平分线惯过点X(0.-l)..'.AQ±MN.

即_m+3K+]=」gp2m=3*2+l(i*0)②

3mkk

由①，②得加’V2m,0<m<2.Xrti(2X!1m>—.

2

，实数m的取值范的是

22

9.已知椭圆C:=r+与=1的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点尸的最短

ab-

距离为夜-1.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点E(2,0)且斜率为左(4>0)的直线/与C交于M、N两点，P是点、

〃关于无轴的对称点，证明：N、F、P三点共线.

侬=2c

(I)由题可知：\厂.......2分

a-c=\/2-l

第18页共38页

解得a—A/2,c=1,:.b=\

椭圆C的方程为C:+y2*4=1....................4分

2

(H)设直线/：y=k{x-T),〃(七,必),N(x29y2)9.(不，-yj,尸(1,0),

y=-x-2),

由I犬得(2k2+l)x2-Sk2x+8公_2=0........6分

—+k=1,

12

所以玉+马=含7,内々=*................8分

N/C十1乙K十1

而

UUU1

FN=(x2-1,y2)=(x2-1,AX2-2k),

uu

FP=(%j-1,-)=(x,-1,-Ax,+2%),.......10分

Q(x,-1)(AX2-2攵)一(尤2—1)(一区I+2左)=^2x^-3^4-x2)+4]

24公

+4=0

2

〔2k+12k2+1/

uuuuu

：.FN//FP

N、F、P三点共线

i3

10.椭圆£的中心在坐标原点0,焦点在X轴上，离心率为5.点。（1,5）、48

在椭圆后上，且再1+屋=勿游（加£心.

（1）求椭圆£的方程及直线的斜率；

（2）当勿=-3时，证明原点。是△为6的重心，并求直线的方程.

解：⑴由e2=l-与」及±+==1解得才=4,代3,

a24a24〃

22

椭圆方程为一+J=l；...........................................2分

43

设/（公，必）、6（羯必），由西+丽=加而得

$+x2=2+m

（川+尼-2,%+%-3）=/（1,一），即“3

2俨+>2=3+］加

2222

又工+2i_=i,上_+江=1,两式相减得

4343

第19页共38页

k.乃一M_3$+/_32+m_1

6分

x,2-x,14y.+y432

刀/273+—"2

2

xt+x2=2+m

（2）由（1）知，点力（苟,为）、B（x2,y2）的坐标满足＜.3

%+>2=3+/机

?2*3

点尸的坐标为(1,—),m=~3,于是岗+1+1=3+加0,%+%+―=3+—-+—=0,

2-222

因此△为6的重心坐标为（0,0）.即原点是△为6的重心.

3I3

,.•为+尼=-1，必+%=—-,.,"6中点坐标为（——，——），..................10

224

分

2222

又上+21_=1,工+江=i,两式相减得

4343

k_）'2一）'|_3内+/-1.

工2一玉4%+为2

直线”的方程为尸23=-1上（矛+|上），即x+2户2=0.

422

11.已知抛物线y2=4x,点M（1,O）关于y轴的对称点为N,直线/过点M交抛物

线于A,8两点.

（1）证明：直线M4,N8的斜率互为相反数；

（2）求AAN8面积的最小值；

（3）当点M的坐标为（办0）,（根＞0且〃[#1）.根据（1）（2）推测并回答下列问

题（不必说明理由）：

①直线NA,NB的斜率是否互为相反数？②MNB面积的最小值是多少？

(1)设直线/的方程为y=Mx-l)(bO).

由尸,-1),可得公/-(2z2+4b+%2=0.

设A(Xi，yJ,B®,%)，则-+.=2,，=1­

二y%=-4

，N（-1,O）

%.%4y,4y

--------1---------=----------r--2------

%+1x2+1y；+4y；+4

第20页共38页

=心(及+4)+%(#+4)]=4(-4%+4%-4%+4y2)=„

(4+4)(£+4)(才+4，(只+4)

又当/垂直于x轴时，点AB关于x轴，显然除4+%=。，A附=-勉.

综上，^NA+&NB=°，力NA=~^NB'5分

(2)S4AMB=帆一%|=/(X+>2『-4)'跖="4(占+%)+8=4,1+,>4.

当/垂直于x轴时，5^=4.

，AAN8面积的最小值等于4.-----10分

(3)推测:①如=-如；

②A/WB面积的最小值为4帆布.------13分

22万

12.已知椭圆公3+与=1Ca>b>o)的离心率4在，且经过点(石，1),0

a-b22y

为坐标原点。wLlp

(I)求椭圆6的标准方程；

(II)圆。是以椭圆？的长轴为直径的圆，"是直线忆卜)~,

产一4在X轴上方的一点，过"作圆。的两条切线，

切点分别为只Q，当NA的60°时，求直线倒的方程.

22

解：(1)椭圆的标准方程为：—+^=1

84

(2)连接QM,OP,0Q,PQ和M0交于点A,

有题意可得M(-4,m),VZPMQ=60°

Z.Z0MP=30°,V\OP\=2A/2/.\OM|=4V24尸+加2=4痣，

Vm>0,：.m=4,AM(-4,4)

，直线0M的斜率K0M=-1,有MP=MQ,OP=OQ可知OM±PQ,

Kp°=1,设直线PQ的方程为y=x+n

Z0MP=30°,/.ZP0M=60°,/.Z0PA=30°,

­.OP=242:.OA=42,即0到直线PQ的距离为五,

.JI=V2n=+2（负数舍去），...PQ的方程为x-y+2=0

13.设抛物线G：/=4y的焦点为E曲线C2与G

第21页共38页

关于原点对称.

(I)求曲线C的方程；

(II)曲线C2上是否存在一点尸(异于原点)，过

点2作G的两条切线用，PB,切点4B,

满足I力6|是|必|与|必|的等差

中项？若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

(I)解；因为曲线G与G关于原点对称，又G的方程d=4y,

所以G方程为.......5分

(II)解：设P(x(p-a)，A(X1,y),8(々，必)，M.

y=；/的导数为=,则切线PA的方程y-y=；%(%-王),

又得,=/》_凹，

因点P在切线PA上,—XQ=—XjX0—yt.

同理，

2

所以直线——x0=—xQx—y经过A,B两点,

即直线A8方程为—=—xox—y,y=—xox+—x0^,

代入f=4y得d-2x()x-片=0,贝lx1=2X(),王士=一片，

所以IA81=+•J(X]+工2『-4X/2=J(8+2速),

由抛物线定义得|B4|=X+1,\FB\=y2+1.

所以|E4|+|尸8|=('+>2)+2=gxo(X|+%)+；片+2,

由题设知，|E4|+|FB|=2|AB|,即gx；+2)2=4片(8+2片)，

解得.=326-52,从而二4=13-86.

0230423

综上，存在点P满足题意，点P的坐标为

第22页共38页

，2回(8，-13)13-873.-.2回(8--13)13-8V3.

(,)(，)•

23232323

.....