大一高数期末考试题

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题

4分，共16分)

设/(x)=cosx(x+|sinx|),则在x=。处有().D

(A)m=2(B)r(°)=i(C)八°)=°(D)

/(x)不可导.

设a(x)=^~~—,/3(x)=3-3底,则当x->l时()4

1+x.3

(A)a(x)与尸(x)是同阶无穷小，但不是等价

无穷小；(B)a(x)与夕(x)是等价无穷小；

(C)a(x)是比须)高阶的无穷小；

(D)"幻是比a(x)高阶的无穷小.

若尸(%)=]>7)"辿，其中/(x)在区间上(TD二阶

可导且，(x)>。，则().

(A)函数小)必在"。处取得极大值；

(B)函数F。)必在尸。处取得极小值；

(C)娥小)在I处没有极值，但点(0,尸(0))为

曲线y="x)的拐点；

(D)缄"在“。处没有极值,点(0,F(0))也不

是曲线)”⑴的拐点。

是连续函数，且/(X)=x+21/")刃，贝U/(*)=()

/x2

(A)T(B)”(c)1(D)x+2.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

2

lim(l+3x)sinx=

x—0.

已知上空是y(x)的一个原函数，则［/(X).竺土dx=

XJX

1.至,2422冗2〃—1、

lim—(COS——FCOS1FCOS冗)=

28nnnn

Vx2arcsinx+l,

-------1----dx=

\41^

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,

共40分）

设函数》=刈由方程”+sin（町）=1确定求V（x）以

及V（O）.

求卜1一\dx.

Jx（l+x7）

x

…[xe~,x<0t-i

设/'（*）=〈,-------求[/（xMr.

y/2x—x~,0<x<1""

蛇士鹿g（x）=|/（"）口Hm3=A

设函数/（x）连续，o，且…x,A

为常数.求g'（x）并讨论心）在“。处的连续性.

求微分方程R+2,="皿x满足，⑴=1的解.

四、解答题（本大题10分）

已知上半平面内一曲线y=j(x)(x>0)?过点。D,

且曲线上任一点”(无0，%)处切线斜率数值上等

于此曲线与'轴、y轴、直线X"，所围成面积

的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题(本大题10分)

过坐标原点作曲线广心的切线，该切线与

曲线kinx及X轴围成平面图形D.

求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转

一周所得旋转体的体积V.

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分,

共8分)

设函数/⑺在［。』上连续且单调递减，证明对

g1

在土S1011\fCx)dx>q\f(x)d.

任尽的"。1］，00.

设函数，⑺在［。㈤上连续，且口=

n

J""）"".-.证明：在（。㈤内至少存在两个不

同的点=2，使/（1—・（提示：设

X

尸（X）=J/（x）Jx

。）

一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4

分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,

共16分）

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,

共40分）

解：方程两边求导

ex+y(l+y')+cos(盯)(W+y)=0

x+y+jcos(xy)

y(x)=——

ex+y+xcos(xy)

x=o,y=o,y(o)=-i

解：u=x1lx6dx-du

2

原式)du

=y(lnIwI-21nIw+ll)+c

=—InIx71—In11+x,71+C

77

解：£f(x)dx=xe~xdx+£^2x-x2dx

=£xd(-e-x)+[2dx

=[-工尸-e"]；+f%cos20dO(令-1=sin0)

解：由八。）=。,知g（o）=。。

X

g(x)=\f(xt)dt=------------

0X(X。o)

xf(x)-jf(u)du

8，(X)=---岁---(X?t0)

J/（N）dN

g'®=理丁=:吧密=5

xf(x)-jf(u)du

limgr(x)=lim---------------------=A=—，/、、出

…。5x222,g(x)在x=0处连

续。

解：铝

-f-drff—dr

y=eix(Je」*Inxdr+C)

v（l）=--,C=0j=—xlnx-—x

9,39

四、解答题（本大题10分）

解：由已知且，旬；加+1

将此方程关于,求导得，"=2"，

特征方程：「2__2=0解出特征根：0=T，「2=2.

x2

其通解为y=Cie-+C2e^

c2cl

代入初始条件＞（。）="。）=1,得1=352=3

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

解：（1）根据题意，先设切点为（小叫），切

心士力J-lnx=—（x-x）

我力在：0”。0

由于切线过原点，解出“。=一从而切线方程

为：心

11

则平面图形面积f=L

（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体

积记为VI,贝『V"

曲线y=lnx与x轴及直线X=0所围成的图形

绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1

y2

V2=j^(e-e)dy

0

D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

2

V=V,-V2=^(5e-12e+3)

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分,

共12分)

q1qqi

、〒口ff(x)dx-qf/(x)d=jf(x)dx-q(jf(x)dx+jf(x)d>

证明：。。。。"

41

=(1-q)J/(x)dx-qJ7(x)d

oq

备40闯]幺gg,l]/(^)>/(^2)

=q(l_q)/©)—20

故有：

41

jf(x)dx>qff(x)d.

00证毕。

证：构造辅助函数："上W辿，°-。其满

足在［。㈤上连续，在(0,^)上可导。b(x)=/(*),且

尸(0)=［3)=0

由题设，有

nnn

0=J/(x)cosx<Zx=JcosxJF(x)=F(x)cosx|+Jsinx•F(x)rfx

000,

n

有『x)sinS=0,由积分中值定理，存在2。,叫

使尸(4)sin”0即产©)=0

综上可知F(0)=F(^)=F(^)=0,4€(0,乃).在区间［0看］,修,力］

上分别应用罗尔定理，知存在

G(og)和”C，万),使/名)=0及尸(切=0,即

/©)=fg)=o.高等数学I解答

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中)

(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

当Xf/时，a(x),/?(x)都是无穷小，则当3%时

(D)不一定是无穷小.

(A)|。(”+忸(”(B)<z2(x)+夕2(x)

4(X)

ln[l+a(x)•P(x)](D)0(x)

1

[sinxx-a

极限网sina的值是(C).

(A)1(B)(C)ecota

(D)

sinx+e2s-]

XHO

/(1)=<无

ax=0在x=0处连续,则a

(D).

(A)1(B)0(C)

(D)—1

于(a+h)—f(a—2h)

设“x)在点』处可导，那么照h

(A).

(A)3/伍)(B)2/⑷

(C)/⑷(D)；八")

二、姆题峰大题有4小题，每小题4分,

共16分)

..\n(x+a)-lna/八、1

极限物一;一(八°)的值是«.

由exy+ylnx=cos2x确定函数y(x),则导函数六

2sin2x+，+ye盯

___________x______

xexy+lux.

直线/过点M(1,2,3)且与两平面x+2y-z=0,2x-3y+5z=6

都平行，则直线/的方程为

x-1y-2z-3

]--1-一1

求函数y-2x-ln(4x)2的单调递增区间为(一

,0)和(1,+)・

三、解答题(本大题有4小题，每小题8分,

共32分)

..(l+x)x-e

计算极限飕.

2—In(l+jc)-l

(1+x尸一eex-1ln(1+x)-xe

lim---------=ehmchm-----；----二—

用牛•i°xX10厂2

已知：＞1=3,1^1=269ab=3O,求।万x5l。

cos0=@,sin6=71-cos20=—..

解：同W1313,I万x%72

X

设/⑴在®b］上连续，且…卜-怵…的］

试求出小)。

XX

3F(x)=x「(f)d-JV⑺df

解：""

XX

F'(x)=\f^dt+xfM-xf(x)=

F"(x)=/(x)

'cosX.

x-；———dx,

求sinx

rcosx.lr,.-2

解：卜5二一2何加x

=--xsin_2x+—fsin-2xd=-ixsin-2x--cotx+C

22J22

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分,

共32分）

产力.亏

=p=arcsint?冗

2罚一7

2x

求函数"门的极值与拐点.

解：函数的定义域（一，+）

—

f2(1—x)(l+x)"-4x(3)

令y=o得x1=1,x2=-1

y〃⑴<0X1=1是极大值点，/<-D>°X2=-1>

极小值点

极大值y⑴=1,极小值y(T)=-i

令y"=o得x3=0,x4=8,x5=-6

X（■广百）GQ0)（0,百）(Q+)

——

y"++

V373

故拐点（・£,・3）,（0,0）（3T）

%3___

求由曲线＞彳与＞=3x4所围成的平面图形的

面积.

x3

解:2—=3x-x2,x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,x,=-6,x2=0,X3-2.

sN+((3x-x2-^-)dx

3o34

-(/3/X、|0/32xX、|2

+——)A+(一％--------)

1623W231610

45+2-=47-

33

设抛物线y=43上有两点4-l,3),8(3,-5),在弧A

B±,求一点P(x,y)使的面积最大.

解:

AB连线方程：y+2x—l=0\AB\=445

点P到AB的距离包卑二1i—x~+2x+3

(-l<x<3)

~7T

AA8P的面积

2

S(x)=--4V5-t+][+3=2(_x+2x+3)

2V5

S，(x)=4c+4当尤=1S'(x)=0

S"(x)=-4<0

当x=1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y=3所求点为(1,3)

另解：由于A48C的底力B一定，故只要高最大而过C点的抛物线

的切线与AB平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x0,4-x；)

，使/"'(/)=-2%=-5—%+1=_2,解得％=1,所求C点为(1,3)

六、证明题(本大题4分)

2x

设x>0,试证eX)<\+xu

证明：设fM=e2x(l-x)-(l+x),x>0

2x

f'M=e2v(1—2x)—1,/"(x)=-4xe,

x>0,广(x)40,因此广(X)在(0,+)内递减。

4^(0,+)内，/(X)〈尸(。)=。，/(X)在(0,+)

内递减，

在(0,+)内，/(x)</(O),即e2\l-x)-(l+x)<0

2t

亦即当X>0时，e(l-x)<l+xo

高等数学IA

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中)

(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

函数

‘蛇"X>1

x-i

71

/(x)=<tan^x,0<x<1

x4-sinx,x<0

I的全体连续点的集合是

()

(A)(-00,+co)(B)(…,1)u(1,+

co)

(C)(-00,0)U(o,+8)(D)(-oo,0)U

(04)u(1,+8)

X24-1

设㈣-9。)=。，则常数a,b的值所组成的数

组(a,b)为()

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,

1)(D)(1,-1)

设在［0,1］上/⑺二阶可导且，(x)>。，则

()

(A)//(o)</,(i)</(i)-/(o)(B)

/((0)</(1)-/(0)</，(1)

(C)/，(1)</，(0)</(1)-/(0)(D)/⑴-/⑼(/⑴</'(0)

nnIT

~2•42~2

〜rSinXCOSX...C..34、」nf/2•34、」

M=I-2——dx,N=I(sinx+cosx)axP=|(xsin尤-cosx)ax

「Xq3则

()

(A)M<N<P(B)P<N<M

(C)P<M<N(D)N<M<P

填空题（本大题有4小题，每小题4分,

共16分）

设x>ld(x2arctany/x-1)=

(

)

设^f(x)dx=sinx+c,则]7伙幻公=

(

)

x-4y=z-5

直线方程。n6+p,与xoy平面，yoz平面

都平行，

那么m,n,p的值各为

（）

触中二（

)

三解答题（本大题有3小题，每小题8分,

共24分）

计算

pcosl,尤>0

f（x）=<X

设LX"。试讨论小）的可导性，并在可

导处求出《）

设函数y=/（x）在（-oo,+8）连续在x0时二阶可导,

且其导函数尸⑴的图形如图所示，给出

小）的极大值点、极小值点以及曲线”小）的拐

四解答题（本大题有4小题，每小题9分,

共36分）

___r.x+2.2dx

求不定积分J（=）工

e

j|lnx|dx

计算定积分：

,xyz-1,x-\y-2z-3

已知直线L片丁亍4丁=/="，求过直线

II且平行于直线12的平面方程。

过原点的抛物线丫=一及y=O,x=l所围成的平

81

面图形绕X轴一周的体积为丁，确定抛物线

方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成

的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分,

共8分）

设FM=（x-l）2/W,其中/（X）在区间［1,2］上二阶可

导且有“2）=。,试证明存在4（1<*2）博尸《）=。。

f(x)=^t-t2)sin2ntdt(x>0)

0

求"X)的最大值点；

证明：-(2〃+2)(2〃+3)

一、单项选择题BDBC.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分,

共16分)

x].____

一(-/+4HrctanNx-1)dx

dy—2Jv-1.

pYl7t.Y171

"5)_Icos(xd)dx=sin(xH----)+c

J22.

m=2,p=-6,"w0.

]("1)

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分,

共24分）

1-±)

（8分）计算极限呼sin2x

22

1、「x-sinx

2—T)=hm——.2—

解：蚓sinxx厂sinx

九一sinxx+sinx

lim

A->0x)x

1-cosx1

=2lim-------=—

1。3x3

x2cos—1,x>0

fM=­X

XX

(8分)设-°,试讨论f（x）的可导性,

并在可导处求出八x）.

当x〉0,r(x)=2xcos-+sin-

x<0,r(x)=l

解:XX；当

21

Axcos----0

X=0f'(O)=lim------至一=0f_'(0)=lim=1

以f0+AxAD-A%

c1.1c

2尤cos—+sin—x>0

:（x）=<xx

故f（x）在x=0处不可导。1x<0

(8分)设函数U)在E+OO)连续，在"0时二阶

可导，且其导函数尸⑺的图形如图.给出/⑺的

极大值点、极小值点以及曲线y"幻的拐点.

解：极大值点："=门="极小值点：x=>

拐点(O,/(O)),(c,/(c))

四解答题(本大题有4小题，每小题9分,

共36分)

「。一2)2,

(9分)求不定积分匕中失

解：原式J'》占十言"

_41n|x|---------31n|x-l|+c

(9分)计算定积分可gg.

解：原式/…即gm

=[-(xlnx-x)]'4-[xlnx-x]^

e

二2二

e

・44…%丁z-l,x-1y-2z—3

(9分)已知直线7=5=亍，2丁='=丁，求过

直线11且平行于直线12的平面方程.

解：»=?,X?2=(1,2,3)X(2,5,4)=(-7,2,1)

取直线11上一点M1(O,O,1)于是所求

平面方程为

-7x+2y+(z-l)=0

(9分)过原点的抛物线”一(。＞。)及y=0,

x=l所围成的平面图形绕x轴一周的体积为

81

丁.求a,并求该抛物线绕y轴一周所成的

旋转体体积.

151

rna2

V=j^r(ax2)2dx-na1一_

解：°5°5

兀a181万

由已知得了=可故a=9抛物线为…=9/

绕y轴一周所成的旋转体体积：

L丫41g

V=J2^x-9X2JX=18%—=—冗

o402

五综合题(每小题4分，共8分)

(4分)设F(x)=(x-l)2/«,其中小)在区间［1,2］上二

阶可导且有八2)=0.证明：存在4(y<2)W

尸4)=0。

证明：由小)在［1,2］上二阶可导，故F(x)

在［1,2］二阶可导,因f(2)=0,故F(1)=F(2)

=0

在［1,2］上用罗尔定理，至少有一点/，(…。<2)

使FOo)=0

尸(x)=2(x-l)/(x)+(x-f'M得尸'⑴=0

在［1,xO］上对9用罗尔定理，至少有点

K<x°<2）尸"0=0

(4分).

解：(1)E为小)的最大值点。

,22z22ff

/(x)=(x-x)sin"x)当0<x<l,/(x)=(x-x)sinx>0.当x>l,

f22n

f(x)=(x-x)sinx<0Q/⑴为极大值，也为最大值。

22,i

(2)/(x)=£(r-r)sin^</(l)

f(i)=^t-r)sin2ntdt<]

(2〃+2)(2十+3)

高等数学上B(07)解答

填空题：(共24分，每小题4分)

dy_

X,y=sin[sin(x2)],贝(j~dx~2xcos[sin(x2)]cosx20

2.已知a=1

f|lnx|Jx=2--

J.eeo

4.yy过原点的切线方程为y=ex。

r/'(lnx),

5.已知〃x)=*贝川丁々』+,。

_39

6.。=2,b=2

时，点（i，3）是曲线＞=，+八的拐点。

二、计算下列各题：（共36分,每小题6分）

1.求y=（sinx）x的导数。

解：y=(e^vinsinxy=^cosxinsinx(_而xInsinx+cotxcosx)

2.求JsinInxdx

.jsinInxdx=xsinlnx-jcosInxdx

=xsinlnx-xcosInx-sinlnx^Zr

=—(xsinlnx-xcosInx)+C

3.求吐之

2

=Vx-i+51nIx+Jf—1|+c

f(x)=NX-°

4.设"+L、<。在点x=。处可导，贝!h为

何值？

x

痴/.(0)=lrim-=hvmxki

：I。-X2。-

ex-1

/：(0)=lim——=1

x->0+1

k=l

...1]1

5.求极限坦J/+F+J/+22++j，+〃2

解:

lim(-.—.......+-/-H-----F-1■)

…新+F7n2+22J〃2+〃2

=显7二

=ln(x+Vl+x2)l[=ln(l+0)

Jx+2y-z+l=0

6.求过点(2,2,0)且与两直线Lez-i=。和

2%-y+z=0

L-1二。平行的平面方程。

解：两直线的方向向量分别为

电=(1,2,-l)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),“=(2,-l,l)x(1,-1,1)=,南的

法向量M=(1,-2,-3)X(0,-1,-1)=(-1,1,-1)o

平面方程为x-y+z=。。

三、解答下列各题：(共28分,每小题7分)

[x=Rcostd2y

1.设[y=Hsi%求矛。

hrn虫=-cot/

解：dx

d2y/、，11

左二(-。。曾为7=一而7

2.求"x)="(I)"在-2］上的最大值和最小值。

•F\x)=x(x-1)=0,x=0,x=1

F(0)=0,尸(1)=f«，_1)力=_(,

F(-l)=£\(r-l)J/=-|,F(2)=g-l)df=|

25

最大值为"最小值为飞。

3.设y=y(x)由方程x(l+y2)-ln(x2+2y)=0确定，求y'⑼。

解：方程x(l+y2)-ln(x2+2y)=0两边同时对X求导

(1+/)+2切,-学芋=0

x+2y

八1

将万代入上式

4.求由尸亡与-x围成的图形绕、轴旋转所得

的旋转体的体积。

解：

=%

10

四、证明题：（共12分，每小题6分）

1.证明过双曲线盯=1任何一点之切线与。X。

二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线。=1上任何一点（2）的切线方程

为

y-T（X-x）

切线与，轴、，轴的交点为⑸心④，。）

故切线与。X”二个坐标轴所围成的三角形

,1c

的面积为户近产

2.数/(X)与g(x)在闭区间[“勿上连续，证明:

至少存在一点4使得

/(J)['g(x)dx=gC)f/(x)dx

证明：令/(x)=fg(x)可

F(a)=F(b)=O,由Rolle定理，存在一

点火[巩使尸©=。，即

/《)[g(x)dx=g(J)ffMdx

高等数学上解答(07)

单项选择题(每小题4分，共16分)

1./(%)=xcosxe""(_00Vx<+8)A0

(A)奇函数；(B)周期函数；(C)

有界函数；(D)单调函数

2

2.当…。时，/(x)=(1—cosx)ln(l4-2x)与B是同阶

无穷小量。

(A)力(B)心(C)

V;(D)/

Jx-2y+z=0

3.百］jx+y-2c=0与平面x+y+g的位置关系是

CO

(A)直线在平面内；(B)平行；(C)

垂直；(D)相交但不垂直。

4.设有三非零向量1。若一=o,«xc=6,则二三

Ao

(A)0；(B)-1；(C)

1；(D)3

填空题(每小题4分，共16分)

1.曲线了=2上一点P的切线经过原点©a,

点P的坐标为3D。

「tanx-xi

―lim—.......=_

2.zx(e-l)3o

3.方程ey+6xy+x2-1=0确定隐函数y=y(x),贝[j了⑼=

0

4.雌尸一、i与，轴所围图形绕,轴旋转

71

周所得旋转体的体积为人

解下列各题（每小题6分，共30分）

/-sin。、，

1.已知则1求/'（X）。

解：小）=蚂（中）'=产、

f'(x)=-e-sinXsin2x

2.求不定积分眄"）+启％

解.J[ln(lnx)+=jln(lnx)dx+dx

—xIn(lnx)-F---dx+f---dx

JinxJinx

=xln(lnx)+C

3.计算定积分"浮+5心。

解:x2(p—7+V1-x2)dx=£(X2V1-X2)dx+J'':亩:dx

=£(X2A/1-X2)JX+0

2^sin2

tcos2tdt

_71

~~8

rl+sinx,

4.求不定积分后嬴F。

rl+sinxr1,sinx.

hrn-------axf=-------dx+-------ax

用牛•J1+COSXJ1+COSX1+cosx

gjsec2jdx-j-dcosx

1+cosx

x

tan--In11+cosxI+C

2

5.已知f'（mx）=x,且/⑴=e+l,求，（x）。

解：令lnx=r,f^=e-

f(x)=ex+C

/⑴=e+l,f(x)=e'+\

(8分)设小)对任意x有/(x+l)=2/(x),且

求广⑴。

解：由/(x+l)=2/(x),/⑴=2/(0)

哪

笈…一一⑴

XT】X-1

梁

徐

图

*Hm小上3

—0t

N=所2%)-2/(。

/->0t

辑

=2/(0)=—1

22

五、(8分)证明：当m时，(x-l)lnx>(x-l)0

墟

笈

眼

落证明：只需证明(x+Dlnx>xT。

树

Q[、p

/(x)=(x+l)lnx-x+l

rw=lnx4>0,小)在i)单调递增。

22

/(l)=o,当X>1时,/(x)>0Qgp(x-l)lnx>(x-l)o

（8分）

已知F3=f（xJ”（叫小）连续，且当XTO时,9（x）

X2

为等价无穷小量。求八。）。

解：！吧等1

F（x）=］；（尤2_产）/"«族=X21/"«族-02/“⑺小

22

F'M=2x^f\t)dt+xf"M-Xf"M=2x[f\tYt

=2/70)

.v->0x->0X2

（8分）

2

设有曲线y=4x(0<x<1)和直线y=c(0<c<4)Q记它们

与，轴所围图形的面积为4,它们与直线i所

围图形的面积为4。问，为何值时,可使A=4+&

最小？并求出4的最小值。

解：4=4+4=（当办+山-当功

A'(C)=VF—1

令A(c)=五一1=0,得c=l。

⑴KTI为最小值点。

八、设小）在3。）内的点”处取得最大值，且

\f"M\<K(a<x<b)o

证明：\f'(a)\+\f'(b)\<K(b-a)

证明：广（x°）=0

在[皿对小)应用拉格朗日定理

f'(x0)-f'{d)=)(x0-a)(a<^<x0)

/(a)=—x0),\f'(a)l<K(x0-a)

在对八x)应用拉格朗日定理

f'(b)-f'(x0)=7。)(/<$<b)

f\b)=1r($)(——一),\f\b)l<K(b-x0)

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案

中选出一个正确答案，填在题末的括号中)

(本大题分5小题，每小题2分，共10分)

1、

设/=[—―^-(1》,则/=

(A)ln(e'—l)+c(B)ln(e'+l)+c;

(C)21n(e'+1)—x+c;

(£))x—21n(e，+l)+c.

答()

2、

/12n-1

lim・e"…e〃・e=

oO

(A)l(B)&(C)e(D)e2

答()

3、

/(x)=后1的〃阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项&(x)=()(式中o<e<1)

(4)-------------------r-xn+,(B)..........--------x),+1

(n+l)(l-0x)n+1(n+l)(l-9x)"+1r

1n+l

(C)--------x(£>)—

(l-9x)n+2(l-0x)n+2

答()

4、

设f(x)在x=0的某邻域内连续，且/(0)=0』im=上一=2,则点x=0

x->01-cosX

(A)是f(x)的极大值点⑻是f(x)的极小值点

(C)不是/'(X)的驻点(。)是/1(x)的驻点但不是极值点

答()

5、

曲线y=/一2x+4上点〃o(0,4)处的切线M(7与曲线V=2(x-1)所围成的平面

图形的面积A=

214913

(A)—(5)-(C)-(D)—

49412

答（）

填空题（将正确答案填在横线上）

（本大题分5小题，每小题3分，共15分）

设y=ln^l+tan(x+—),则旷=

1、

2、

用切线法求方程/-2/_5x-1=0在（-L0）内的近似根吐选xo并相应求得下

一个近似值项o贝九，的分别为

x-\y+1z-1

3、设空间两直线丁=亏=丁与-相交

于一'点,贝!］九=o

^111A-rC-1y|z口

/(%)=<x'，在x=0处连续，则。=

4、a,当x=0

50乂公=，其中b是实数.

三、解答下列各题

（本大题4分）

设平面兀与两个向量万=3『+J和6=i+1-4k平行证

明：向量c=2T-6j-k与平面兀垂直。

四、解答下列各题

（本大题8分）

讨论积分］当的敛散性.

五、解答下列各题

（本大题11分）

导出计算积分/“=［一叫=的递推公式，其中〃为自然数。

n2

JXyjx+l

六、解答下列各题

（本大题4分）

求过^（4,2-3）与平面……-哈。平行且与直线

Jx+2y-z-5=0

付"1。=。垂直的直线方程。

七、解答下列各题

（本大题6分）

计算极限limM±?sinx-cos2x

-0xtanx

八、解答下列各题

（本大题7分）

试求=『（lnx）"公的递推公式（〃为自然数），并计算积分“Inx）3dx.

九、解答下列各题

（本大题8分）

设/■（工）在（凡份内可微，但无界，试证明u（x）在（。乃）内无界。

十、解答下列各题

（本大题5分）

设lim（p（x）="o，lim/（"）=/（“o）,证明：lim/［（p（x）］=/（〃（））

X»o«-»«0x»oO

H^一、解答下列各题

（本大题4分）

在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱体的高

十二、解答下列各题

（本大题5分）

重量为「的重物用绳索挂在Al两个钉子上，

1204

如图。设c°sa=KC。邓玲，求AB所受的拉力九八

十三、解答下列各题

（本大题6分）

一质点，沿抛物线y=x（10-x）运动,其横坐标随着

时间f的变化规律为x=的单位是秒,x的单位是米）,

求该质点的纵坐标在点〃（8,6）处的变化速率.

十四、解答下列各题

（本大题7分）

设曲线x=6,x=,2_y2及y=0,围成一平面图形.⑴求这个平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中

选出一个正确答案，填在题末的括号中）

（本大题分5小题，每小题2分，共10分）

1、C

2、答：B

3、。10分

4、（B）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分5小题，每小题3分，共15分)

(1——z-)sec2(x+-)

xx

1、2(l+tan(x+：))]0分

2、5分

io分

5

3、4

4、-1

b<0

2

<0,h=0

,2

5、目…10分

三、解答下列各题

(本大题4分)

7k

n=axb=31o={-4,12,2)

1-4

平面法向量14分

n=-2c

万与。平行8分

从而平面与G垂直。10分

四、解答下列各题

（本大题8分）

当pwl时,

lim—=lim(------

£->+OJeJQP£->+0]—p

lim---(1----

£T+01_p*1

=<I—p

+00,p>15分

当P=I时，

f*dxfdx..[h

—=—=limInxL=+00—/k

J)xPX—+。7

［詈当p<l时收敛，当pNlfl寸发散.I。分

五、解答下列各题

（本大题11分）

解:〈法一)

/“=J^r"G+i

7x2+1y/x2+1

+(«+!)j

x"+'xn+23分

G+1

+(/?+1)[——1+Jdx

x,,+l}xn+2ylx2+1

\lx2+1

+5+1)f—2x+(〃+1)J—

xn+'1—x,d,+2Vx2+1xnylx2+\

+(n+1)/“+2+(〃+1)/〃

yjx2+1n

故/"+2=

(n+l)xn+1n+\7

Vl+x21

I}=In+c

XX

-ylx24-1