高考真题分类专项解析05-三角函数-文

一、选择题

1.12012高考安徽文7】要得到函数y=cos(2x+l)的图象，只要将函数y=cos2x的图

象

(A)向左平移1个单.位(B)向右平移1个单位

(C)向左平移,个单位⑴)向右平移工个单位

22

【答案】C

【解析】y=cos2x"y=cos(2x+l)左+1,平移g。

2.[2012高考新课标文9]已知3>0,0<9〈"，直线x=四和x=*卫是函数

44

f(»=sin(3x+(l))图像的两条相邻的对称轴,则4>=

nnJI3n

(A)—(B)—(C)—(D)

4jz~qr-

【答案】A

【解析】因为x=二•TT和x=三是函数图冢中相邻的对称轴，所以S工TT-土TT=土T，即

44442

T2开7F

—二兀7=2开.又T=—=2TT,所以⑦=1,所以/(彳)=sin(x+同，因为x=一是函

2。4

TT7T7F__7T

数:的对称轴所以一+0=—+七T，所以0=一+上不，因为0<0<不，所以0=—,检

4244

验知此时工=生57r也为时称轴，所以选A.

4

3.【2012高考山东文8】函数y=2sin停-[(04x49)的最大值与最小值之和为

(A)2-73(B)0(C)-l(D)-1-73

【答案】A

【解析】因为0Vx£9,所以。二y二rxV三97r，一7二T二7三T“一7T二三97三r一7T二，即

6636363

_£<^X_£<ZZ[,所以当之才一二=一工时，最小值为2sin(-3=—J5,当

36366333

三犬-至=工时，最大值为2sm3=2,所以最大值与最小值之和为2-J5,选A.

6322

4.【2012.高考全国文3]若函数/(x)=sin三义(夕€[0,2幻)是偶函数，则9=

【答案】c

【解析】函数〃x)=sin詈=sin0+争，因为函数+学为偶函数，所

以£=2+左不，所以0=三+3上汽,先eZ,又℃[0,2川，所以当左=0时，＜P=—,

选c.

3

5.12012高考全国文4】已知a为第二象限角，sina=-,贝i」sin2a=

24121224

(A)——(B)——(C)—(D)——

25252525

【答案】B

【解析】因为a为第二象限，所以cosavO,B|Jcosa=-71-sin2a=,所以

.cc.4312

sin2a=2sinacosa=——x—=---,选B.

5525

sin470-sin17°cos30"

6.12012高考重庆文5】

cos17°

(A)--(B)--(C)-(D)—

2222

【答案】c

sin47-sin17cos30"_sin(30"+17")-sin17"cos3(7

cos170cos170

sin30'cos174-cos30"sin17'-sin17'cos30*sin30'cos17"..1、正

==sin3O0A=—>选C.

cos17°-----cos170-------------2

7.[2012高考浙江文6]把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵

坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】由题意，y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(xT)+l,向下平移一个单位为y二cos

(X-1),利用特殊点(5,0)变为(、一1,0),选A.

8.【2012高考上海文17】在△A8C中，若sir?A+sh?8<sin?C,则△ABC的形状是

()

A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定

【答案】A

【解析】根据正弦定理可知由sinaq+smZR〈sin^c,可知川+/<1,在三角形中

cosC=—+/?2-Ci<0,所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选A.

9.12012高考四川文5】如图，正方形ABCO的边长为1,延长A4至E,使AE=1,连

【答案】B

【解析】EB=EA+AB=2,

EC=4EE+BC"=5仄=瓜

7T7T37r

乙EDC=ZEDA+ZADC=

424

smACEDDC_1

由正弦定理得

smAEDC~CE~45~~5

所以sm/CED=*・sm乙EDC=。呻n亨=吟

10.12012高考辽宁文6】E^llsina-cosa=e\ae（0,兀），贝ijsin2a二

(A)—1(0旦(D)1

⑻42

【答案】A

【解析】sina-cosa=V2,(sina-cosa)2=2,.\sin2a=-1,故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

11.12012高考江西文4］若.sma+cosa=j_,则tan2a=

sina-cos<22

“3、3c44

4433

【答案】B

sina+cosa_1

【解析】由---------------------=-9得2(sina+cosa)=sina-cosa即tana=-3.又

sina-cosa2

2tana_-6_6__3

tan2a=选B.

1一tan2a-1-9-8-4,

12.12012高考江西文9】已知/(x)=sin2(x+；)若行/'(lg5),b=/(lgg)则

A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=lD.a-b=l

【答案】C

1-cos2(x+-)i)

【解析】先化蔺函数」(x)=sin2(x+*)=------------上=2+吧/，所以

a=/0g5)=-^+sin(21g9

所以

2

1,sin(21g5)上1sin(21g5)1

—H----------------H-------------------------1选c.

2222

13.【2012高考湖南文8】在AABC中，AC=J7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于

人垂>133GoV3+V6nV3+V39

A.-----D.--------C.---------------D.-----------------

2224

【答案】B

【解析】设AB=c,在AABC中，由余弦定理知AC?=482+8。2-2A8-BC.cos8,

即7=,2+4—2x2xcxcos60,，H-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0.又c>0,r.c=3.

设BC边上的高等于〃，由三角形面积公式S"cABBCsin8=，BC力，知

ABC22

Ii3/3

x3x2xsin600=x2xh,解得力="

222

【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.

14.12012高考湖北文8】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为

连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA：sinB:sinC为

A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D,6：5：4

【答案】D

【解析】因为a,dc为连续的三个正整数，且上>3>C,可得a>8>c,所以

a=c+2,S=c+l①；又因为已知外=20acosH,所以cosj=2々②.由余弦定理可得

20a

2.2।2_2QL2.2.2_2

cos③，则由②③可得色=竺三"④，联立①④，得

2bc20a2bc

7?-13c-60=0,解得，=4或二=一"(舍去)，则a=6,3=5.故由正弦定理可得，

7

sin4sinB:sinC=a:力：c=6:5:4.故应选D.

【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的

正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意

正余弦定理与和差角公式的结合应用.

15.12012高考广东文6】在△A6C中，若NA=60°,NB=45°,BC=38,则AC=

A.473B.26C.V3D.—

【答案】B

4c.„

BC_AC

【解析】根据正弦定理,则AC="sm"=_2=26.

sinAsinBsin工石

T

16.12102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-JT2)的图像的一条对称轴是

4

,7th兀八兀兀

A.x二—B.x二—C.x二——D.x二——

4242

【答案】C.

TT7T

【解析】因为y=sinx的对称轴为x=攵)+5，AeZ,所以/(x)=sin*--)的对称轴为

x-"=k%+〃，AeZ,即x=k〃+2,ZeZ,当出=一1时，一条对称轴是x=-2TT.故

4244

选C.

17.12012高考天津文科7】将函数f(x)=sing(其中。＞0)的图像向右平移二个单位长

4

度，所得图像经过点(匕，0),则刃的最小值是

4

(A)-(B)1C)-(D)2

33

【答案】D

【解析】函数向右平移2得到函数g(x)=/(%--)=sin0(X--)=sin(^-—),因

4444

为此时函数过点(3,0)，所以sin0(?-¥)=O,即次/-马=丝=机所以

444442

。=2匕上62,所以0J的最小值为2,选D.

二、填空题

18.【2012高考江苏11](5分)设a为锐角，若cos(a+1)=g,则sin(2a+^)的值为

▲.

【答案】1Z点.

50

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数.

【解析】•••&为锐角，即OvavE,.•.乙＜0：+2＜工+2=生.

266263

・・(兀、|4..(兀)3.

.cosa+-=一，・・sina+-=一。・・

I6)5k6)5

smRa+9=2s/a+小。s£+9=2=3纹

[3；I6)I6)5525

••cos2a+———o

I3j25

sin(2a+展)=sin(2a+g-^-)=sin(2a+gJcosg-cos2a+gJsin?

=竺®一

25225250

19.12102高考北京文11]在AABC中，若a=3,b=^3,ZA=-,贝Ij/C的大小为

3

【答案】90°

【解析】在aABC中，利用正弦定理_L="_,可得_l_=aL=sinB=！，所

sinAsinB-sinB2

sin——

3

以B=30。。再利用三角形内角和180。，可得NC=90。.

20.［2102高考福建文13］在aABC中，已知NBAC=60°,ZABC=45°,BC=6,则

AC=.

【答案】72.

21r*ez…BC-SinB*orr

【解析】由正弦定理得出一=--所以AC=--------------=------f=——=J2・

sinBsinAsinAJ3

T

21.12012高考全国文15］当函数y=sinx-Gcosx(0Wx<2外取得最大值时,

X=

57r

t答案】—

6

【解析】函数为y=sinx-、月cosx=2sin(彳-令，当0Vx<2开时，

—二Vx-2〈色，由三角函数图冢可知，当x-工=三，即尤=至时取得最大值，所

333326

以工=至.

6

22.［2012高考重庆文13］设△ABC的内角A、B、C的对边分别为。、氏c,且

。=1,/?=2,cosC=—,则sin3=

4

【答案】乎

【解析】由余弦定理得=/+/一2abeosC=l+4—2x2x2=4,所以c=2。所

4

【答案】71

【解析】函数/(x)=sinxcosx-(-2)=2+gsin2x,周期T=，=",即函数/(x)的

周期为万。

24.12012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,

B=—,c=2也,则b=_.

6-

【答案】2.

【解析】由余弦定理知/=a2+c2-2accos8=4+12—2x2x2,xL=4,.•1=2.

2

25.[2012高考江西文15】下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是。

【答案】3

【解析】第一次循环有a=LT=l氏=2,第二次循环有a=0,7=1土=3,第三次循环有

a=0,7=1上=4,第四次循环有a=1,7=2M=5,第五次循环有4=1,丁=3北=6,此

时不满足条件，输出7=3,

三、解答题

26.12012高考浙江文18](本题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,且bsinA=>/JacosB。

(1)求角B的大小；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

【答案】

【解析】(1)bsinA=也acosB,由正弦定理可得sin5sinJ4=sin-4COSB,即得

tanB=/，B=~.

3

(2)VsinC=2sinA,由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

9=以’+4a2-2a-2acos乡,解得a=也，/.c=2a=2g.

27.[2012高考安徽文16](本小题满分12分)

设aABC的内角A,B,C所对边的长分别为a/,c,,且有

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC。

(I)求角A的大小；

(II)若b=2,c=l,。为5C的中点，求4。的长。

【答案】

【解

(I)(方法-j如囱仁知.2、in4=■加(4+C);sin瓦

IN为7“H^0,所以<YM

中J*0<4<IT.故/I二T*.

:方法二)由尊设可知.2b•.二-I--:.丁是=k,所

2bclab2bc

fliT0<4<TT,故，4=-j-.

(U)(方法一)因为而'=(吗也)、诵二不•正)

24

=；(14442XIx2xro、9)=

434

所以।育i=W从而仞=?

~一

(方法二'.为“：=/+J・2Arr»s4=4+1-2x2xIx-1-=3.

所以

火为叩=W,4«=1,所以

岑

28.【2012高考山东文17](本小题满分12分)

在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知sinB(tanA+tanC)=tan4tanC.

(I)求证：a,6,c成等比数列；

(11)若a=1,°=2,求△ABC的面积S

【答案】⑴由已知得：

sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,

sinBsinpl+C)=sinHsin。，

sin'B=sinsin(7,

再由正弦定理可得：b:=ac,

所以成等比数列.

(H)若a=l,c=2,则》'=ac=2,

.•.C'+cf/,

2ac4

sin。=\/l-cos:C=半,

」.△曲7的面积S=1或sinB=Jxlx2x立=立.

2244

29.12012高考湖南文18](本小题满分12分)

已知函数/(x)=Asin(0x+e)(xe/?,。>0,0<0<5的部分图像如图5所示.

(I)求函数f(x)的解析式；

(II)求函数g(x)=/(无一土IT)——(x+27T)的单调递增区间.

【解析】(I)由题设图像知，周期7=2(士■—®=—=2.

1212T

因为点(―,0)在函数图像上，所以工sin(2x?+劭=0,即sin(空+a)=0.

12126

c汗5汗5汗4TFII=5TF7r

又T7•:0<<p—<—+(p<—，外—+/=兀N即N/=—.

266366

又点(0,1)在函数图像上，所以jsin至=1,4=2,故函数f(X)的解析式为

6

/(x)=2sin(2xd—).

6

/7T

g(x)=2sin2x-2sin+—

(II)6

=2sin2x-2sin(2x-l-y)

=2sin2x-2(—sin2x+-^-cos2x)

=sin2x-V3cos2x

=2sin(2x--),

7T7T7T7T)7T

由2ATF——X2x—<2k?r-\■—，得匕r-----<x<k7VA-----,kez.

2321212

yr57r

g(x)的单调递噌区间是A;4一.,上万+'rkez.

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

1\TTSTT27r

T=2(A-黄)=兀,从而求得0=苗=2.再利用特殊点在图像上求出(p,A,从而求出f

(x)的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及y=Asin(0x+°)的单调性求得.

.3012012高考四川文18](本小题满分12分)

已知函数/(%)=cos2^--sin^-cos^--^(>

(I)求函数/(X)的最小正周期和值域；

(II)若/(&)=迪，求sin2夕的值。

10

命题立意：本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识，

考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想.

【解析】

所以〃h的乂小周期为2K.价域为|笄.................................................6分

(II)由(I)X.."・.)0*4)10

MiiX«i«3“

......12分

31.12012高考广东文16](本小题满分12分)

X71

已知函数f(x)~Acos—+—，xeR,V2

46

(1)求A的值;

7T1T(4A30Q

(2)设0,y,/[4a+§万J=一万，f-,求cos(a+Q)的

23

值.

【答案】⑴f^=Acos7T7T

Acos—==^2,解得4=2。

12642

/(4&+：开c(7T7T]f7T30on

2)=2cosa-\--1■—=2cosa-\—-2sina=--，PP

36217

15

sina

\

八7T八7T84

2cosI+—=2cosj8=-即cos产=一。

\6666JJ55

因为a,尸e0,^，所以cosa=Jl-sin2a=5,sin°-Vl-cos2a=g,

2

m、i/6q.08415313

所以cos(a+8)=cosacossinasmp--x---x-=--

17517585a

32.[2012高考辽宁文17](本小题满分12分)

在AA8C中，角/、B、。的对边分别为a,b,c。角4B,C成等差数列。

(I)求cos8的值;

(II)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值。

【答案】

i17）解:

（I）IflCiti28-A-C,4+G+C-180",解得“=60”，所以

1.

cos8=2........6分y

（H）（解法一）

1

JlCXHy-GC>及3sB=2•

根据正弦定理赛shfB=sinAsinC,所以

3

sin/IsinC=1-cos2B=彳.....】2分

（解法二）

_I

由三知产=ar,及costf=：—,

22

根据余弦定利用cosB-----nC，解存a-。，所以8bA=c=60"，故

2ac

3,

sin工sin。=—....12分

4

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列

的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理

把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的

结果。

33.[2012高考重庆文19]（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）设函数

jr

f（x）=Asm（a）x+（p）（其中A>0,o>0,-乃<夕<〃）在x=一处取得最大值2,其图

6

rr

象与轴的相邻两个交点的距离为万（I）求/（X）的解析式；（H）求函数

/、6cos4x-sin2x-l

g（x）=------------------的值域。

/（x+-）

o

・K田▼/T、兀…、”7、\“75.

【答案】(I)^=—(11)[L/Uq3]

【解析】

【解析】：(I)由题设条件知“X)的周期丁=然，即二=兀，解得0=2

a

因jT"i在、:=—处取得最大值2,所以4=2,从而sin(2x—-(p)=l,

66

所以2x±+9=：+2k汉女wZ,又由-；Tvp<；T得@=及

626

故/(x)的解析式为/(.V)=2sinQx+—)

6

44

,rT、，、6cosx-sin*x-16cosx+cos*x-2(2cos"2)

v11)g^X)=-----------------=-------------------=-------------；-----------

2sin(2x+g)2COS2X2(2COS*X-1)

31i

=—COS2x+l(cos21工务)因COS2]6[0,1],且

775

故g(x)的值域为口q)U(1]]

34.12012高考新课标文17](本小题满分12分)

已知&b,。分别为aABC三个内角A,B,C的对边，。二镉asinC一比osA

⑴求A

(2)若所2,Z\ABC的面积为4,求6“

【答案】

(17)解:

(1)由c=J7asmc-ccosd及正弦定理得

VJsin/lsinC-cos^sinC-sinC=0.

由于sinC*0.所以sin(d-?

62

又0</VK»故X=y.

(II)△46C的面枳S='*sin/=>/5,故儿=4.

2

而a2=h2+c2-2iccosJ»故b'+c'=8.

解得5=c=2.

35.[2102高考北京文15](本小题共13分)

,十皿“、(sin%-cosx)sin2x

已知函数/(x)=-------；-----------。

(1)求/(x)的定义域及最小正周期;

(2)求f(x)的单调递减区间。

r"交】“x_(sinxt-cosr)sin2r_(sinr-cosx)2sinrcosx_.、

Lzn*Tts；J=----------------=---------------------=式vsinx-cosx)cosx

sinxsinr

=sin2r-l+cos2r=V2sin^2x-^-h(r|rkeZ)

o

(1)原函数的定义域为&£Z},最小正周期为71.

(2)原函数的单调递增区间为口工+E,E)keZ,(k7t,—+kn]keZ

L8)I8」。

36.(2012高考陕西文17](本小题满分12分)

函数/(x)=Asin(ox-X)+l(A>O,0>O)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之

6

间的距离为生，

2

(1)求函数/(x)的解析式；

7T(Y

(2)设aw0]),则/(上)=2,求a的值。

【答案】

解(1)V函数/《工)的总大值为3,：•八+1=3,即4=2,

v函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为今，最小正周期丁=八

3=2.故函数/(外的解析式为y=2sin⑵一3)+1.

([]),.*/(y)=2sin(a--g)+1=2.即sin(a-1)=董.

Vo<«<|.--f<<**1<3>

:.a—4-35故Q=李

b0°

37.【2012高考江苏15](14分)在AABC中，已知而AC=3BABC.

(1)求证：tanB=3tanA；

(2)若cosC=当，求A的值.

【答案】解：(1)VAB^AC=3茄・BC,・•.AB^AC^QSA=3BA^BC^CQSB,即

AC^cosA=3BC*cosB.

A(y

由正弦定理，得-——sinB*cosJl=3sinj4*cosB□

sinBsinA

n

又■「0<J4+B<^,cos>4>0,cos5>0B'1"=3,‘由'即

cosBcos月

tanB=3tanj4o

（2）,/cosC=^,0<C<^,sinC=Jl-

UJ5

C.tan4+tang.

tanbr-i^4+Bi2,艮Ntan•X+5i=-2。..------------=~2

L」1-tan小tanE

.4tanA

由（1）,得------x—=-2,解得tan月=1,tan^=--

l-3tanJ3o

开

cos>l>0,tanJ4=1.A=—

4o

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将48AC=3BA3c表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系

式证明。

（2）由cosC二自，可求tanC,由三角形三角关系，得到tan［乃一（A+B）］,从

而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

38.［2012高考天津文科16］（本小题满分13分）

在AABC中，内角A,B,C所对的分别是a,b,co已知a=2.c=后，cosA二-也^.

4

（I）求sinC和b的值；

口

（II）求cos（2A+-）的值。

3

【答案】

（I）解：在△/WC中，由cos/=_亚.可得sin/=巫.乂由，_=工及0=2.

44sin4sinC

c=五,可得sinCu五.

4

由/=b'+c'-2ACOS/I.得6、6-2=0,因为b>0,故解得b=】.

所以sinC=,6=1.

4

（11）解：由cos/=-*^,sin3=^^.得8s24=2cos：/-1=-2・

444

sin2/l=2sin/fcos4.

4

所以・COS^2/14-jj=cos2/（cosj-sin2/fsinj=-・

39.［2012高考湖北文18］（本小题满分12分）

设函数f(x)jE'Qsinwcosa«-Cos%x+，，心的图像关于直线X5对称,

,<yr(,，1).

其中3,人为常数，且

1.求函数f(x)的最小正周期；

(-,0)

2.若y=f(x)的图像经过点4,求函数f(x)的值域。

【答案】

18.如(I)因为=

-oo$2<ux♦v5sin2ax♦Z。2sin(2a>x--)♦X.

6

由汽线x-a丛,■/«)出效的一条对林他.可用皿2«“-马・±1.

6

所以2o>x”-fat♦'(*wZ)・BP«>--♦-U<.Z).

6223

乂awj.l),twZ.所以A=l・故"=’.

26

所以〃幻的*小正网期足竽.

(I”由v。/(外的曲蟹比点g.0).怦〃：)二o.

即4--2sin(2,N・2)--2sin!二-0.Wa=-V2.

6264

被/("=2sin(~x—~)-V2«函数/(x)的俗域为[—2-V2»2-&].

36

【解析】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能

力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的

地位，可谓是百若不厌.求三角函数的最小正周期，一般运用公式7=丝来求解;求三角

阿

函数的值域，一般先根据自变量X的范围确定函数GX+0的范围.来年需注意三角函数的单

调性，图象变换，解三角形等考查.

【2011年高考试题】

一、选择题：

1.(2011年高考山东卷文科3)若点(a,9)在函数y=3’的图象上，则tan="的值为

6

n

(A)0(B)—(C)1(D)V3

3

【答案】D

【解析】由题意知：9=3",解得"2,所以1211竺=1211/=1211工=6,故选1).

663

JT

2.(2011年高考山东卷文科6)若函数/(x)=sin的(3>0)在区间0,彳上单调递增，

TT7T

在区间上单调递减，则3=

1_32」

23

(A)-(B)-(C)2(D)3

3