初中数学正切综合强化练习

初中数学正切综合强化练习

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，EF与AB,BC,CQ分别交于点E,G,F,且N1=N2=3O。，EFA.AB,

则下列结论错误的是（）

A.AB//CDB.Z3=60°C.FG^-FCD.GFLCD

2

2.如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30。，看这栋

高楼底部C点的俯角为60。，若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是

mC.30GmD.60Gm

3.如图，己知心△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,则tan3的值为（）

4.在心△ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中，正确的是（）

2223

A.sinB=-B.cosB=-C.tanB=-D.tanB=-

3332

5.在R3ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=3,则NA的正切值为（）

3Vio

L.------

1010

6.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上

的点F处.若AB=3,BC=5,则tan/DAE的值为（）

0------------P

7.如图，菱形A3CZ）的边长为4,乙4=60。，M是AO的中点，N是A8边上

一动点，将AAMN沿MN所在的直线翻折得到&4WN,连接A'C,则当A'C取得

最小值时，tan/OC4的值为（）

y/3

A.6C.277-2

8.如图，AABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值是（）

DIIIIIIII

Oj__!__!__I__i__」__f__I

「2M3710

310

二、填空题

9.如图，在正方形ABC。中，48=15,点E是以A3为直径的圆上一动点，当

4

tanNABE=§时，OE的长度为

D

10.已知在RsABC中，/C=90。，sinA--,则tanB的值为

11.如图，在平面直角坐标系中，点A，4，A,，…和用，层，品,…分别在直线

»=：》+人和*轴上.AOAM，AB,A2B2,ABZAB3.....都是等腰直角三角形，如果点

4(1,1)，那么匕的值是；4⑼的纵坐标是.

3

13.某拦水坝的横截面为梯形A8CO,迎水坡BC的坡角为a,且s〃a=z，背水坡

的坡度为i=2:5是指坡面的铅直高度AE与水平宽度DE■的比，坝面宽AB=3m,

坝高AE=12m,则坝底宽CD=.

14.如图，在1x3的小正方形网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上,

AB、CO相交于点P,则tan/APC=

CB

15.如图，矩形ABC。的对角线AC、BD相交于点。，4?:8c=2:1,且BEVAC,

CE//DB,连接。E,则tan/£DC=.

16.如图，矩形ABCQ中，A8=8,BC=\2,以。为圆心，4为半径作0£>,E为。。上

一动点，连接AE,以AE为直角边作AE凡使/E4尸=90。，tanNAEF=g,则点尸

与点C的最小距离为.

17.如图，已知抛物线产加+公-4与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,且点A的

坐标为(-2,0),直线8C的解析式为广;x-4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,过点A作AZ)〃BC交抛物线于点。(异于点A),P是直线BC下方抛物线

上一点，过点尸作尸。〃y轴，交AO于点Q,过点Q作。RLBC于点R,连接PR.求

△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；

图1

(3)如图2,点C关于x轴的对称点为点C，，将抛物线沿射线C4的方向平移2石个单

位长度得到新的抛物线y,新抛物线)，'与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有

一动点M平面直角坐标系内是否存在一点K,使得以。，M,N,K为顶点的四边形

是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AD=DE,AF1DE于点F.

3

(2)若CE=12,tanZADE=-,求石尸的长.

4

19.问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=6,AC=4,A。是中线，求的

取值范围.她的做法是：延长4。到E,使DE=AD，连接8E,证明

△BED^ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：(1)小红证明的判定定理是：

(2)AO的取值范围是；

方法运用：

(3)如图2,AO是AABC的中线，在AO上取一点F,连结并延长交AC于点E,

使AE=EF,求证：BF=AC.

AR\

(4)如图3,在矩形A8CO中，—在8。上取一点F,以8F为斜边作

EF1

Rt^BEF,且隹=彳，点G是。尸的中点，连接EG,CG,求证：EG=CG.

BE2

AA

十

----------------~^\D

BC

图1图2图3

20.已知四边形438内接于OO,AB=AD.

(1)如图1,求证：点A到NC两边的距离相等；

(2)如图2,已知8。与AC相交于点E,BQ为OO的直径.

①求证：tan/CAD=瓷；

BE

②若NCBD=30。，AD=3日求AE的长.

—

图1图2

21.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=12,tan/A=；.

C

AB

(1)尺规作图：以AC为直径作。。，与A8交于点。(不写作法,保留作图痕迹)；

(2)求。。的半径长度.

22.已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

|V

厂「/

图1图2备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO,P0交直线8C

PF

于点E，设入厂=&，求当％取最大值时点尸的坐标，并求此时人的值.

(3)如图2,点0为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点。.

①求△BDQ的周长及tanZBDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tanNBMQ=；(f为大于0的常数)，求点M的坐

标.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定定理，可判断A,根据平行线的性质，可判断B,D,根据锐角三角函

数的定义，可判断C,进而即可得到答案.

【详解】

解：VZ1=Z2=3O°,

ABHCD,故A正确，不符合题意；

,:EFA.AB,

：.Z3=180o-30°-90°=60%故B正确，不符合题意；

,/AB//CD,EFYAB,

：.EFLCD,即：ZGFC=90°,故D正确，不符合题意；

XV22=30°,

Atan30°=—=即：FG=&C,故C错误，符合题意.

CF33

故选C.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性

质，锐角三角函数的定义是解题的关键.

2.B

【解析】

【分析】

作ADLBC于D,由俯仰角得出/ADB、NCAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值

得出BD、CD的长，BC的长即可求出.

【详解】

过A作ADJ_BC,垂足为D在RSABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

，BD=AD”an30°=30x立=10G(m),在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=30m,

3

ACD=AD«tan60°=30x>/3=3073(m),BC=BD+CD=106+306=40班(m),

即这栋高楼高度是40Gm.

答案第1页，共31页

故选择：B.

ULIm

LH：ILILI

口口口口

on口口

DI11III

【点睛】

本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角

形.

3.D

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得8c的长，根据tan8=黑，可得答案.

DC

【详解】

解：在RAABC中，由勾股定理，得BC=‘AB?-4c2=Ji。?一价=6，

.**84

••tano==—=—.

BC63

故选。

【点睛】

本题考查了锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键.

4.C

【解析】

【详解】

VZC=90°,AC=2,BC=3,AAB=7AC2+BC2=713

・入田生=之=迤3V132

COSB=^=4==tanB=-----

AB71313ABV1313BC3

故选C.

5.A

【解析】

【详解】

答案第2页，共31页

【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】:在RtAABC中,ZC=90°,AC=1,BC=3,

•••NA的正切值为会=：=3,

AC1

故选A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的

关键.

6.D

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质和折叠的性质得AF=AD=BC=5,EF=DE,在RsABF中，利用勾股

定理可求出BF的长，则CF可得，设CE=x,则DE=EF=3-x,然后在RsECF中根据

勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x,进一步可得DE的长，再根据正切的定

义即可求解.

【详解】

解：・・•四边形ABCD为矩形，

・・・AD=BC=5,AB=CD=3,

・・•矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

・・・AF=AD=5,EF=DE,

在RtAABF中，BF=ylAF2-AB2=，25-9=4,

・・・CF=BC-BF=5-4=1,

设CE=x,则DE=EF=3-x

在RSECF中，VCE2+FC2=EF2,

4

x2+l2=(3-x)2,解得x=1,

DE=EF=3-x=-,

3

5

tanZDAE=DE_3_1,

~AD~~5~3

故选：D.

答案第3页，共31页

本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵

活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键.

7.B

【解析】

【分析】

首先根据两点之间线段最短确定点4的位置，再作然后根据菱形的性质可知

MD,ZHDM,再根据30。直角三角形的性质求出”。和进而求出C”，最后根据正

切值定义求出答案即可.

【详解】

因为M4'是定值，两点之间线段最短，即当点A在例C上时，AC取最小值.

过点M作Ma_LL>C于点H.

边长为4的菱形ABCD中，ZA=60°,

为的中点，

：.2MD=AD=CD=4,ZHDM=60°,

：.ZMDH^ZHDM=60°,

ZHMD=30°,

：.HD=-MD=1,

2

HM=DMxcos300=6,

：.CH=HD+CD=5,

答案第4页，共31页

•+/nrA'州应

•,tan乙DCA==—,

CH5

tan/a4的值为3.

5

故选：B.

【点睛】

这是一道应用菱形的性质求线段最短问题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，锐角三

角函数，直角三角形的性质等.

8.A

【解析】

【分析】

过8作3。垂直于AC的延长线，垂足为。，求出80和A。后由正切函数的定义可以得到

问题解答.

【详解】

解：如图，过B作8。垂直于AC的延长线，垂足为Q,

贝IJ在R7AA8。中，AD=5,BD=6,

.,BD6

・・tanA==—,

AD5

故选A.

【点睛】

本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键.

9.3而或3而##3府或3折

【解析】

【分析】

答案第5页，共31页

分点E在A8上方和下方两种情形求解，过点E向718,A。作垂线，运用锐角三角函数计

算即可.

【详解】

•••点E是以A8为直径的圆上一动点，

二/AEB=90。,

4AF

VtanZABE=-=——,

3BE

不妨设AE=4hBE=3k,

则AB=VAE2+BE2=5k=15,

k=3,

AAE=12,BE=9,

过点E作所L48,垂足为尸，EGA.AD,垂足为G,

・・・四边形AFEG是矩形，

:・EF=AG,AF=GE,

在中，

EF=AEsinZEAF=12x—=—,AF=AEcosZEAF=12x—=—,

155155

当点E在AB的上方半圆上时，

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=\5f

DG—AD-AG—15--=—,

55

/.DE=-JDG'GE2=+(y)2=7153=3折；

当点E在AB的下方半圆上时，

过点E作EM_LAB,垂足为M,ENLAD,垂足为N,

答案第6页，共31页

.,•四边形ANEM是矩形,

:・EM=AN,AM=NE,

在放△AEM中，

EM=AEsinZBAE=\2x—=—,AM=AEcosZBAE=12x—=—,

155155

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=\5f

•**DN=AD+AN=15H=--,

55

・♦・DE=VD/V24-NE2=J(-y-)2+(y)2=>/585=3765;

故答案为：3\/17或3，存.

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形判定和性质，正方形的性质,

分类思想，熟练掌握圆的基本性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键.

10.—

12

【解析】

【分析】

本题可通过假设未知数，结合sinA=^j表示BC、AB的长度，继而利用勾股定理求解

AC,最后利用正切函数定义求解tan

【详解】

解：如下图所示：

答案第7页，共31页

A

sinA=^=^

;在RSA3C中，NC=90。,

AB13

假设BC=12x,AB=l3x,

22

•*-AC=y/AB-BC=J(13x)2-(12x)2=5x

.AC5x5

..tanBn=----=------=—.

BC\2x12

故填：■

12

【点睛】

本题考查三角函数，解题关键是理清各三角函数的概念，其次为方便解题，通常利用假设

未知数将边长表示为具体数值.

43

11.-(-)2020

52

【解析】

【分析】

利用待定系数法可得b的值，确定一次函数的解析式，设直线y=21x+4£与x轴的交点为

G,过点A/,A2,A3分别作x轴的垂线，垂足分别为。、E、F,由条件可求得

芸=野=冬，再根据等腰三角形可分别求得A/。、A2E,A3F,可得到4,4的纵坐

GDGEGF

标坐标，找出规律得A〃的纵坐标，进而即可求解.

【详解】

解：•.•4(1,1)在直线、=：》+%上，

14

l=-xl+/?,国用得：b=—,

14

・・・直线的解析式为:7=-x+-,

14

设直线y=gx+w与X轴的交点为G,

令y=0可解得X=-4,

，G点坐标为(-4,0),

JOG=4,

答案第8页，共31页

：.AiD=OD,

*/OBi=2AiD=2f

••GB/=2+4=6,

14

又•••点4在直线)>=§x+g上，

..•4々。=纯=空,，即^^二，

GDGE5A2E+GB15

337

解得：A2E=—=(-)\则0E=03/+8/£=],

73

/.A?(—,"),OB2=5,

22

93029

同理可求得：AF=-=(-)2,则。尸=5+丁=一

34244

■一299、

44

33

.••当A“时其纵坐标为I］）nl,BP：的纵坐标是:(巳)2020

2

43

故答案是：j,（1）202°.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的纵坐标的变化

规律是解题的关键，注意观察数据的变化.

12.30060°

【解析】

【分析】

利用锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值求出求出NB,进而求得NA的值.

答案第9页，共31页

【详解】

,•+Db瓜IT

•tanB=—=-,

aV2

・・・ZB=60°,

ZA=90°-60°=30°.

故答案为：30°,60。.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解

题的关键.

13.49m

【解析】

【分析】

3

添一条辅助线，作AE=12m,根据tana==,可得CF的长，根据背水坡AD的

4

坡度i=2:5,可得。E的长，KAB=EF,坝底C£>=OE+EF+尸C,可得出答案.

【详解】

解：如图所示，添一条辅助线，作BFLCQ,

Ap2

又：背水坡的坡度i=2:5,.•.===,故£>E=30m,

DE5

且所=AB=3m,坝底CD=£)E+EF+FC=30+3+16=49m,

故答案为：49m.

【点睛】

本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边：

斜边，掌握定义就不会算错.

答案第10页，共31页

14.2

【解析】

【分析】

连接3E与CZ）相交于F,由正方形的性质、相似的判定及性质、锐角三角函数的定义得到

得到tanN3PR=2,再由对顶角/APC=/8尸凡即可得到tanZAPC.

【详解】

如图，连接BE与C。相交于F,

,••四边形8CEC是正方形，

CF=BF=gBE=gcD,CDlBE,

根据题意得：AD//BC,

r）pAn3i

..——=——=二，即OP=3CP,即PF=CP=—CQ

CPBC14

BF2CD

7

在RSPB/中，tanZBPF=―:=^—=2.

PF-CD

4

•.*NAPC=/BPF,

tanZAPC=2.

故答案为：2.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形.解决本题的关键是

作辅助线构造直角三角形.

15.-

6

【解析】

【分析】

过点E作。交CZ）延长线于点尸，连接。E交BC于点G,根据BE〃4C,CE//DB,

答案第11页，共31页

可得四边形BOCE是平行四边形，从而四边形80CE是菱形，则有0E与8c互相垂直平

分，易得。E=4B=2x,CF=GE曰OE=x,再由锐角三角函数定义，即可求解.

【详解】

解：如图，过点E作EFLCQ交C£＞延长线于点F,连接0E交BC于点G,

DC尸

♦.•矩形ABC。的对角线AC、8。相交于点O,AB-.BC=2：1,

：.BC=AD,OB=OC,ZBCF=90°,

可设3C=x,则4B=2x,

■:BE//AC,CE//DB,

，四边形B0CE是平行四边形，

■:0B=0C,

四边形30CE是菱形，

.♦.0E与8c互相垂直平分，

：.EF=CG=^AD=^x,0E//AB,NBCF=NCGE=NF=90°,

，四边形CGEF是矩形，

：.CF=GE=；0E,

二四边形AOEB是平行四边形，

0E=AB=2xf

:・CF=GE=；0E=x,

tanZEDC=—

DF2x+x6

故答案为：—.

o

【点睛】

本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形,

解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型.

答案第12页，共31页

16.4710-y

【解析】

【分析】

如图，取AB的中点G,连接FG,FC,GC,由△£AGsZ\£4。，推出FG：DE=AF：AE

44

=1：3,因为。E=4,可得尸6=彳，推出点尸的运动轨迹是以G为圆心彳为半径的圆，

33

再利用两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】

解：如图，取A8的中点G,连接/G.FC.GC.

：ZEAF=90°tanZAEF=-

f3t

.AF

・・A8=8,AG=GB,

・・AG=G3=4,

：AD=12f

.AG_4_1

u'AD~V2~3f

.AFAG

・7?一茄’

•,四边形A8CQ是矩形，

・・ZBAD=ZB=NEAF=90。，

\ZFAG=ZEAD9

,.△MG^AEAD,

\FG：DE=AF：AE=l：3,

：DE=4,

4

•・FG=一,

答案第13页，共31页

4

.•.点F的运动轨迹是以G为圆心］为半径的圆，

GC=y/GB2+BC2=V42+122=4x/10，

：.FC>GC-FG,

FC>4V10—-»

••CF的最小值为4V10-y.

故答案为：45/10.

【点睛】

本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

13

17.(1)产产/4；

(2)£1尸。?的最大值为9P(4,-6)；

(3)K点坐标为(-1,-1)或(7,y)或(13,-1)或(13,3).

【解析】

【分析】

(1)由题可知B点既在x轴上，又在尸;『4上，则8(8,0),再将A、B代入

y=ax1+bx-^即可求解析式；

(2)先求出直线4。的解析式为广;x+1,过点8作8GL4。，在RAABG中，48=10,

tanZBAG=—,求出36=2石，设PCm,-m2--in-4'),R(〃，—n-4),则Q(，“，""

24222

w+1),QR=2y/5)代入点的坐标可得〃-，〃=2,则R(m+2,yw-3),S^PQR=--(/n-4)

2+9,当时，S」PQR有最大值9,则可求P(4,-6)；

(3)求出C(0,-4),直线AC的解析式为尸2x+4,由平移可知抛物线沿着x轴负方向平

移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，可得平移后抛物线解析式，联立可

求两抛物线交点M(6,-4),D(10,6),设N(3,f),K(x,y),分①当DM与KN为

矩形对角线时，②当。N与MK为矩形对角线时，③当KD与MN为矩形对角线时，三种

情况求解即可.

⑴

答案第14页，共31页

解：点在x轴上，且8点在尸;x-4上,

:.B(8,0),

VA(-2,0),B(8,0),都在抛物线产《?+版-4上,

x=-2,m8是方程加+队-4=0的两个根，

(2)

解：直线8c的解析式为产;『4,

设直线AD的解析式为广;x+为，

把A(-2,0)代入得：0=；x(-2)+6/,

解得:bi=l9

・,・直线AD的解析式为广;x+1，

:,QR=BG,

।BG

在RAABG中，AB=10,tanZBAG=-=,

2AG

二由勾股定理得：BG=2出,

答案第15页，共31页

设PGn,—m2-—w-4),R(〃，—n-4),则Q(小，-〃?+1),

4222

u

：QR=2y[5f

(26)2=(/n-n)2+(y77Z--n+5)2,

n-m=2,

R(m+2,—/n-3),

2

S/QR=-x(—m+1-—m2+—m+4)x2=--/H2+2W?+5=-—(m-4)2+9,

224244

・・.当加=4时,SAPQR有最大值9,

：.P(4,-6)；

(3)

解：：点C关于x轴的对称点为点C,

：.C(0,4),

；•直线AC的解析式为y=2x+4,

•••抛物线沿射线C'A的方向平移26个单位长度，

沿着了轴负方向平移4个单位长度,

联立"-3）吟=；g）寸，解得46,

答案第16页，共31页

：.M(6,-4),

ii3

联立解得x=10或户-2,

・・・£＞异于点A,

：.D(10,6),

13

V^-x2--^的对称轴为直线x=3,

设N(3,t),K(x,y),

①当OM与KN为矩形对角线时，

0M的中点与KN的中点重合，

Ax=13,Z=2-y,

•:DM=KN,

/.16+100=(3-x)2+(t-y)2,

•*.y=-l或产3,

:・K(13,-1)或K(13,3)；

②当DN与MK为矩形对角线时，

ON的中点与MK的中点重合，

.13_6+xy-4_6+1

・«—=------,--------------,

2222

**.x=7,/=y-10,

•:DN=MK,

49+(6-02=(6-x)2+(y+4)2,

③当KZ)与MN为矩形对角线时,

KO的中点与MN的中点重合，

.10+x_96+y_t-4

••=,二,

2222

,f=10+y,

♦；KD=MN,

答案第17页，共31页

，(x-10)2+(6->02=9+(f+4)2,

.6

..y=-7

：.K(-1,--)；

综上所述：以。，M,N,K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为(-1,-1)或(7,

不)或(13,-1)或(13,3).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，解决本题有两个关键点，①能将抛物线沿直线平移转化

为抛物线左右平移与上下平移时解题；②熟练掌握矩形对角线平分且相等的性质，将此性

质与中点坐标公式与两点间距离公式相结合解题.

18.(I)见详解；(2)EF=3

【解析】

【分析】

(1)由题意易得A0//8C,43=8,48=90。，则有ZD4E=ZAEB,进而可得

ZAED=ZAEB,然后可得=进而问题可求证；

(2)由(1)得：AD//BC,AB=CD,则有lan/Z汨C=tanZAOE=±,进而可得

4

AF=AB=9f然后可得£)£：=Jg+EC?=15,设£尸=%,则有£>P=15r,最后由三角函数

可得9=京15-司，求解即可.

【详解】

(1)证明：•.•四边形ABC。是矩形，

・,.AD//BC,AB=CD,ZB=90°,

/.ZDAE=ZAEB,

AD=DE,

：.ZAED=ZDAEf

:.ZAED=ZAEB,

丁AFLDE,

JAB=AF,

:.AF=CD；

(2)解：由(1)得：AD//BC,AB=CD,

答案第18页，共31页

3

*.*tanZADE=—,

4

3

・・tan/DEC=tanZADE=-,

4

*/CE=12,

3

DC=CEtanZD£C=12x-=9,

4

/.4F=/W=9,

.,•在RhOCE中，DE=JDC，+EC?=15,

设"l=》，则有。F=15-x,

/.AF=DFtanZADE,即9=:(15-x),

解得：x=3,

EF=3.

【点睛】

本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键.

19.(1)SAS；(2)1<AD<5；(3)见解析；(4)见解析

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明匹四△CAD,从而可得证明全等的依

据；

(2)利用全等三角形的性质得到4c=8已求解AE的范围，从而可得答案；

(3)延长至点A,使AO=AD,证明利用全等三角形的性质与

AE=EF,证明NBF£>=NA',得到=从而可得答案；

(4)延长CG至点H使，G=CG,连接”F、CE、HE,证明A〃GFgACGE>,得到

HF=CD,/HFG=4CDG,利用锐角三角函数证明=再证明

△EFHs^EBC,利用相似三角形的性质可得△CE”是直角三角形，从而可得答案.

【详解】

解：(1)如图，AZ)是中线，

BD=CD,

在1OC与AEDB中,

答案第19页，共31页

AD=ED

</ADC=/EDB

CD=BD

:^ADC^EDB(SAS.)

A

E

故答案为：SAS

(2)・〕ADC%EDB,

・.AC=8E=4,

・・・AB=6,

.・.2<AE<\0y

vAE=2AD,

/.1<AD<5,

故答案为：1<A0<5

(3)证明：延长AD至点A,使A7)=A£),

丁AO是△ABC的中线

:.BD=CD

在△ADC和△AO3中

AD=AfD

<ZADC=NA'DB

CD=BD

:.^ADC^MDB,

・・・ZCAD=ZA,AC=AB,

又：AE=EF,

•/NC4D=NAEE,

/.ZA=ZAFE,

答案第20页，共31页

又*：ZAFE=ZBFD,

:./BFD=ZA

:.BF=A!B,

又「AB=AC

：.BF=AC

(4)证明：延长CG至点“使HG=CG,连接“尸、CE、HE

•・・G为尸。的中点

:.FG=DG

在△HGF和△CGD中

HG=CG

<ZHGF=NCGD

FG=DG

:・AHGFq&CGD

：.HF=CD,ZHFG=4CDG

EF1

在RfABEF中,丁一=-,

BE2

/.tanZEBF=—

2

AR1

又矩形ABC。中，—="

•.•AB=一1,

AD2

/.tan/ADB=—,

2

答案第21页，共31页

:,ZEBF=ZADB,

又AD/IBC,

・・・ZADB=/DBC,

：.ZEBF=ZADB=ZDBC,

又NEFD为ABEF的外角，

:"ZEFD=/EBF+ZBEF,

即4EFH+NHFD=NEBF+90°,

•.・ZADB^-ZBDC=90°,

:.ZEFH+ZHFD=ZEBF+ZADB+ZBDC,

:.ZEFH=2ZEBF,

即NE77/=N£BC,

在△耳H和△EBC中，

EF\HFI

.EFHF

又/EBC=/EFH,

：・AEFHS^EBC,

:./FEH=/BEC,

*/ZHEC+ZCEF=ZBEF+ZCEF,

,ZHEC=ZBEF=90°,

・・・△CEH是直角三角形，

♦・・G为。”的中点，

・・・EG=-CH,

2

即EG=CG.

答案第22页，共31页

H

本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判

定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的

应用，掌握以上知识是解题的关键.

20.(I)见解析；(2)①见解析；②AE=3娓-3梃

【解析】

【分析】

(1)连接AC,由等弦对等弧，等弧对等角得ZACB=NACZ),即可得证；

(2)①由CD=CD，得到=由直径所对的圆周角是直角，可推得

tanZCAD=tanZCBD=^;过点。作。Q//EC,交BC延长线于点Q,根据角的关系证明

CD=CQ,又由。Q//EC,得到黑=经，进一步等量代换得要=*,即可得证；

BEBCBEBC

(2)②由第一小问知NC4D=NCB£>=30。，tanZCAD=—=^,设£>£="，则

BE3

BEfa,由条件求出8。的值，建立等量关系，分别求出OE的值，再证明

W3XCDE,根据相似三角形线段成比例得空=工，代入相关数值求解即可.

AEAB

【详解】

证明：(1)如图1,连接AC,

图1

答案第23页，共31页

•.AB=AD,

•,AB=AD，

：,ZACB=ZACD,

・•・点A到NC两边的距离相等；

(2)①,・,CD=CD，

:.NCAD=NCBD,

Q80为直径，

/.ZBCD=90°,

/.tanZ.CAD=tanZ.CBD=,

BC

如图2,过点。作。Q//EC,交3c延长线于点Q,

ZACB=ZQfZACD=NCDQ,

又由(1)知：ZACB=ZACDf

.•.NCQQ=NQ,

CD-CQ,

\CE//DQ,

,DECQ

…~BE~~BC

,DECD

DE

tanZ.CAD=----,

BE

②如图，

答案第24页，共31页

B'E

C

由(2)①得：ZC4D=ZCBD=30°,

则tan/CAD=,

BE3

设DE—a,则BE=\[3a,

Q8£>为直径，

:.ZBAD=90°,

•/AB=AD=3y/2,

:・BD=6,

a+\{3a=6，

解得：a=3也-3，

:.DE=36-3,BE=9-36,

又；ZBC£>=90°,

/.CD=BD'sinNCBD=3,

・；/BDC=/BAC,ZABD=ZACD,

s.^AE^^CDE,

：.-D-E=-C-D,

AEAB

4E=(36-3)•半=3#-30.

【点睛】

本题考查三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等

相关知识点，牢记知识点是解题关键.

21.(1)见解析

⑵加

【解析】

【分析】

答案第25页，共31页

(1)分别以点A,C为圆心，大于^AC长为半径画弧交于两点，连接这两点交4C于点

0,以。为圆心，0A为半径作圆交AB于点。；

(2)连接CD,根据4c是。。的直径，可得NADC=90。，由tan/4=g,可得CD=2,再

运用勾股定理可得AC=2jlU,从而可得圆的半径.

(1)

⑵

是圆。的直径

AZADC=90°,BPCD1AB

：BC=AC

AD=-AB=-x\2^6

22

VtanZA="

3

答案第26页，共31页

.CD1

.•---——

AD3

/.CD=-AD=2

3

在RfAACO中，AD2+CD-=AC2

AC=^Alf+CDr=>/62+22=2M

：.0(9的半径=gx2M=

【点睛】

本题考查了线段中点和圆的作图，圆的性质，，等腰三角形性质，勾股定理等知识，熟练掌

握圆的性质是解题关键.

22.(1)y=-x2+2x+3

⑵当r=g时，4取得最大值此时，尸4，：)

2424

⑶①Afi。。的周长为2+加+3⑸tanN8£)Q=；；②M(0,〃_3-)或