考研数学考前必背常考公式集锦(高等数学篇)

2016考研数学考前必背：常考公式集锦（高等数学篇）离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为高数的常考公式汇总。1、无穷小的比较设在某极限过程中，函数都为无穷小量，并且都不为.若，则称当时，为的高阶无穷小量，或为的低阶无穷小量，记作；若，则称当时，与同阶无穷小量，若，则称当时，与为等价无穷小量，记作.阶无穷小：设在某极限过程中，函数都为无穷小量，并且都不为.若，则称当时，是的阶无穷小.2、导数的四则运算法则：设函数与均可导，则，，.3、常用函数的阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、五个常用的麦克劳林公式，在与0之间.在与0之间.在与0之间.在与0之间.在与0之间.5、极值第一充分条件：设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导.①若时而时则在处取得极大值；②若时而时则在处取得极小值；③若时，符号保持不变，则在处不能取到极值.第二充分条件：设函数在处存在二阶导数且，①若则在处取得极小值；②若则在处取得极大值；③若则在处是否取极值未知.6、基本积分公式（1），（2）（3）（4），（5），（6），（7）7、定积分的性质1）规定：（1）（2）2）线性性质（1），（2），为常数3）4）区间可加性：注：不要求，只要和都存在就可以使用定积分的区间可加性.5）比较定理：（1）若在区间上恒有，则有；推论：（1）若在区间上恒有，则有（2）（3）估值定理：设为函数在区间上的最大值与最小值，则有：（4）积分中值定理：设函数在区间上连续，则至少存在一点，使得8、微积分基本定理1）内容：（1）设函数在区间上可积，令称为变上限积分（积分上限函数）.（2）变上限积分的导数：定理：若函数在区间上连续，则变上限积分在上可导，且（3）牛顿——莱布尼兹公式：设在区间上连续，是在区间上的一个原函数，则2）计算导函数（1）（2）（3）（4）9、平面图形的面积1）直角坐标系下平面图形的面积形式计算公式2）极坐标系下平面图形的面积在极坐标系下，由直线和和曲线所围图形的面积为.简单几何体的体积1）平行截面面积已知立体图形的体积立体在过点且垂直于轴的两个平面之间，以表示过点且垂直于轴的截面面积.则所求立体的体积为：2）旋转体的体积由连续曲线、直线及轴所围曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体.该立体的体积为：.10、偏导数设函数在点的某一邻域内有定义，把固定在而在处有增量，相应的函数有增量，若极限存在，则称函数在点处关于的偏导数存在，并定义此极限值为函数在点处对变量的偏导数，记作.类似地，可以定义函数在点处对变量的偏导数，记作.全微分：若函数在点的全增量可表示为，其中、仅依赖于而与、无关，则称函数在点可微，其中称为函数在点的全微分，记作，即.11、极值的充分条件：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令（1）若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值.（2）若，则函数在点不能取到极值.（3）若，则函数在点可能有极值，也可能没有极值.条件极值1）函数在条件下的极值，称为条件极值，其中函数称为目标函数，称为约束条件.2）拉格朗日乘数法：对条件极值给出解题方法：（1）作拉格朗日函数：（2）解方程组：（本质是找三元函数的驻点）（3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.12、直角坐标与极坐标相互之间的转化公式直角坐标与极坐标相互之间的转化公式为：，其中.极坐标下二重积分计算公式：极坐标适用范围：积分区域边界为圆或与圆相关图形（扇形，环形等）；被积函数可写成或被积函数中多次出现.模棱两可时用极坐标.对称性ⅰ）若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的偶函数，则积分值为等于第一二象限积分的两倍.ⅱ）若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的偶函数，则积分值为等于第一四象限积分的两倍.ⅲ）特别地，若积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函数，则积分值等于第一象限内的积分的四倍.ⅳ）轮换对称性：若设将积分区域的变量交换之后的区域为，则有.特别地，当关于直线对称时，，此时则有.13、球面坐标系下的三重积分计算：球面坐标通过三个变量式来确定三维空间中的点.其中为点到原点的距离，确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；和是两个角度：将平面部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点时，所转过的角度即为，可见，的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接，该连线与轴正半轴的夹角即为，可见的作用类似于纬度（只不过这个纬度是以南纬90度作为0度的）.它与直角坐标系的转换公式为.三重积分球面坐标转换公式：当被积函数中形如或，积分区域为球体、锥体时，可考虑用球面坐标.14、对弧长的曲线积分计算方法:=1\*GB3①设曲线的参数式为，则有计算公式：15、格林公式：设闭区域由分段光滑曲线围成，函数及在上具有连续的一阶偏导数，则有：，其中曲线取正向边界.注：1）在运用时要注意检验及是否具有所需的连续的一阶偏导数2）是闭合的3）正向定义：沿着曲线的方向走时，闭区域在其左手边16、对面积的曲面积分的计算方法：计算的原则是代入、投影解题思路：首先将积分曲面转化为，再将转化为，最后再确定曲面在平面上的投影即可.17、高斯定理：设空间闭区域是由分块光滑的闭曲面围成的，函数在上具有一阶连续偏导数，则有其中,是关于的外侧.18、斯托克斯公式：设是分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑有向曲面，与的方向符合右手规则（当拇指以外的四指沿着的方向运动时，拇指所指的方向与上法向量的指向一致），函数在上具有一阶连续偏导数，则有.19、二阶常系数线性微分方程的求解若二阶线性微分方程中函数均恒为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.我们下面讨论这类方程的解法，也即形如的方程的求解.先求解二阶常系数齐次线性微分方程：写出对应的特征方程求出特征方程的两个根.根据的不同形式，我们有如下的公式：的两个根微分方程的通解为两个不同实根为两个相同实根为一对共轭复根再求解二阶常系数非齐次线性微分方程：该方程的通解为，其中为齐次线性微分方程的通解，为非齐次线性微分方程的特解.下面讨论的求法形式条件所设特解形式为次多项式0不是特征根（为次多项式）0是单特征根0是重特征根为次多项式不是特征根是单特征根是重特征根不是特征根（，为次多项式）是特征根20、（比较审敛法）设与均为正项级数，若除了有限项以外，均有成立，则若收敛则也收敛，若发散，则也发散.推论1：设与均为正项级数，假设存在使得当时有成立.则有，若收敛则也收敛，若发散，则也发散.推论2（极限形式）：设与均为正项级数，当时，则与同敛散当时，若收敛则收敛.若发散则发散当时，若收敛则收敛.若发散则发散(3)