一元二次方程解法(公式法)教学案

一元二次方程的解法(公式)【目标导航】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的解一元二次方程的一般步骤，会熟练应用公式法解一元二次方程；2．初步了解一元二次方程根的情况;3.通过解决问题，让学生体验问题解决的成功感，从而养成积极思考、主动探究的学习习惯.【预习引领】1．用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0（2）4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．2.如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=二次项系数化为1，得x2+x=两边加上一次项系数一半的平方(配方)得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac≥0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±∴这个方程的根是x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定.3.利用上述推导得到的公式求下列方程的根(1)2x2-4x-1=0解：（1）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=∴x1=，x2=小结:以上解一元二次方程的方法叫公式法.【要点梳理】1．用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化为一般形式,确定a,b,c的值(各项系数若有分数,通常化为整数);(2)求出的值,根据的值的情况确定是否可以利用公式求解;(3)如果≥0,可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x1=，x2=2.注意问题:(1)用公式法解一元二次方程时,一定要将方程化成ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式,否则,找a,b,c时,很容易发生符号错误.(2)当=0时,方程的根写成的形式,从而说明一元二次方程有两个根,而不是一个根.例1解下列方程:(1)；【答案】(2)5x+2=3x2；【答案】原方程可化为：(3)；【答案】原方程可化为：(4)；【答案】原方程无解。【课堂操练】一.选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=B．x=C．x=D．x=【答案】D2．方程x2+4x+6=0的根是（）．A．，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-【答案】D3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2【答案】C4、（2011安徽，8，4分）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2【答案】D二.填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．【答案】x1=，x2=≥02．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．【答案】43．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m值是____．【答案】-34、（2011山东泰安，21，3分）方程2x2+5x-3=0的解是。【答案】x1=-3,x2=eq\f(1,2)三.用公式法解下列方程(1)；【答案】解：(2)；【答案】解：原方程可化为：(3)；【答案】解：原方程可化为：(4)；【答案】解：(5).【答案】解：原方程可化为：（6）(2011江苏南京，19，6分)解方程x2－4x＋1=0【答案】，，．四．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=（2）求代数式的值．【答案】解：（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，x1=，x2=∴（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴，∴原式===0．【课后盘点】1.用公式法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），必须满足条件_______________.【答案】≥0,如果a=2,b=－3，c＝－4，则＝_______.【答案】413.若a=1,b=－2，c＝－3，则＝_________.【答案】3方程x2－2x－1＝0的解为.【答案】x=方程的解是.【答案】x=-2或x=1如果分式的值为零，则＝.【答案】87、(20011江苏镇江,12,2分)已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.答案：1，-37.用公式法解下列方程：(1)x2+5x+5=0；【答案】解：(2)；【答案】解：原方程可化为：(3)2x2+7x=4；【答案】解：原方程可化为：(4)6x2-13x-5=0；【答案】解：(5)；【答案】解：原方程可化为：(6)；【答案】解：原方程可化为：（7）（2011湖北武汉市，17，6分）（本题满分6分）解方程：x2＋3x＋1=0．【答案】

∵a=1,b=3,c=1∴△=b2－4ac=9－4×1×1＝5＞0∴x=－3±

∴x1=－3＋

，x2=－3－8.用公式法解下列方程：(1)；【答案】解：原方程可化为：(2)；【答案】解：原方程可化为：(3)x2-(1+2)x+-3=0；【答案】解：(4).【答案】解：当时，当时，9.解方程有一位同学解答如下：【答案】解：∵=,=,=∴=－4××＝32∴＝＝＝故,请分析以上解答有无错误，如有请指出错误的地方，并写出正确的过程。【答案】解：有错误。应先将方程转化为一般形式：∵=,=,=-∴=－4××＝64∴＝＝＝故,10.方程的实数根有（）个A.4B.3C.2D.1【答案】A11.解关于的方程：.【答案】解：当时，若a>0,则若a=0,则若a<0,则此方程无解。当a=1时，原方程的解为。【课外拓展】1．用公式法解关于x的方程：．【答案】解：当b=0时，当时，2．某数学兴趣小组对关于x的方程提出了下列问题．（1）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？【答案】解：（1）存在．若使方程为一元二次方程，则m+1≠0，即m≠-1且m2+2=2，即m2=0，m=0；∴m=0，当m=0时，方程变为x2-2x-1=0，∵a=1，b=-2，c=-1，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，∴x===1±，∴x1=1+，x2=1-．因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根为x1=1+，x2=1-；（2）存在．若使方程为一元一次方程，要分类讨论：①当m2+2=1，即m2=-1，无解；②当m2+2=0，无解；③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0，所以m=-1满足题意；当m=-1时，原方程变为：-3x-1=0，解得x=．因此，当m=-1时，该方程是一元一次方程，其解为x=．3、（2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．【答案】（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x-1.75=0，解之，得：x=，∴x1=0.5x2=-0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）．4．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？【答案】（1），90千瓦时超