矩阵及其运算《工程数学线性代数》课件

矩阵及其运算《工程数学线性代数》课件2023REPORTING矩阵基本概念与性质矩阵运算规则与方法线性方程组与矩阵求解特征值与特征向量分析相似对角化与二次型化简工程应用案例分析目录CATALOGUE2023PART01矩阵基本概念与性质2023REPORTING矩阵定义：由$m\timesn$个数$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列的矩阵，简称$m\timesn$矩阵。记作矩阵定义及表示方法03a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}01$A=begin{pmatrix}02a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}矩阵定义及表示方法矩阵定义及表示方法vdots&vdots&ddots&vdotsa_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}end{pmatrix}$矩阵表示方法：矩阵通常用大写字母表示，如$A,B,C,ldots$。矩阵中的元素用小写字母加下标表示，如$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列的元素。矩阵定义及表示方法矩阵相等：两个矩阵行数相等、列数相等且对应元素相等，则称这两个矩阵相等。矩阵加法：两个同型矩阵（即行数相等、列数相等的矩阵）可以相加，相加时把对应元素相加。数与矩阵相乘：数与矩阵相乘时，用该数乘以矩阵的每一个元素。矩阵乘法：设$A=(a{ij})$是一个$m\timess$矩阵，$B=(b{ij})$是一个$s\timesn$矩阵，那么规定矩阵$C=(c{ij})$是一个$m\timesn$矩阵，其中$c{ij}=a{i1}b{1j}+a{i2}b{2j}+\ldots+a{is}b{sj}$，称为矩阵$A$与$B$的乘积，记作$C=AB$。矩阵基本性质行数与列数相等的矩阵称为方阵。方阵所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作$O$。零矩阵除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。对角矩阵主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的方阵称为单位矩阵，记作$I$或$E$。单位矩阵特殊类型矩阵PART02矩阵运算规则与方法2023REPORTING矩阵加法：两个矩阵只有当它们的行数和列数分别相等时才能相加。相加时，对应位置的元素直接相加。矩阵加法与数乘运算示例：$$begin{bmatrix}矩阵加法与数乘运算a&b\矩阵加法与数乘运算VSc&dend{bmatrix}矩阵加法与数乘运算·begin{bmatrix}矩阵加法与数乘运算矩阵加法与数乘运算e&f\g&hend{bmatrix}矩阵加法与数乘运算=a+e&b+fbegin{bmatrix}矩阵加法与数乘运算c+g&d+hend{bmatrix}矩阵加法与数乘运算$$数乘运算：数与矩阵相乘时，该数与矩阵中的每一个元素分别相乘。矩阵加法与数乘运算矩阵加法与数乘运算矩阵加法与数乘运算kbegin{bmatrix}矩阵加法与数乘运算a&b\c&dend{bmatrix}矩阵加法与数乘运算=begin{bmatrix}矩阵加法与数乘运算02030401矩阵加法与数乘运算ka&kbkc&kdend{bmatrix}$$矩阵乘法运算规则第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法的前提结果矩阵的第$i$行第$j$列元素等于第一个矩阵的第$i$行元素与第二个矩阵的第$j$列元素对应相乘后的和。运算规则VS示例：$$begin{bmatrix}矩阵乘法运算规则a&b\矩阵乘法运算规则c&dend{bmatrix}矩阵乘法运算规则timesbegin{bmatrix}矩阵乘法运算规则矩阵乘法运算规则e&f\g&hend{bmatrix}矩阵乘法运算规则123=begin{bmatrix}ae+bg&af+bh矩阵乘法运算规则矩阵乘法运算规则010203end{bmatrix}$$ce+dg&cf+dh矩阵的转置：把矩阵的行和列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。记作$A^T$。矩阵转置与逆运算矩阵转置与逆运算示例：$$begin{bmatrix}a&bc&d矩阵转置与逆运算e&fend{bmatrix}^T矩阵转置与逆运算矩阵转置与逆运算01=02begin{bmatrix}a&c&e03VSb&d&fend{bmatrix}矩阵转置与逆运算矩阵的逆（仅限于方阵）对于$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$（$I$为单位矩阵），则称$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。要点一要点二求逆方法通常通过伴随矩阵和行列式来求逆，公式为$A^{-1}=frac{1}{|A|}C_A$，其中$C_A$是$A$的伴随矩阵，$|A|$是$A$的行列式。矩阵转置与逆运算PART03线性方程组与矩阵求解2023REPORTING通过未知数和常数项，以等号连接形成的方程组。一般形式将未知数和常数项按一定规则排列成的矩阵，简洁明了地表示方程组。矩阵形式将未知数和常数项视为向量，通过向量运算表示方程组。向量形式线性方程组表示方法消元过程通过对方程组进行初等行变换，将方程组化为阶梯形矩阵，从而简化求解过程。回代求解从最后一个方程开始，逐个将已知数代入前一个方程求解，最终得到所有未知数的解。特殊情况处理对于无解或无穷多解的情况，需要特别处理并给出相应结论。高斯消元法求解线性方程组对于n个未知数的n个线性方程组成的方程组，当系数行列式不等于零时，方程组有唯一解，且解可以通过系数行列式和各未知数的代数余子式表示。通过具体实例，展示如何利用克拉默法则求解线性方程组，包括计算系数行列式、构造各未知数的代数余子式等步骤。克拉默法则介绍应用举例克拉默法则应用举例PART04特征值与特征向量分析2023REPORTING特征值与特征向量定义及性质特征值定义：设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的一个特征值。特征向量定义：对应于特征值λ的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。特征值与特征向量的性质k重特征值至多对应k个线性无关的特征向量。若A可逆，则A与A的特征多项式相同，从而A与A的特征值亦相同。不同特征值对应的特征向量线性无关。特征多项式求解步骤写出特征多项式|λE-A|。将求得的每一个特征值λ代入方程组(λE-A)X=0，求解得到对应的特征向量X。求解特征多项式|λE-A|=0，得到特征值λ。特征多项式定义：设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为A的特征多项式。特征多项式求解方法在结构力学中，常常需要求解结构的自振频率和振型，这可以通过求解结构的刚度矩阵和质量矩阵的特征值和特征向量来实现。在工程领域中的应用在计算机图形学中，常常需要对图形进行旋转、缩放等变换，这可以通过求解变换矩阵的特征值和特征向量来实现。在计算机科学中的应用在经济学中，常常需要研究市场的稳定性和均衡性，这可以通过求解市场供需矩阵的特征值和特征向量来实现。在经济学中的应用特征值与特征向量应用举例PART05相似对角化与二次型化简2023REPORTING010405060302定义：设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，记作$AsimB$。性质反身性：$AsimA$。对称性：若$AsimB$，则$BsimA$。传递性：若$AsimB$，$BsimC$，则$AsimC$。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。相似矩阵定义及性质对角化条件及步骤01对角化条件02$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。03若$n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值，则$A$可对角化。对角化条件及步骤对角化步骤1.求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。2.求出$f(lambda)=0$的全部根，即$A$的全部特征值$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n$。对角化条件及步骤3.对每一个特征值$lambda_i$，求出齐次线性方程组$(A-lambda_iI)X=0$的一个基础解系$alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir_i}$。4.将所有基础解系合并成一个矩阵$P=[alpha_{11},alpha_{12},ldots,alpha_{1r_1},alpha_{21},ldots,alpha_{nr_n}]$。5.计算$P^{-1}AP=Lambda$，其中$Lambda=text{diag}[lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n]$。配方法：通过配方将二次型化为标准型。具体步骤包括1.将二次型中的平方项系数提取出来。2.将剩余部分进行配方，得到完全平方项。二次型化简方法0102033.重复以上步骤，直到所有项都被配方完毕。正交变换法：通过正交变换将二次型化为标准型。具体步骤包括1.求出二次型的矩阵$A$。二次型化简方法2.求出$A$的特征值和特征向量。3.将特征向量单位化，得到正交矩阵$Q$。4.计算$Q^TAQ=Lambda$，其中$Lambda$是对角矩阵，其对角线元素为$A$的特征值。010203二次型化简方法5.将$Lambda$中的元素按照从小到大的顺序排列，得到新的对角矩阵$Lambda'$。6.计算$QLambda'Q^T=B$，其中$B$是二次型的标准型对应的矩阵。二次型化简方法PART06工程应用案例分析2023REPORTING刚度矩阵定义01在结构力学中，刚度矩阵用于描述结构在受力作用下的变形特性。它是一个对称矩阵，元素表示各个自由度之间的刚度系数。刚度矩阵建立02根据结构的几何形状、材料属性和边界条件，可以建立结构的刚度方程。通过求解刚度方程，可以得到结构在受力作用下的位移和应力分布。工程应用03刚度矩阵分析在桥梁、建筑、航空航天等工程领域具有广泛应用。通过对结构进行刚度分析，可以预测结构的变形和破坏行为，为工程设计提供重要依据。结构力学中刚度矩阵分析稳定性概念在控制系统中，稳定性是指系统在受到扰动后能够恢复到平衡状态的能力。稳定性是控制系统设计和分析的重要指标。稳定性判据通过构造控制系统的特征方程，可以求解系统的特征根。根据特征根的分布情况，可以判断系统的稳定性。常见的稳定性判据有劳斯判据、赫尔维茨判据等。工程应用控制系统稳定性判断在自动化、电气工程、机械工程等领域具有广泛应用。通过对控制系统进行稳定性分析，可以预测系统的动态响应和稳定性能，为控制系统的设计和优化提供重要依据。控制系统稳定性判断主成分分析原理主成分分