初中数学易错题23

23.1图形的旋转

一.选择题(共4小题)

1.如图1,在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,过点D作DE^AB点E,DF±

BC于点F.将NEDF绕点D顺时针旋转a°(0<a<180),其两边的对应边DE#、

DF分别与直线AB、BC相交于点G、P,如图2.连接GP,当aDCP的面积等

D.120

【分析】由旋转的性质可知，ZEDG=ZFDP,ZGDP=ZEDF=60°,判定^DEG会

△DFP,即可得出4DGP为等边三角形，求得cos/EDG=^J,即可得出/

DG2

EDG=60",进而得到a的大小.

【解答】解：VAB/7DC,ZBAD=60°,

AZADC=120°,又NADE=/CDF=30°,

，NEDF=60°,

由旋转的性质可知，ZEDG=ZFDP,ZGDP=ZEDF=60°,

DE=DF=b，NDEG=NDFP=90",

在ADEG和4DFP中，

"ZGDE=ZPDF

-NDEG=NDFP，

DE=DF

/.△DEG^ADFP,

，DG=DP,

...△DGP为等边三角形，

/.△DGP的面积=YIDG2=3在，

4

解得,DG=2加,

贝ijcosZEDG=—=—,

DG2

；.NEDG=60°,

当顺时针旋转60。时，ADGP的面积等于3册,

故选：C.

【点评】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋

转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋

转前、后的图形全等是解题的关键.

2.如图，在RtZXABC中,ZC=90°,AC=6,BC=8,把^ABC绕AB边上的点D顺

时针旋转90。得到△ABC,AU交AB于点E,若AD=BE,则△ADE的面积是

()

【分析】在RtZ\ABC中，由勾股定理求得AB=10,由旋转的性质可知AD=A,D,

设AD=A，D=BE=X,贝|DE=10-2X,根据旋转90。可证△A'DES^ACB,利用相似

比求X,再求aA'DE的面积.

【解答】解：RtZ\ABC中，AB=^AC2+BC2=1O,

由旋转的性质，设AD=A'D=BE=x,则DE=10-2x,

:△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90。得到△ABC,

NA'=NA,NA'DE=/C=90°,

.•.△A'DESAACB,

...DE图,即10-2x=_g_,

AzDACx6

解得x=3,

•••SMDE=LDEXA'D=L><(10-2X3)X3=6,

22

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质的运用.关

键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解.

3.如图，在△OAB中，OA=OB,NAOB=15。，在△OCD中，OC=OD,ZCOD=45°,

且点C在边0A上，连接CB,将线段OB绕点0逆时针旋转一定角度得到线

段0E,使得DE=CB,则NBOE的度数为（）

C.45°D.45°或60°

【分析】分两种情况进行讨论：0E在NBOD内部，0E农NBOD外部，分别根据

全等三角形的性质以及角的和差关系进行计算，即可得到NBOE的度数.

【解答】解：如图，当0E在NBOD内部时，若NDOE=NCOB=15。，则

由OD=OC,ZDOE=ZCOB,OB=OE可得，❷△OCB,

故DE=CB,

此时NBOE=45。-15°-15°=15°；

当0E，在NBOD外部时，则

由OD=OC,ZDOE'=ZCOB,OB=OE可得，AODE'^AOCB,

故DE'=CB,

此时NBOE'=45°-15°+15O=45°；

故选:B.

E'

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相

等，旋转前、后的图形全等.

4.如图，正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线，将aDCB绕着点D顺时

针旋转45。得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则

下列结论：

①DE平分NADB②BE=2-加③四边形AEGF是菱形④BC+FG=1.5

其中正确的结论是（）

【分析】依据RtAAED^RtAGED（HL）,即可得至【J/ADE=NGDE,进而得出DE

平分NADB；依据四边形AEGF为平行四边形，以及AE=GE,即可得到平行四

边形AEGF是菱形；依据HA=V2-1-ZH=45°,可得AE=®-1,进而得到BE=1

-（V2-1）=2-V2；根据四边形AEGF是菱形，可得FG=AE=&-1,进而

得至BC+FG=1+V2-1=V2.

【解答】解：•••正方形ABCD的边长为1,

.•.ZBCD=ZBAD=90°,ZCBD=45°,BD=^,AD=CD=1.

由旋转的性质可知：ZHGD=BCD=90°,ZH=ZCBD=45°,BD=HD,GD=CD,

.\HA=BG=V2-1>ZH=ZEBG=45°,ZHAE=ZBGE=90°,

.•.△HAE和aBGE均为直角边为亚-1的等腰直角三角形，

，AE=GE.

在RtAAED和RtAGED中，

[DE=DE,

iAD=GD'

ARtAAED^RtAGED(HL),

.,.ZAED=ZGED=1(180--ZBEG)=67.5°,AE=GE,NADE=NGDE,

2

二ZAFE=180°-ZEAF-ZAEF=180°-45°-67.5O=67.5O=ZAEF,DE平分NADB,

故①正确；

VHA=V2-1>ZH=45°,

.*.AE=V2-1，

/.BE=1-(圾-1)=2-圾，故②正确；

VAE=AF,AE=GE,AF±BD,EG±BD,

；.AF=GE且AF〃GE,

四边形AEGF为平行四边形，

VAE=GE,

,平行四边形AEGF是菱形，故③正确;

•.•四边形AEGF是菱形，

AFG=AE=V2-1，

，BC+FG=l+&-1=&,故④错误.

故选：D.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、

等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋

转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

二.填空题（共5小题）

5.如图，直线PQ〃MN,点A在PQ上，直角^BEF的直角边BE在MN上，且

NB=90。，ZBEF=30°.现将aBEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E,

F的对应点分别是E,F）,同时，射线AQ绕点A以每秒4。的速度按顺时针方

向旋转（Q的对应点是Q'）.设旋转时间为t秒（0WtW45）.

（1）NMBF=（90-t）。.（用含t的代数式表示）

（2）在旋转的过程中，若射线AQ，与边EF平行时，则t的值为6。或42°

P42

【分析】（1）直接根据速度和时间可得：ZFBF'=t0,所以根据余角的定义可得结

论；

（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角

的性质可得结论.

【解答】解：（1）如图1,由题意得：ZFBF'=t°,NFBM=90°,

.,.ZMBF'=900-t°=（90-t）",

故答案为：（90-t）°；

（2）①如图2,AQ'〃E'F',

延长BE'交AQ'于C,则NF'E'B=NACB=30。，

由题意得：ZEBE'=t°,NQAQ'=4t。，

.*.t+4t=30,

t=6°；

②如图3,AQ'〃E'F',

延长BE',交PQ于D,交直线AQ'于C,则NFEB=NACD=30°,

由题意得：ZNBE'=t°,NQAQ'=4t。，

，ZADB=ZNBE'=t°,

VZADB=ZACD+ZDAC,

A30+180-4t=t,

t=42°,

综上，在旋转的过程中，若射线AQ，与边EF平行时，则t的值为6。或42。；

故答案为：6。或42。.

图3

3

图1

【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键,

在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从

而可得同位角相等解决问题.

6.在重庆一中综合实践课上，老师让同学们以"探究直角板中的数学问题"为主

题开展教学活动：

如图1，"明礼崇德”小组的问学们探究到，将三角板的90。角与等腰Rt4ABC的

顶点C重合，将三角板绕点C按逆时针方向旋转，旋转后三角板的一直角边

与等腰RAABC斜边AB交于点D,在线段AB上取点E,使NDCE=45。，此时

他们探究到AD2+BE2=DE2；

如图2."求知求真”小组的同学们探究到将三角板中的60。角与等边4ABC的一个

顶点C合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转，旋转后三角板的斜边与边

AB交于点E,在线段AB上取点D,使NDCE=30。，此时他们测得AD=1,BE=1,

2

则线段DE=叵.

—2—

【分析】如图1，将4BCE绕点C顺时针旋转90。得到aACE',连接DE',证明△

DCE丝△DCE',可得DE=DE',由勾股定理可得结论；

如图2,将4BCE绕点C顺时针旋转60。得到△ACE',连接DE',过E'作E'F_LAB,

交BA的延长线于点F,先根据勾股定理计算DE，的长，同理得4ECD之△£（口,

可得结论.

【解答】解：如图1,•••△ACB是等腰直角三角形，

，NACB=90°,AC=BC,

将4BCE绕点C顺时针旋转90。得到△ACE',连接DE',

，NBCE=/ACE',CE=CE',ZB=ZCAE'=45°,BE=AE',

.,.ZDAE'=90°,

VZDCE=45",

，ZBCE+ZACD=ZACE'+ZACD=ZDCE'=ZDCE=45O,

/.△DCE^ADCE',

.".DE=DE',

RSADE'中，由勾股定理得：AD2+AE'2=DE'2,

.•.AD2+BE2=DE2；

如图2,•.'△ABC是等边三角形，

/.ZBCA=60°,AC=BC,

将Z\BCE绕点C顺时针旋转60。得到△ACE',连接DE',过E'作E'F_LAB,交BA的

延长线于点F,

.,.ZBCE=ZACE',CE=CE',ZB=ZCAE'=60°,BE=AE'=W,

2

AZE'AF=60°,

，ZAE'F=30°,

.•.AF=L\E'=S,E'F=2叵

244________________

由勾股定理得：DE=J呜产+(¥产华,

同理得△ECDgZXE'CD,

.•.DE=DE'=2/H,

2

故答案为：

图1

【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全

等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;

本题综合性强，难度适中，作辅助线构建三角形全等是解决问题的关键.

7.已知：如图，在正方形ABCD内取一点P,连结PA、PB、PD,将4PDA绕点

A顺时针旋转90°得AEBA,连EP.若PA=2,PB=2旄，PD=2^.下列结论：

①EBLEP；②点B到直线AE的距离为灰；③SMPD+SMPB=1+&;@S正方形

ABCD=16+4加.其中正确结论的序号是①②④.

【分析】①根据旋转的性质可得：4AEP是等腰直角三角形，则NAED=45。，所

以NBEP=135°-45°=90°,可作判断；

②作垂线段BF,根据等腰直角4BEF的性质可得BF的长；

③连接BD,求出4ABD的面积，然后减去4BDP的面积即可；

④根据勾股定理可得AB?,从而得正方形的面积.

【解答】解:①:将APDA绕点A顺时针旋转90。得AEBA,

AZEAP=90°,AE=AP,NAPD=NAEB,

.••△AEP是等腰直角三角形，

；.NAED=45°,

二NBEP=NAEB-ZAED=ZAPD-ZAED=135°-45°=90°,

AEBlEP；

故①正确；

②过B作BFLAE,交AE的延长线于F,

VAE=AP=2,ZEAP=90°,

，NAEP=NAPE=45°,

又YEBLED,BF1AF,

，NFEB=NFBE=45",

又：BE=PD=2b

.•.BF=^=加，即点B到直线AE的距离为遥；

V2

故②正确；

④如图，连接BD,在RtZSAEP中，

VAE=AP=2,

，EP=2后，

RtAABM中，AB=-\/AF2+BF2=7（2+V6）2+（V6）2=V1^+4V6»

••S正方形ABCD二AB2=16+4加，

故④正确；

（§）SAABP+SAADP=SAABD-SABDP=—S正方形ABCD--XDPXBE=—（16+4A/G）-

222

yX2V3><2后2+2心

故③不正确.

所以本题正确的结论有：①②④;

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正

方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，综合性较强，难

度适中，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关

键.

8.在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,m)绕坐标原点。顺时针旋转90。后,

恰好落在图中阴影区域(包括边界)内，则m的取值范围是2.5WmW3.

【分析】将阴影区域绕着点。逆时针旋转90。，与直线x=-2交于C,D两点，

则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围.

【解答】解：如图，将阴影区域绕着点。逆时针旋转90。，与直线x=-2交于C,

D两点，则点A(-2,m)在线段CD上，

又•；点D的纵坐标为2.5,点C的纵坐标为3,

Am的取值范围是2.5WmW3,

故答案为：2.5WmW3.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图

形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.

9.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横

坐标为3.把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，

在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F,若

△POE为等腰三角形，则点F的坐标为（0,0）或（0,3）或（0,6-3及）

或（0,6+3出）

【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE=OE；②。P=PE；③OP=OE,

依据OF的长即可得到点F的坐标.

【解答】解：APOE是等腰三角形的条件是：OP、PE、E0其中有两段相等，分

情况讨论：

①当PE=OE时，PE10C,则PF，y轴，则0F=PE=3,故F的坐标是（0,3）；

止匕时，0F=3-(3&-3)=6-3血，

当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF=AE=0E+A0=3亚+3,

此时，0F=3+（3亚-3）=6+3&,

，点F的坐标是：（0,6-372）或（0，6+3&）.

故答案为：（0,0）或（0,3）或（0,6-372）或（0，6+3^2）.

【点评】本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决

问题的关键是画出图形进行分类讨论.

三.解答题（共6小题）

10.如图甲，在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=&，PC=1,求NBPC

度数的大小和等边三角形ABC的边长.

①李明同学做了如图乙的辅助线，将aBPC绕点B逆时针旋转60。，如图乙所示,

连接PP',从而问题得到解决.你能说明其中理由并完成问题解答吗？

②如图丙，在正方形ABCD内有一点P,且PA=J^,BP=圾，PC=1；求NBPC度

数的大小和正方形ABCD的边长.

【分析】①根据旋转得出AP,=CP=1,BP'=BP=«,NAPB=NBPC,求出NABP，+

ZABP=60°,得至I」等边△BPP，，推出PPZ=PB=«,NBP'P=60°,求出NAP'P=90°,

即可求出NBPC；过点B作BM_LAP，，交AP，的延长线于点M,由NMPB=30。,

求出BM=1,P（M=2,根据勾股定理即可求出答案；

22

②同理求出NBEP=L（180。-90。）=45°,根据勾股定理的逆定理求出NAEP=90。,

2

推出NBPC=NAEB=90°+45°=135°；过点B作BF_LAE,交AE的延长线于点F,

求出FE=BF=1,AF=2,根据勾股定理即可求出AB.

【解答】解：①:△ABC是等边三角形，

ZABC=60°,

将aBPC绕点B逆时针旋转60。，如图乙所示，连接PP',

.,.AP=CP=1,BP，=BP=«,ZAP,B=ZBPC,

由旋转得：ZP'BP=ZABC=60°,

.••△BPP，是等边三角形，

.•.PP'=PB=F，NBP'P=60°,

•.•AP'=1,AP=2,

...AP'2+PP'2=AP2,

.'.NAP'P=90°,

NBPC=NAP'B=90°+60°=150°,

过点B作BM_LAP，，交AP，的延长线于点M,

AZMPZB=3O°,BM」P'B=返，

22______

由勾股定理得：P，M=J（«）2T号产、

.•.AM=AP'+P'M=I+3=旦

22_________

由勾股定理得：AB史居萨整）2+（浮2s

②将ABPC绕点B逆时针旋转90。得到AAEB,如图丙，

与（1）类似：可得：AE=PC=1,BE=BP=、R,NBPC=NAEB,

，NEBP=NABC=90°,

NBEP=45°,

由勾股定理得:EP=2,

VAE=1,AP=&，EP=2,

/.AE2+PE2=AP2,

，ZAEP=90",

/.ZBPC=ZAEB=900+45o=135°,

过点B作BFLAE,交AE的延长线于点F；

/.ZFEB=45°,

.*.FE=BF=1,

，AF=2；

...在RtZ\ABF中，由勾股定理，WAB=VAF2+BF2=V22+12=^;

答：NBPC的度数是135。，正方形ABCD的边长是证.

【点评】本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角

形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知

识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键.

11.将一副直角三角板如图(1)放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。角

的三角板的直角边完全重合.

(1)直接写出NADC的度数为135。；

(2)含30。角的三角板位置保持不变，将含45。角的三角板绕点。顺时针方向旋

转.

①如图2,射线BA与射线DC交于点E,ZBED的平分线与NBOD的平分线交于

点F,求NEFO的度数；

②若将含45。角的三角板绕点0顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，

存在△COD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及

相应的旋转角度.

【分析】(1)依据/CDO=45。，即可得到NADC的度数；

(2)①设AO、EF相交于G,然后根据三角形的内角和定理以及四边形内角和，

列式整理即可得解.

②将三角板ACOD继续绕。顺时针旋转，根据平行线的性质即可求出相应的旋

转角度.

【解答】解：(1)由题可得，ZCDO=45°,

，ZADC=180°-45°135°,

故答案为:135°；

(2)①如图2,TEF平分NBED,OF平分NBOD,

/.ZAEF=1ZBED,ZBOF=1ZBOD,

22

,/ZAGE=ZFGO,

，ZGAE+ZAEG=ZF+ZFOG,

即15O°+1ZBED=ZF+9O°+1ZBOD,

22

/.ZF=60°-1(ZBOD-ZBED),

2

丁四边形AOCE中，

ZAEC=360°-ZEAO-ZECO-ZAOC

=360°-150°-135°-(360°-90°X2-ZBOD)

=ZBOD-105°,

AZBOD-ZAEC=105°,

AZF=60°-1(ZBOD-ZBED)=60°-lxi05°=7.5°；

22

②分5种情况进行讨论：

如图，当OC〃AB时，旋转角度=/86«2=120。；

A

D

如图，当CD〃AB时,旋转角度=/8。：=165。；

如图，当。D〃AB时,旋转角度=360。-90°-60°=210°；

如图，当OC〃AB时，旋转角度=360。-60°=300°；

如图，当CD〃AB时,旋转角度=360°-15°=345°.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键是

分情况画出图形，根据三角形外角性质以及平行线的性质进行求解.

12.如图，点0为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，AAOC是边长为2

的等边三角形.

（1）写出aAOC的顶点C的坐标：（T,4）.

（2）将△AOC沿x轴向右平移得到AOBD,则平移的距离是2

（3）将△AOC绕原点。顺时针旋转得到△OBD,则旋转角可以是120度

（4）连接AD,交。C于点E,求NAEO的度数.

【分析】（1）过C作CHLAO于H,利用勾股定理即可得到点C的坐标为（-1,

V3）；

（2）依据对应点的位置，即可得到平移的距离；

（3）依据旋转的方向以及对应点的位置，即可得到旋转角的度数；

（4）判定4ACE名即可得到CE=OE,依据三线合一可得AD_LCO.

【解答】解：（1）如图，过C作CHLAO于H,贝1JHO=L\O=1,

2

.•.RtACOH中，"62_]2=加,

...点C的坐标为（-1,丑），

故答案为：（T,«）;

（2）由平移可得，平移的距离=AO=2,

故答案为：2；

（3）由旋转可得，旋转角=NAOD=120。，

故答案为:120；

（4）如图，：AC〃OD,

，NCAE=NODE,ZACE=ZDOE,

XVAC=DO,

/.△ACE^ADOE,

；.CE=OE,

.*.AD±CO,即NAEO=90°

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化以及等边三角形的性质，解题时注意：

等边三角形的三个内角都相等，旦都等于60。.等边三角形是轴对称图形，它

有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线

是对称轴.

13.如图，在等边aBCD中，DF_LBC于点F,点A为直线DF上一动点，以B为

旋转中心，把BA顺时针方向旋转60。至BE,连接EC.

（1）当点A在线段DF的延长线上时，

①求证：DA=CE；

②判断NDEC和NEDC的数量关系，并说明理由；

（2）当NDEC=45。时,连接AC,求NBAC的度数.

【分析】（1）①根据旋转变换的性质、等边三角形的性质证明ABAD之△BEC,

根据全等三角形的性质证明；

②根据全等三角形的性质解答；

（2）分点A在线段DF的延长线上、点A在线段DF上、点A在线段FD的延长

线上三种情况，根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】（1）①证明：•••把BA顺时针方向旋转60。至BE,

，BA=BE,ZABE=60°,

在等边4BCD中，DB=BC,ZDBC=60",

/.ZDBA=ZDBC+ZFBA=60°+ZFBA,

VZCBE=60°+ZFBA,

AZDBA=ZCBE,

/.△BAD^ABEC,

ADA=CE；

②NDEC+NEDC=90°,

VDB=DC,DA±BC,

•'•ZBDA=yZBDC=30°，

VABAD^ABEC,

/.ZBCE=ZBDA=30°,

在等边aBCD中，ZBCD=60°,

ZACE=ZBCE+ZBCD=90",

AZDEC+ZEDC=90°；

（2）分三种情况考虑：

①当点A在线段DF的延长线上时，

由（1）可得，4DCE为直角三角形，

.,.ZDCE=90°,当NDEC=45°时，ZEDC=90°-ZDEC=45°,

/.ZEDC=ZDEC,

，CD=CE,

由（1）得DA=CE,

，CD=DA,

在等边aDBC中，BD=CD,

，BD=DA=CD,

，NBDC=60°,

*.•DA±BC,

ZBDA=ZCDA^yZBDC=30°，

在aBDA中，DB=DA,

ZBAD^18Q0-ZBDA^75°，

在△DAC中，DA=DC,

・••NDACJ80°；NADC=75°,

AZBAC=ZBAD+ZDAC=75°+75°=150\；

②当点A在线段DF上时，

,/以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE,

；.BA=BE,ZABE=60°,

在等边△BDC中，BD=BC,ZDBC=60°,

/.ZDBC=ZABE,ZDBC-ZABC=ZABE-ZABC,即NDBA=NEBC,

/.△DBA^ACBE,

，DA=CE,

在RtADFC中，ZDFC=90°,

.♦.DFVDC,

VDA<DF,DA=CE,

/.CE<DC,

由②可知ADCE为直角三角形，

，NDECW45°.

③当点A在线段FD的延长线上时，

同第②种情况可得aDBA之aCBE,

，DA=CE,NADB=NECB,

在等边△BDC中，ZBDC=ZBCD=60°,

DA±BC,

ZBDF=ZCDF^j-ZBDC=30°，

/.ZADB=180°-ZBDF=150°,

AZECB=ZADB=150",

/.ZDCE=ZECB-ZBCD=90°,

当NDEC=45°时，ZEDC=90°-ZDEC=45°,

/.ZEDC=ZDEC,

CD=CE,

，AD=CD=BD,

VZADB=ZADC=150°,

.../BAD=隼a,，/CAD=隼415。，

ZBAC=ZBAD+ZCAD=30°,

综上所述，NBAC的度数为150。或30。.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转变换的性

质是解题的关键.

14.菱形ABCD的边长为3,ZBAD=60°.

(1)连接AC,过点D作DELAB于点E,DFLBC于点F,DE、DF交AC于点M、

N.

①依题意补全图1;

②求MN的长；

(2)如图2,将(1)中NEDF以点D为中心，顺时针旋转45。，其两边DE\DF

分别与直线AB、BC相交于点Q、P,连接QP,请写出求△DPQ的面积的思路.(可

以不写出计算结果)

【分析】(1)连接BD,设BD交AC于0,依据4ABD为等边三角形，AC1BD

于点0,ZDAC=1ZDAB=3O",可得RtaAOD中，。人=在春茄展•|谯，进而

得到AC=2OA=3«.依据DE1AB,可得E为AB中点，进而得出幽粤工，

CMCD2

生工，即可得到M、N是线段AC的三等分点，进而得出MN=L\C=F.

AN23

(2)在RtaDCF中，先求出DF的长；在RtZ\DFP中，求出DP的长；通过证明

△DQA且△DPB,即可证明△DPQ是等边三角形；根据DP的长，计算等边三

角形的面积.

【解答】解：(1)①如图所示：

②连接BD,设BD交AC于0,

'在菱形ABCD中，ZDAB=60°,AD=AB,

.'.△ABD为等边三角形，ACLBD于点0,ZDAC=1ZDAB=3O