初中数学第28章锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数

测试1锐角三角函数定义

学习要求

理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义.能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的

三角函数值.

课堂学习检测

一、填空题

1.如图所示，B、B'是NMAN的AN边上的任意两点，BCLAM于C点，B'C±

ARr()

A用于C'点，则△B/C's______,从而久_=££_=」，又可得

BC()AC

①----=,即在RtZXABC中(/C=90°),当NA确定时，它的与

AB

的比是一个值；

AT'

②次；=,即在Rt/XABC中(NC=90°)，当N4确定时，它的与

的比也是一个；

?C'

^-=,即在RtZ\ABC中(NC=90°),当/A确定时，它的与

第1题图

2.如图所示，在Rt/XABC中，NC=90°.

()

①sinA=

斜边

②)-()_

cosA=1cos8=

斜边斜边

tan8=42的型.

③tanA=-~5不不?

ZA的邻边()

3.因为对于锐角a的每一个确定的值，sina、cosa、tana分别都有与它

,所以sina、cosa、tana都是.又称为a的.

4.在RtZiABC中，ZC=90°,若a=9,6=12,则c=,

sinA=,cosA=,tanA=

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

5.在RtZXABC中,ZC=90°；,若〃=1,b=3,贝ljc=,

sinA=,cosA=,tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

6.在Rt/XABC中,ZB=90°,若a=16,c=30,则b=______

sinA=,cosA=，tanA=，

sinC=______，cosC=_____tanC=______・

7.在Rt/XABC中,ZC=90°；,若NA=30°,则NB=_____,

sinA=,cosA=，tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

二、解答题

8.已知：如图，RtZXTNM中，NTMN=90°,MRLTN于R点,,TN=4,MN=3.

求：sinNTMR、cosNTTWR、tanZTM/?.

3

9.已知RtaABC中，NC=9(r,tanA=：,BC=12,求AC、A8和cosB.

综合、运用、诊断

10.已知：如图，Rt/XABC中，ZC=90°.。是AC边上一点，DELAB于E点.

DE：AE=1：2.

求：sinB、cosB、tanB.

3

II.己知：如图，。。的半径04=16cm,OCJ_AB于C点，sinZAOC=--

4

求：A8及0C的长.

3

12.已知：。0中，OC_LA8于。点，AB=16cm,sinZ4OC=—・

5

(1)求。0的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cosNAOC及tanZAOC.

sinA='

13.己知：如图，△ABC中，AC=12cm,AB=16cm,

3

⑴求A8边上的高CD；

(2)求△ABC的面积S；

⑶求tan艮

14.己知：如图，△A8C中，A8=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sin8.

拓展、探究、思考

15.已知：如图，RtZXABC中，ZC=90°,按要求填空:

A

b

/.tz=c-sinA,c=；

.h

(2)\*cosA=一,

c

,•6=,c~~；

(3)vtanA=—,

b

..a=,b=；

(4),/sinB=亍,cosB=,tanB=；

3.

(5)・.・cosB=1,*,•sinB-,tanA=；

(6)Vtan5=3,・'・sinB=,sinA=.

16.已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐

标为(1,0),以原点。为圆心，04长为半径画弧，交y轴于B点，交0M于尸点,

作CAJ_x轴交OM于C点.设NX0M=a.

求：尸点和。点的坐标.(用a的三角函数表示)

17.已知:如图，△A3C中，ZB=30°，P为AB边上一点,于。.

(1)当BP:PA=2：1时，求sinZKcosNl、tanZl；

(2)当BP：B4=l：2时,求sin/1、cosZl>tanZl.

测试2锐角三角函数

学习要求

1.掌握特殊角(30°,45°,60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求

一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角.

2.初步了解锐角三角函数的一些性质.

课堂学习检测

一、填空题

1.填表.

锐角a30°45°60°

sina

cosa

tana

二、解答题

2.求下列各式的值.

(I)2sin30°-V2cos45<,

(2)tan300—sin60°•sin300

(3)cos45°+3tan30°+cos30°+2sin60°—2tan45°

(4)cos245°——!—+—!—+cos230°+sin245°

sin3(Ttan3(y

3.求适合下列条件的锐角a.

(2)tana=W

(l)cosa=—

2

⑶sin2a=*

(4)6cos(a-16°)=3V3

4.用计算器求三角函数值(精确到0.001).

(I)sin23°=；(2)tan54°53'40"=

5.用计算器求锐角a(精确到1").

(1)若cosa=0.6536,则£=；

(2)若tan(2a+10°31'7")=1.7515,则&=

综合、运用、诊断

12

6.已知：如图，在菱形ABCD中，DELABE,fi£=16cm,sin^=—•

13

求此菱形的周长.

7.己知：如图，在AABC中，NBAC=120°,AB=10,AC=5.

求：sin/ACB的值.

8.已知I：如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,NBAC=30°,延长C4至。点，使A£>=

AB.求：

(1)ND及NDBC；

(2)tanD及tanZDBC；

(3)请用类似的方法，求tan22.5°.

9.已知：如图，RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=6作ND4C=30°,AD

交CB于D点,求:

B

(l)ZBADi

(2)sinZBADcosZBADtanZBAD.

10.已知：如图△ABC中，。为8C中点，且NBAD=90°,tanN3=1,求：sinZCAD.

3

cosZCADytanZCAD.

拓展、探究、思考

11.已知：如图，/AOB=90°,AO=OB,C、。是&上的两点，ZAOD>ZAOC,

求证：

(l)0<sinZ^OC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而

(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而

12.已知1：如图，CArAO,E、F是AC上的两点，ZAOF>ZAOE.

(1)求证：lan/4Ob>lanN4OE；

(2)锐角的正切函数值随角度的增大而

13.已知：如图，RtZXABC中，ZC=90°，求证:

(l)sin2A+cos2A=1；

sinA

(2)tanA=

cosA

14.化简：Jl-2sincrcosa(其中0°<a<90°)

15.(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想:

①sin30°2sinl5°cosl50；②sin36°2sinl80cosl8°

③sin45。—____2sin22.5°cos22.5°；(4)sin60°_____2sin30°cos30°

⑤sin8(T2sin40°cos400；@sin90°2sin45°cos450

猜想：若0°Va<45°,则sin2a2sinacosa.

(2)己知：如图，△ABC中，AB=AC=\,N8AC=2a.请根据图中的提示，利用

面积方法验证你的结论.

16.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于。，BELAC于E,交A。于“

点.在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面

积的积SZMBC•SMBC的值是否随着变化?请说明你的理由.

测试3解直角三角形（一）

学习要求

理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型.

课堂学习检测

一、填空题

1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）:

在中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,

第1题图

①三边之间的等量关系:

②两锐角之间的关系:

③边与角之间的关系：

sinA=cos5=；cosA=sin3=

“11八

tanA=-------=_____；-----=tanB=______

tanBtanA

④直角三角形中成比例的线段（如图所示）.

第④小题图

在Rt^ABC中，ZC=90°,CDLABTD.

CD2=；AC2=；

Bd=；AC•BC=

⑤直角三角形的主要线段（如图所示）.

第⑤小题图

直角三角形斜边上的中线等于斜边的,斜边的中点是.

若7•是RtZ\ABC（NC=90°）的内切圆半径，则r==.

⑥直角三角形的面积公式.

在RtZ\A8C中，/C=90°,

S&ABC=.（答案不唯一）

2.关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道

（其中至少）,这个三角形的形状、大小就可以确定下来.解直

角三角形的基本类型可分为己知两条边（两条或斜边和）及已知

一边和一个锐角（和一个锐角或和一个锐角）

3.填写下表：

已知条件解法

i条边和斜边c和锐角/AZB=—___，a=______，b—______

一个锐角直角边a和锐角NA/B=—___，h=______，c=______

两条直角边。和匕c=_____由_____求2,NB=______

两条边

直角边a和斜边cb=_____由______求4,NB=______

二、解答题

4.在RtZ^ABC中，ZC=90°.

(1)已知：4=35,c=35y/2,求/4、NB,b；

(2)已知：a=26，b=2,求NA、ZB,c；

.2

（3）已知:sinA=—,c=6,求a、b；

3

3

（4）己知:tanB=—,b=9,求〃、

2

(5)已知：NA=60°,/XABC的面积S=12、/》,求a、b、c及NB.

综合、运用、诊断

5.已知：如图，在半径为R的。。中，/AO8=2a,OC_LAB于C点.

(1)求弦AB的长及弦心距；

(2)求。。的内接正〃边形的边长斯及边心距/•„.

6.如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼

梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC'=

BB'=3.2m.结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到

0.1m).(参考数据：sin30°=0.50,cos30°-0.87,sin35°弋0.57,cos350*=0.82)

7.如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm,台阶面的宽为30cm,

为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A,斜坡

的起点为C,求AC的长度(精确到1cm).

拓展、探究、思考

8.如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m,冬天太

阳光与水平面的夹角为30°.

（1）若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那

么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?（保留根号）

（2）由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BL»=21m,若仍要求冬天甲楼的影子不能

落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层？

9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到8地，再从8地向正南方向走200m

到C地，此时王英同学离A地多少距离？

10.已知：如图，在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少

米?（保留整数）

测试4解直角三角形（二）

学习要求

能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形.

课堂学习检测

1.已知：如图，ZiABC中，ZA=30°,ZB=60°,AC=10cm.

求AB及BC的长.

C

AB

2.已知：如图，RtZ\ABC中，ZD=90°,ZB=45°,ZACD=60°.BC=10cm.求A。

的长.

3.已知：如图，△ABC中，NA=30°,ZB=135°,AC=10cm.

求AB及BC的长.

4.己知：如图，RtZ\4BC中，NA=30°,/C=90°,NBDC=60°,BC=6cm.求A。

的长.

综合、运用、诊断

5.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶4处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点

。的俯角为45°,又知河宽8为50m.现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳

AC,求山的高度及缆绳AC的长（答案可带根号）.

6.已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以

每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮

继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?（精确到0.1海里，6al.732）

北

7.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶

端在8点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在。点.已知N84C=60°,ZDAE=

45°.点。到地面的垂直距离OE=3后m,求点8到地面的垂直距离BC.

8.已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB

的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m,斜坡坡面

上的影长CO=8m,太阳光线AO与水平地面成26°角，斜坡CQ与水平地面所成的锐

角为30°,求旗杆AB的高度（精确到1m）.

9.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m,到达

一个景点8,再由8地沿山坡BC行走320米到达山顶C,如果在山顶C处观测到景点

B的俯角为60°.求山高C"精确到0.01米).

10.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一

根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的

长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m.问路灯高度为多少米？

11.已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500V3m

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m,到达目的地C点.求

(1)A、C两地之间的距离；

(2)确定目的地C在营地A的什么方向?

12.已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤.大堤高5m,坝

顶宽4m,迎水坡和背水坡都是坡度为1：1的等腰梯形.现要将大堤加高1m,背水坡

坡度改为1：1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需

多少立方米的土石？

拓展、探究、思考

13.己知：如图，在△ABC中，AB=c,AC=b,锐角/4=a.

(1)BC的长;

⑵△ABC的面积.

14.已知：如图，在△ABC中，AC=h,BC=a,锐角NA=a,AB=/3.

⑴求AB的长；

(2)求证：‘一=」一

sincrsin£

15.已知：如图，在RtZ\AQC中，ZD=90°,ZA=a,ZCBD=j3,AB=a.用含〃及

a、尸的三角函数的式子表示C。的长.

16.已知：△ABC中，ZA=30°,AC=10,8。=5后，求A8的长.

17.已知：四边形ABC。的两条对角线4C、8。相交于E点，AC=a,BD=b,NBEC

=«(0°<a<90°),求此四边形的面积.

测试5综合测试

1.计算.

2cos6002sin30°+sin245°+tan30°-tan60°

(1)--------尸------(2)---------------------------

tan60°-J2tan45°cos-30,+cos-60°

2.已知：如图，ZvlBC中，ZACB=90°,CD_LAB于Q,AB=32,BC=12.

求：sin/AC。及AO的长.

4

3.已知：RtZ\ABC中，NACB=90°,CD_LAB于。点，AB^2m,BD^m~\,COS=--

(1)用含〃，的代数式表示BC；

(2)求机的值；

4.已知：如图，矩形A8C£>中，AB=3,BC=6,BE=2EC,OM_LAE于M点.求DW的

长.

B

EC

5.已知I：如图，四边形ABCQ中，NA=45°,ZC=90°,NABD=75°,NDBC=

30°,AB=2a.求BC的长.

6.已知：如图，四边形ABC。中，ZA=ZC=90°,ZD=60°,AD=5耳.AB=3,

求BC的长.

7.已知：如图，ZVIBC内接于。。，BC=m,锐角NA=a,

(1)求。。的半径R；

(2)求△ABC的面积的最大值.

8.已知：如图，矩形纸片ABC。中，BC=m,将矩形的一角沿过点8的直线折叠，使4点

落在DC边上，落点记为A',折痕交AO于E,若/A'BE=a.

求证：EB=------------------

cosa-sin2a

答案与提示

第二十八章锐角三角函数

测试1

1.ABAC,AB,AC.

BC

①1,对边，斜边，固定；

AB

AC

②------,邻边，斜边，固定值:

AB

BC

③----，对边,邻边，固定值.

AC

b

2.①/A的对边,的对边,

cC

a

②/A的邻边,-,ZB的邻边,

Cc

b

③/A的对边,的邻边,

ba

3.唯一确定的值,对应，a的函数，锐角三角函数.

343434

4.15,

5'5'4'5'5’3

而叵3V10J3V10V10

5.

J_151515

6.34

'17'17'15'17'17'8

昱叵叵

7.D6Gu,2L,2，3，2L6

8.sinZTMR=sinN=',cosZTMR=cosNN=二,tan/TMR=tanN=、

445

3

9.AC=16,AB=20,cosB=

5

10.sinB=-,cosB=,t皿B=2.

11.AB=2AC=2AO•sinZAOC=24cm,OC=VCM2—AC2=4V?cm

403943

12.(l)Q4=ycm,OC=ycm;(2)cosZAOC=-,tanZAOC=~

1

13.(1)CD=AC・sinA=4cm；(2)S=-ABxCD=32cm-9;

2+叵

(3)tanB

4

14.sinB=—•

3

a4b

15.(I)——；(2)c-cosA,------;

sinAcosA

(3)h-tanA,---;(4)—,V3；

tanA2

43-3函Vio

⑸二q；

16.P(cosa,sina),C(l,tana).提示：作轴于。点.

(l)sinZ1=噂,cosNl=—,tanZl=V3.

17.

22

⑵sin/l=第8sNl=¥，tanNl邛,

提示：作AE_LBC于E,设AP=2.

测试2

锐角a30°45°60°

sina也V3

2T

]_

cosa也V2

T2

tana1V3

~T

2.(1)0；(2)W^(3)~A/3+^^-2;(4)y[3--

12224

3.(l)a=60°；(2)a=30°；(3)22.5°；(4)46°.

4.(1)0.391；(2)1.423.

5.(1)49°ir11"；(2)24°52'44".

6.104cm.提示：设。E=12xcm,则得AZ)=13xcm,AE=5xcm.利用3E=16cm.

列方程8x=16.解得x=2.

7.华,提示：作3DLCA延长线于。点.

8.(1)ZD=15°,ZDBC=75°；

(2)tanO=2-底tanZDBC=2+73;(3)tan22.5°=V2-1.

9.(1)15°；

A/6—5/276+V2广

(2)sin/.BAD=------,cosZ.BAD=--------,tan/BAO=2-V3.

44

10.可牛，结3,3.提示：作OE〃41,交AC于E点，或延长A。至凡使力尸=

13132

AD,连结CF.

11.提示：作CEJ_OA于E,作。尸，0A于尸.(3)增大，(4)减小.

12.(2)增大.

13.提示：利用锐角三角函数定义证.

14.原式=Jsin?cr+cos2a—2sinacosa

=J(sin<z-cosa)2

=|sina-cosa|

sina-cosa(45°<a<90°),

cosa-sina(0°<a<45°).

15.(1乂3)~⑥略.sin2a=2sinacosa.

(2)vS>ABC=gAC5E=gxlxsin2a=^sin2a,

SMBC=gBC-AD=BDxAD=sina•cosa,

/.sin2a=2sinacosa.

2

16.不发生改变，设NBAC=2a,BC=2m,则50品,Svffic=,（机？tana）=加*.

测试3

1.0a2+Z?2=c2；②/A+/B=90。：③”,0,2；

ccba

@AD•BD,AD•AB,BD♦BA,AB•CD：

⑤一半，它的外心，"+8—c（或_业）

2a-^-b+c

⑥〃或（/:为斜边上的高）或,〃csinA或'acsinA或，r（a+Z?+c）.

22

什为内切圆半径）

2.两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边.

3.90°—ZA,sinA,cosA；

9tanAsinA9

c=yja2+b2,tanA=—,90°-ZA;

b

b-ylc2-a2,sinA=—,90°-ZB.

c

4.(1)ZA=45°,N8=45°,6=35；

(2)NA=60°,ZB=30°,c=4；