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浅谈数列标准递推式的求法六安二中已知形如数列的“标准递推公式”求其通项公式这样的问题已经比较常见，也不难解决了．但很多题没有明确给出“标准的递推式”，其递推关系是用其他形式给出，如20XX年安徽省高考文科数学卷的21题，就是以图形的形式给出递推关系，解此题的关键是如何求出“标准的递推式”，这也是不少同学头痛的问题．笔者现在结合实例，就如何求数列的标准递推式，谈谈自己的一点体会，希望对同学们有所帮助．例1（1）已知数列的前项和为，，，则的通项公式为；（2）已知各项均为正的数列满足，，则的通项公式为．解析：（1）由得两式相减，得即又故易得数列是以4为首页，2为公比的等比数列（2）易得由得由累乘法易得：．评注：上述两题所给的关系式均不是“标准的递推式”，需要处理成“标准形式”．第（1）题只需用，而第（2）题需用因式分解进行处理．例2如图所示的数阵中，第20行的第2个数字是解析：只需观察分母：2，4，7，11，…，不妨记，此问题实际是给出数列前项求其一个通项公式的问题，直接观察很难得到，故采用差分法，易得…得一般式.再由迭加法易得……只要求得即可，故应填．评注：此题是给出数列前几项求数列的通项公式，但很难直接观察出来，而差分后就比较容易得出规律．例3若定义在上的函数对一切都有，且，则=．解析：令得记则易得数列是以为首项，2为公比的等比数列，即应填．评注：此题是由抽象函数的形式给出递推关系，只需用赋值法容易得出标准的递推式．例4如右图的程序框图输出的结果是．解析：将的值依次记作，则由题意得：即由叠加法得：故依题意要求，故填5051．评注：此题是由程序框图的形式给出递推关系，在新课程改革后也较为常见，只需仔细分析循环结构，就比较容易得出标准的递推式．例5设顺次为函数图象上的点（如下图），顺次为轴上的点，且，，，，均为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设的坐标为，则数列的通项公式为．解析：易求过的直线方程为与联立得舍去负值，得∵过线段的中垂线，∴，∴，∴∴数列是以为首项，以4为公差的等差数列，∴显然∴．评注：此题是由图形的递推给出递推关系，也是最容易出现的形式，关键是由图形找出如何由求出，再将表示成的式子．例6定义运算“”满足下列性质：①；②（）；则=.解析：记则由例3得评注：新定义的问题仔细观察也不难得出递推关系．以上是笔者在平时做题过程中收集整理的一些问题，希望同学们在平时做题的过程中注意对问题的整理、归纳、总结，养成善于思考的学习习惯，做到举一反三，不断地提高自己的思维水平和能力．练习：1、已知数列满足：，．求数列的通项公式．2、已知数列满足：当时有，且．若，求的值．3、试写出数列1,3,6,10,15，的一个通项公式．4、已知定义在上的函数满足：，且．求的值．5、若数列满足：（，为常数），则称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，求的末尾数字．6、如下

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