初二(下册)数学题八年级数学拔高训练

初二（下册）数学题精选

分式:

111

一：如果abc=l,求证箕+Q+I+」+/?+I+QC+C+I=1

119ba

二：已知公+厂而后，则，+了等于多少?

三：一个圆柱形容器的容积为v立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高

度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。

求两根水管各自注水的速度。

四：联系实际编拟一道关于分式方程号=&+2的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答

x2x

过程。

五：已知M=-^=、，用“+”或"一"连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、

x--y~x-y

N-M,请你任取其中一种进行计算,化简求值，其中x：y=5：2O

班例球

一：~^张为16s正胧横用剪掘tWL定&一样刚负形懈i“E”回1所示.<1献的

长x(an)与宽y(an)之间的侬妙繇如图2所示：(1)求y与x

加的微粽式

⑵“E”

⑶飕〃姬阱帐M6qW12cm,求〃蛔缀的踽

二：是一个反比例函数图象的一部分，点A(l,10),B(10,l)是它的两个端

点.

71)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.

三：如图，。/和。6都与x轴和y轴相切，圆心4和圆心8都在反比例函数y=，的图象上，则

图中阴影部分的面积等于.*

四：如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点〃(-2,-1),且P(-1,-2)为

双曲线上的一点，0为坐标平面上一动点，用垂直于x轴，/垂直于y轴，垂足分别是4、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点0在直线加上运动时，直线加上是否存在这样的点。,使得△磔与△如产面积相等？

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图12,当点0在第一象限中的双曲线上运动时，作以8、8为邻边的平行四边形。七0,

求平行四边形如。周长的最小值.

五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8,与反比例函数y一

罟在第一象限的图象交于点c(l,6)、点D(3,x).

轴于F.

(1)求m,n的值；

（2）求直线AB的函数解析式;

一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日，西安发现了他的数学专著，其

中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”

这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各

率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数詈语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5

的整数倍，设其面积为S,则第一步：-=m；第二步：J/=k；第三步：分别用3、4、5乘以

k,得三边长6

（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法"十0A士-三角形的三边长；

（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明:。

（二题图）

（三题图）

二：一张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽

度均为3cm的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是

（）A第4张B第5张C第6张D第7张

三：如图，申、乙两楼相距.20米，甲楼高20米,5处的站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲、

乙楼顶氏C刚好在同一直线上，且A与B相距兰米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是

米.3

四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和

世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、8到直线X的

距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小

民设计了两种方案，图（D是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P）,P到A、8的

距离之和*=PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是4,连接交

直线X于点P）,P至IJA、6的距离之和S2=PA+PB.

（1）求5、S,,并比较它们的大小；

（2）请你说明"S,+的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，

8到直线丫的距离为30km,请你在X旁和丫旁各修建一服务区P、Q,使尸、A、B、。组成

的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

五：已知：如图，在直角梯形侬刀中，AD//BC,ZABC=9Q°,DE工AC于点居交充于点G,交

相的延长线于点反且A£=AC.

(1)求证：BG=FG；

(2)若AT>=OC=2,求相的长.

四边形：

一：如图，MACD、4ABE、△比F均为直线充同侧的等边三角形.

(1)当的时，证明四边形幺以石为平行四边形；

(2)当麴=4。时，顺次连结4D、F、£四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的

类型和相应的条件.

二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连结DE并延长至点

F,使EF=AE,连结AF、BE和CF。

(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“丝”表示，并加以证明。

(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

(3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积。

四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE,且NABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从

点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ〃BD交直线BE瑞Q.

(1)当点P在线段ED上时(如图1),求证：BE=PD+空PQ；

(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点筑构成的三角形面积为y,求y与x的函

数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(3)在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC,过点P作PLLQC,垂足为F,PF

交对角线BD于点G(如图2),求线段PG的长。

五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.

打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出

它们的示意图,并写出它们的周长.

七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点8落在边AD的£点上,除10.

(1)当折痕的另一端尸在四边上时,如图(1).求△以石的面积.

(2)当折痕的另一端尸在血边上时,如图(2).证明四边形BGEF为蓑形,并求出折痕跖的长.

BGC图（1）"图g）

八：(1)请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个

不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹)

(2)写出你的作法.

4,04D2

B,c,B2G

九：如图，尸是边长为1的正方形眼切对角线47上一动点（尸与4、。不重合），点£在射线优

上，且陪阳

（1）求证：①PE=PD；②PELPD-,

（2）设仍x,△座'的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

十：如图1,四边形阳力是正方形，G是切边上的一个动点（点G与。、，不重合），以CG为一

边在正方形血力外作正方形施FG,连结及；，DE.我们探究下列图中线段8G、线段比'的长度关

系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段及7、线段庞的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着息。按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图2、如图

3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6）,且杷=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a手b,k>0),

第（D题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.

(3)在第⑵题图5中，连结。G、BE,且a=3,b=2,k=-,求BE'DG?的值.

2

数据的分析：

-：为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花

钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利导捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200

人，图1是该校各年级学生人黎中例分布的扇形统计图，图2是该校学生人即存款情况的条形统

计图.

(1)九年级学生人均存款元；

(2)该校学生人均存款多少元？

(3)已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%

(“爱心储蓄”免收利息税)，且每351元能提供给一位失学儿

童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学

儿童。

二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的

折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上(包括

70分)为合格。

⑴请根据图11中所提供的信息填写下表：

平均数中位数体能测试成绩合格次数

甲65

乙60

⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：

①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，的体能测试成绩较好；

②依据平均数与中位数比较甲和乙，—的体能测试成绩较好。

⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。

三：如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线

和虚线表示.根据图中所示解答以下问题：

(1)B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？

(2)求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度,

用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；

(3)A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳

接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格.已知门票价格元)与游

客人数八万人)满足函数关系)，=5-击.若要使A旅游点

的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？

初二奥数辅导代数式的求值

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值，特别是有附

加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、

通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求

值.因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介

绍.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用.

分析X的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出X后，再求值，将会很麻烦.我

们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件.

解已知条件可变形为3X2+3X-1=0,所以

6X4+15X3+10X2

=(6X4+6X3-2X2)+(9X3+9X2-3X)+(3xJ+3x-l)+1

=(3x2+3x—1)(2Z2+3X+1)+1

=0+1=1.

说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或

方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简

捷的解答.

例2已知a,b,c为实数，且满足下式：

a2+b2+c2=l,①

求a+b+c的值.

解将②式因式分解变形如下

(iiinfi111)(111n

al—+-+-------1+b|—+-^---------1+c]-+----------1=-3,

caaj(cabtjbccj

即

所以

be+ac+ab

(a+b+c)-------；--------=0.

abc

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=0,则

(a+b+c)2=a2+bJ+cJ+2(bc+ac+ab)

=a2+b2+c2=l,

所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.

说明本题也可以用如下方法对②式变形：

aabbcc-八

一+—+—+—+—+—+3=0.

beeaab

(bc)(ac)(ab)

k+;+1J+k+b+rk+7+r0-

即

a+b+ca+b+ca+b+c-

-----------+--—+------------=0,

abc

也可得(a+b+c)(—+—+-1=0.

(abcf

前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个

式子之积等于零的形式.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求x'y?的值.

解因为x+y=m,所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m?xy,

所以xy=，-；.

33m

所以

m22n

x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2=----+-----

33mJ33m'

例4已知x=:(有+J5),y=:(有-加，

22求x?+6xy+y"的值.

分析将x,y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x,y的值正好是一对共较无理数,

所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法.

解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy

=(x+y)2+4xy

Lo1

=(有y+4X-=54-2=7.

3.设参数法与换元法求值

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),

以便沟通数量关系，这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来

替换，这叫换元法.

例5已知上=4=三，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k,用它表示连比的比值，以便把它

们分割成几个等式.

解设/^=4=三=忆于是有

a-bb-cc-a

x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.

所以

x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例6已知%]+三=1,-+-+-=0,求W的值.

abcxyzab

分析若从求W+W+W的值入手，可考虑到应把条件至+

abca

1+三=1两边平方，在平方之后，虽会出现一些交叉项，但能从

bc

另一个已知条件给予解决下面我们采用换元法求解.

解令£=u,1=V,-=W,于是条件变为

abc

u+v+w=l,①

—=0.②

uvw

由②有

UV+VW+wu-

------------------=0,

uvw

所以uv+vw+wu=0.

把①两边平方得

UJ+V2+W2+2(UV+VW+WU)=1,

所以u2+v2+w2=l,

即

222

xyz

亚+郎+”

1

例7已知x=K,求

x6-2<j2x5-x4+x3-2V+2x-血的值.

分析若直接代入X的值计算，计算量较大，为此可先将x=

73一J2

分母有理化，整理变形后再求解.

解因为X=巨=73+72,即

无一也=V2.

两边平方有

x2-2-73x4-1=0.

同理，由x-应=存可得

x2-2V2x-1=0.

所以

原式=x'(x2-A/2X-1)+x(x2-20x+l)+x-、也

=x4,O+x,O+x-^/2=E.

4.利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.

例8若x?-4x+|3x-y|=-4,求8的值.

分析与解X,y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的

隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解.

因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以

x"4x+4+13x-y|=0,

即(x-2)13x-y|=0.

__.x-2=0,

所以Vc

3x-y=0.

解之得

y=6.

所以yx=62=36.

例9未知数x,y满足

(x2+y2)m~-2y(x+n)m+y2+n'=0,其中m,n表示非零已知数，求x,y的值.

分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看

是否能化成非负数和为零的形式.

将已知等式变形为

m2x2+m2yL，-2mxy-2mny+y;!+n2=0,

(m2x2-2mxy+y2)+(m2y'-2mny+n")=0,即(mx-y)"+(my-n)=0.

mx-y=0,

所以

my-n=0.

因为mA。，所以y+*=%

5.利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例

子略做说明.

例10已知xyzt=l,求下面代数式的值:

1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+ztx1+t+tx+txy

分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变.

解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变.利

用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同.

1+x+xy+xyzt+xt+xyt+xyzt

t+xt+xyt+1*

1+z+zt+ztxtxy+1+1+tx

分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂.因为这样一来，原

9ah

例11已知a>0,b>0,当x=不二时，求

b'+1

Ya+x+Ya-x..旺

式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是

利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算.

+x=+

(b+1)Va

Jb，+1

同样(但请注意算术根！)

标②

Vb2+1

将①，②代入原式有

(b+1)m|b-l函

百才_J_2+]Jb"+]

际另一(b+1)小小

Jb，+1Vb2+1

_(b+l)+|b-1|

=(b+l)-|b-l|

rb,当b》l时；

=<1

7",当b〈l时.

力

练习六

_..2+2-,小旺

1.已知x=^―后，y=f-,求2--3xy+2y2的值.

2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x'+y'的值.

3.已矢口a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.

4由y+zz+xx+y,+.e.一

4.如果^--=----=-----=k,求k的值.

zyz

5.设a+b+c=3m,求(m-a)、'+(m-b)(m-c)’-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.

2求;x，-x?-x+2的值.

6.己知x=

、/5-1

7.已知X=3也（石+1）-3收道-1）,试求x?+12x的值.

8.已知13x2-6xy+y2-4x+l=0,求(x+y)13?xl0的值

初二奥数辅导因式分解(二)

1.双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也

可以用十字相乘法分解因式.

例如,分解因式2x?-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可

变形为

2x2-(5+7y)x-(22yJ-35y+3),

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

2x(-lly+1)

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的过程，实施了。次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得

到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x-7xy-22y2；

(x-3)(2x+l)=2x-5x-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

这就是所谓的双十字相乘法.

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax，bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式

中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(l)x~-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6xL-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

解⑴

原式=(x-5y+2)(x+2yT).

⑵

原式=(x+y+l)(x-y+4).

(3)原式中缺x?项，可把这一项的系数看成0来分解.

0

X

原式=(y+D(x+y-2).

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.

2.求根法

1

我们把形如anx"+anHx--+-+a1x+afl(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并f(x),g(x)，…

等记号表示，如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a.

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),

要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下

面的定理来判定它是否有有理根.

定理2

若既约分数9是整系数多项式

P

n11

f(x)=aox+a/-1+aaX”-。…+a*iX+an

的根，则必有p是a0的约数，q是a”的约数.特别地，当a0=l时，整系数多项式f(x)的整数根均为

a。的约数.

我们根据上述定理f们蟆嘲钮降母慈范心喇社降囊淮我蜘剑佣远喇钮浇幸拗椒纸狭?/DIV>

例2分解因式：X'-4X2+6X-4.

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1,±

2,±4,只有

f(2)=2-4X22+6X2-4=0,

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2.

解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2).

原式=(x3_2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=X2(X-2)-2X(X-2)+2(X-2)

=(x-2)(x2—2x+2).

解法2用多项式除法，将原式除以(x-2),

所以

x2-2x+2

X-2/X3-4X2+6X-4

/x3-2x2

-2X2+6X

-2X2+4X

2x-4

2x-4

o'

原式=(x-2)(x、2x+2).

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数

不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.

例3分解因式：9X-3X3+7X-3X-2.

分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,

2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,10±4，±(1,0±|,

+经检验，只有、1和,o是原式的根，所以源式有因式x+g1和X-2,.又因

为：

(X+1)(X=1(3x+l)(3x-2)

=1(9x2-3x-2),

所以，原式有因式9x『3x-2.

?

解9x3x+7X2~3X~2

=9X4-3X!-2X2+9XJ-3X-2

为=x?(9xJ-3x-2)+9x'-3x-2

=(9x-3x-2)(x2+l)

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

/1、/2、212

(X+-)(x--)=X--X--

可以化为9X2-3X-2,这样可以简化分解过程.

总之，对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),

而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了.

3.待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数

尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒

等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或

方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例4分解因式：x'+3xy+2y2+4x+5y+3.

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可

求出m和n,使问题得到解决.

解设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比较两边对应项的系数，则有

m+n=4,

«m+2n=5,

mn=3.

解之得m=3,n=l.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.

例5分解因式：xl_2x,i_27X2_44X+7.

分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1,

±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能

分解，只能分解为(x'+ax+b)H+cx+d)的形式.

解设

原式=(x'+ax+b)(x^+cx+d)

=x'+(a+c)xJ+(b+d+ac)x'+(ad+bc)x+bd,

所以有

a+c=-2,

b+d+ac=-27,

ad+be=-44,

Ibd=7.

由bd=7,先考虑b=l,d=7有

a4-c=-2,

<ac=-35,

7a+c=-44,

所以

a=-7

解之得<

c=5.

原式=(x?-7x+l)(x'+5x+7).

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=T,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=l,d=7代入方程

组后，无法确定a,c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由

此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.

练习二

1.用双十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

2.用求根法分解因式：

(l)x3+x2-10x-6；

43

(2)X+3X-3X-12X-4;

(3)4X'+4X!-9X'-X+2.

3.用待定系数法分解因式:

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

(2)X4+5X3+15X-9.

初二奥数题

1、如图，梯形ABCD中，AD〃BC,DE=EC,EF〃AB交BC于点F,EF=EC,连结DF。

⑴试说明梯形ABCD是等腰梯形；

⑵若AD=1,BC=3,DC=V2,试判断4DCF的形状；

(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使4PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB

的长；若