高中数学函数的概念、基本初等函数及函数的应用教案（理科）

___________________第二章

函数、导数及其应用

第一节函数及其表示

1.函数的概念及其表示

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

了解映射的概念.

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象

法、列表法、解析法)表示函数.

2.分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用.

ZHISHIHUIGU................

抓主干»知识回顾＞稳固根基

知识点一函数与映射的概念

函数映射

两集合A,

设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合

B

如果按照某种确定的对应关系/,使对如果按某一个确定的对应关系力使对

对应关系

于集合A中的任意一个数x,在集合B于集合A中的任意一个元素x,在集合

/：4fB

中都有唯一确定的数f(x)和它对应B中都有唯一确定的元素y与之对应

称f：AfB为从集合A到集合B的一称f：-f8为从集合A到集合B的一

名称

个函数个映射

易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从

4到8的一个映射，4、8若不是数集，则这个映射便不是函数.

［自测练习］

1.下列图形可以表示函数y=/(x)图象的是()

解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个X只能对应一个y,所以

排除A,B,C,故选D.

答案：D

知识点二函数的有关概念

1.函数的定义域、值域

(1)在函数y=/a),XGA中，自变量X的取值范围(数集A)叫作函数的定义域;函数值的

集合"(x)lxCA｝叫作函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

2.函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

3.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因图遨系不同而分别用几个不同的式子来表示，

这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的无集，其值域等于各段函数的值域的在

集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则.

(2)误把分段函数理解为几个函数组成.

必备方法求函数解析式的四种常用方法

(1)配凑法：由已知条件/(原x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替

代g(x),便得了(X)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实

际应用问题多用此法；

(3)换元法：已知复合函数儿?(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围;

(4)解方程组法：已知关于五x)与./Q)或/(一X)的表达式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程组求出了(X).

［自测练习］

2.(2016•贵阳期末)函数f(x)=log2(x+l)的定义域为()

A.(0,+°°)B.［―1,+°0)

C.(-1,+8)D.(1,4-oo)

解析：由x+l>0知x>—1,故选C.

答案：C

3.7(x)与g(x)表示同一函数的是()

A./(尢)=:/—1与g(x)=Nx-11

B./(犬)=工与g(x)=/7j7y

C.y=x与y=(/)2

D.f(x)=E与g(x)=H

解析：选项A,C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确.

答案：B

V+1,xWO,

4.若函数f(x)=11八则用(2))=()

log-^r,x>0,

A.-1B.2

C.1D.0

解析：本题考查分段函数、复合函数的求值.由已知条件可知，/(2)=log?=-l,所

以W(2))=/(—l)=(-1尸+1=2,故选B.

答案：A

KAODIANYANJIU..........

»考点研究》强技提能

考点一四教的定义域问题|勤。熊标N希

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归

纳起来常见的命题探究角度有：

1.求给定函数解析式的定义域；

2.已知/(x)的定义域，求Kg(x))的定义域;

3.已知定义域确定参数问题.

探究一求给定解析式的定义域

3x

1.(2015•江西重点中学一联)函数/度)=卜lg(3-x)的定义域是()

yJx—2

A.(3,+°°)B.(2,3)

C.⑵3)D.(2,+00)

X—2>0,

解析：本题考查函数的定义域.由题意得，解得2<x<3,故选B.

、3—x>0,

答案：B

探究二已知f(x)的定义域，求式g(x))的定义域

2.若函数y=/(x)的定义域是[0,3],则函数以力=型2的定义域是()

X—1

A.[0,1)B.[0,1]

C.[0,1)U(1,9]D.(0,1)

0W3xW3,

解析：依题意得彳即0<x<l,因此函数g(x)的定义域是[0,1),故选A.

/一iro,

答案：A

探究三已知定义域求参数范围问题

3.若函数/(》)=勺2炉+2。-a—1的定义域为R,则a的取值范围为.

解析：函数«r)的定义域为R,所以2K+2ax-a—120对xWR恒成立，即2K+2ax

一£+2以一恒成立，因此有[=(2。)2+44・0,解得一IWaWO.

答案：LLO]

》规律方法

函数定义域的三种类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知函数兀r)的定义域为[。，切，则函数_/(g(x))的定义域由不等式a<g(力46求出.

考点二函数努析式的求法帛睛居

[典题悟法]

典例(1)已知/(I—cosx)=sin2x,求/(x)的解析式；

(2)已知/(x)是二次函数且式0)=2,/U+1)]/㈤=x—1,求/U)的解析式;

(3)已知/(x)+O=x(x70),求«x)的解析式.

[解](1)/(1—cosx)=sin2x=1—cos2x,

令/=1—cosx,则cosx=l—r,re[0,2],

・・・/(。=1一(1一。2=2/一匕石02],

即f(x)=2x—x2,xE[0,2].

(2)设由/(0)=2,得c=2,

22

f(x+l)-f(x)=a(x+l)+b(x+l)-ajc-bx=x-lf即2ax+a+b=x~l,

12a=1,[a=2,

〃+b=—1,3

lZ,=-2-

，/(x)=*-|x+2.

(3)V/(x)+=x,....0+2/U)=p

f/W+2/Q=x,

解方程组1

K3+2/(X)=:

2x

得f(x)=*_§(x#0).

》规律方法

函数解析式求法中的一个注意点

利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围.

[演练冲关]

求下列函数的解析式：

(1)已知/0+l)=lgX,求了(X)；

(2)2Ax)-/(-x)=lg(x+1),求人尤).

22

解：(1)令/=;+1,贝可x==p

22

.V(r)=lg—,即f(x)=lgT(X>I).

t~1X—1

(2)V2/-(x)-/(-x)=lg(A-+l),

.••2/(-x)-/(x)=lg(l-x).

2KM-f(—x)=lg(x+1),

解方程组―得

次一方一/(力=电(1一无)

21

fM=-lg(x+1)+-lg(l—x)(­1<X<1).

考A三分段由数|目z恚然J?

［题组训练］

2厂1—2,

；''且/(/=—3,则f(6—G

{一log2a十1),%>1,

=()

75

A.B.

44

3

C.D.

44

2*r—2,xWl,a>\,

解析:因为/(x)=/(«)=一3,所以或

—10g2(A+l),X>1Iog2(a+1)=—3,

2a-|-2=-3,

7

解得a=7,所以/（6—4）=4-1）=2-山一2=一］选A

答案：A

2.（2015•高考全国卷II）如图，长方形ABCZ）的边48=2,BC=1,

。是A8的中点.点P沿着边8C,8与94运动，记NBOP=x.将动

点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f（x）,则y=/*）的图象大致

为（）

解析：由于人0）=2,（：）=1+3,般）=2也勺伫），故排除选项C、D;当点P在BC

上时，/x）=BP+AP=tanx+、4+tan2x（0WxW：）,不难发现犬X）的图象是非线性的，排除选

项A.故选B.

答案：B

＞〉规律方法

分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段

的自变量的取值范围.

V易错防范系列|

1ICUOFANGFANXILIEI3.分段函数的定义理解不清致误

2x+a,x＜l,

【典例】已知实数函数兀r)={、若五1一”)=y(1+4)，则a的

—x—2a,

值为.

［解析］当。＞0时，1—由/(I—a)中1+。)可得2—2a+a=—1—。一2a,

3—

解得〃=一/不合题意；当。＜0时，1—由/(I可得一1+。一2〃

3

=2+2〃+。，解得。=—

［答案一］q3

［易误点评］本题易出现的错误主要有两个方面：

(1)误以为1一。没有对〃进行讨论直接代入求解.

(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误.

［防范措施］(1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解.

(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

［跟踪练习］设函数/(%)=，,—若/3)+负-1)=2,则〃=()

Q—x,x＜0»

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：因为所以/(«)=1,当时，“1=1,所以。=1；当

4Vo时，y［—a=l,所以Q=-1.故4=±1.

答案：D

GENZONGJIANCE

时跟踪检测,查漏补缺

A组考点能力演练

1.(206高考陕西卷)设f(x)=『一五'x»°'则以-2)]=()

[2‘，x<0,

11

B-C-

A.42D1

解析：由/(—2)=2-2=；,

答案：C

2.(2015•北京朝阳模拟)函数/(x)==+g的定义域为()

A.[0,+8)B.(1,+8)

C.IO,I)U(1,+oo)D.10,1)

解析：本题考查函数的定义域.根据函数有意义的条件建立不等式组.要使函数人x)有

\x-I#0,

意义，则解得x20且xWl,即函数定义域是[O,1)U(1,+8),故选c.

答案：C

/sinx,GO.

3.已知函数/(X)的定义域为(-8,+oo),如果/(x+2014)=,那么

lg(—x),x<0

/(2014+觊―7986)=()

A.2014B.4

解析：/(2014+W=Ssin：=l,/(-7986)

=/(2014-10000)=lg10000=4,

则j\2014+：)/(—7986)=4.

答案：B

4.(2016・岳阳质检)设函数段)=忸鲁，则.怎)+娘的定义域为()

A.(-9,0)U(0,9)B.(-9,-1)U(1,9)

C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-3)U(3,9)

3+x

解析：利用函数f(x)的定义域建立不等式组求解.要使函数/(X)有意义，则；一>0,解

3-x

得一3a<3.所以要使右)+4；)有意义,—9<x<9,

则3解得所以定义域

/<一1或x>l

为(-9,-1)U(1,9),故选B.

答案：B

5.若函数/(岸=正+二+1的定义域为实数集R,则实数。的取值范围为()

A.(-2,2)

B.(一8,-2)U(2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+°°)

D.[-2,2]

解析：函数的定义域为R等价于对VxCR,j?+ar+l20,令/(x)=;v2+ax+1,结合二

次函数的图象(图略)，只需/=〃-4<0即可，解得实数a的取值范围为[-2,2],故选D.

答案：D

lgx,x>0

6.(2015・陕西二模)若函数f(x)=I,则用(-99))=________.

,1—X,xWO

解析：/(-99)=1+99=100,所以-99))=/(100)=1g100=2.

答案：2

7.函数)，=/(第的定义域为[-2,4],则函数g(x)=/U)+八一x)的定义域为.

—2

解析：由题意知'解得一2WxW2.

「2W—xW4,

答案：[-2,2]

8.具有性质：/g)=—f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:

x,0<x<l,

'1,

—Lx>l.

{X

其中满足“倒负”变换的函数是.

解析：对于①，/(X)=X—/Q)=；—x=—/(x),满足题意；对于②，O=；+；=f(x)W

X

-/(X),不满足题意：对于③,

r1i

一，0<-<1,

XX[1]

一,X>1,

卜X

对=<0,1,即/

I0,x=l,

I-x,0<x<1.

故/Q)=-f(X),满足题意.

答案：①@

|x—1,x>0,

9.已知g(x)=q_.

[LX,•

⑴求/(g⑵)和g(A2))的值；

(2)求/(g(x))的解析式.

解:(1)由已知,g(2)=l,f(2)=3,

,VU(2))=/(l)=0,gJ2))=g(3)=2.

(2)当x>0时，g(x)=x-l,

故f(g(x))=(x-1)2-]=X!—2x;

当x<0时，g(x)=2—x,

故/(g(x))=(2—x)2—1=x2—4x+3:

x2—2x,x>0,

••次g(x))=

y-4x+3,x<0.

10.动点尸从单位正方形ABC。的顶点A出发，顺次经过8,C,。绕边界一周，当x

表示点尸的行程，y表示力的长时;求y关于x的解析式，并求的值.

解：当P点在AB上运动时，y=x(0<xWl);

当P点在BC上运动时，

y=yl12+(x-l)2=yJx1-2x+2(1aW2);

当P点在CD上运动时，)，=：12+(3-劝2=+—6x+10(2aW3);

当尸点在DA上运动时，y=4-x(3<xW4);

综上可知，

X,OWxW1,

Nx2—2x+2,]<xW2,

y=fM=<--------------

4/-6%+10,2<xW3,

-4—x,3<xW4.

••娟可

B组高考题型专练

1.(2014・高考山东卷)函数/(x)=厂」——的定义域为()

\10g2X—1

A.@2)B.(0,2]

C.(2,+8)D.[2,+8)

[10g2X—1>0,

解析：:/U)有意义，，

lr>0.

：.x>2,・・・«¥)的定义域为(2,+8).

答案：C

2.(2015・高考湖北卷)函数/(力=后石+电■匚音心的定义域为()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

14一|川》0

解析：依题意知，<％2—5x+6，

-------T->0

1x~3

(一4«4

即,

lx>2JLx^3

即函数的定义域为(2,3)U(3,4].

答案:C

3.(2015•高考山东卷)设函数/*)=]；：'若_/(XD)=4,则8=()

解析:磴)=/(3*2)=尼-“

53

当丁XI,即吟时,

3x(|一)一人=4,解得T(舍).

当|一⑶,即庆|时，2|—=4,

解得b=g.故选D.

答案：D

4.(206高考浙江卷)存在函数«r)满足：对于任意xCR都有()

A./(sin2x)=sinx

B./(sin2x)=x1+x

C.f(f+l)=k+l|

D./(x2+2x)=|x+1|

解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应.对于A,

当x=N或当寸，sin2%均为1,而sinx与f+x此时均有两个值，故A、B错误；对于C,

44

当x=l或一1时，f+l=2,而|九+1|有两个值，故C错误，故选D.

答案：D

5.(2014.高考四川卷)设/(力是定义在R上的周期为2的函数，当不£[-1,1)时，/(%)=

—4f+2,-则冏=-

无，OWxV1,

解析：.."㈤的周期为2,

AXD=/1_2)=X-£)-

又：当xG[—1,0)时，/(x)=-4f+2,

••-X-£)=-4X(-£)2+2=1.

答案：1

第二节函数的单调性与最值

1.函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义.

2.函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义.

ZHISHIHUIGU................

抓主干»知识回顾＞稳固根基

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数八幻的定义域为/.如果对于定义域/内某个区间A上的任意两个

自变量的值Xl，X2

定义

当XI<¥2时，都有/(笛)<©2)，那么当X|<X2时，都有『3)>12)，那么就说函数

就说函数«x)在区间A上是增加的/a)在区间A上是减少的

上

---;

图象描述

0“«2X

自左向右看作T象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y=/(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间.

易误提醒求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，

不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.

必记结论

1.单调函数的定义有以下若干等价形式：

设xi,X2^［a,b］,那么

①/'(为)―/(下)>00在口,切上是增函数；

Xl—X2

/5)-/口2)<0在口,切上是减函数.

X|—X2

②(XI—X2)/(X1)一f(X2)］>0Q/a)在［a,b］上是增函数；

(XI—X2)［f(Xi)-f(X2)］<0W(x)在［。，b］上是减函数.

2.复合函数y=/Ig(x)］的单调性规律是“同则增，异则减"，即>=/'(“)与”=g(x)若具

有相同的单调性，则y=/Ig(x)］为增函数，若具有不同的单调性，则丫=%(刈必为减函数.

［自测练习］

1.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递减的是()

A./(x)=：B./(x)=(x-l)2

c./(x)=evD./(x)=ln(x+l)

解析：根据函数的图象知，函数/(x)=：在(0,+8)上单调递减，故选A.

答案：A

2.函数/(x)=log5(2x+l)的单调增区间是.

解析：要使y=log5(2x+l)有意义，则2x+l>0,即x>—3，而y=k)g5〃为(0,+°°)-t.

的增函数，当x>—g时，〃=2x+1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是(一支+8).

答案:(-+8)

-X2—ox-5,xWl,

a在R上为增函数，则a的取值范围是()

一,x>\

{x

A.[-3,0)B.[-3,-2]

C.(-8,-2]D.(-8,o)

解析：要使函数在R上是增函数，

―%]

2，

则有《"

a<0,

a—5Wa,

解得一2,即a的取值范围是[—3,—2].

答案：B

知识点二函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

对于任意都有/对于任意xG/,都有

条件

存在xoG/,使得/•(项)=M存在x°G/,使得外沏)=M

结论M为最大值M为最小值

易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性.

必备方法求函数最值的五个常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不

等式求出最值.

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

［自测练习］

4.函数/(x)=^j^j(xeR)的值域是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.[0,1)D.[0,1]

解析：因为1+9>1,0<^2匕・1,所以函数值域是(0,1],选B.

答案：B

5.已知函数/(x)=f+2r(-2Wx<l且xGZ),则/(x)的值域是()

A.[0,3]B.[-1,3]

C.{0,1,3}D.{-1,0,3}

解析：依题意，/(-2)=/(0)=0,/(—1)=-1,贝1)=3,因此火x)的值域是{-1,0,3},选

答案：D

研|考|向

考点一函数单调性的判断■I目Z恚然)第

［题组训练］

1.下列四个函数中，在(0,+8)上为增函数的是()

A.f(x)=3—xB.f(x)=x1—3x

c./(犬)=一去D./(x)=-W

解析：当x>0时，f(x)=3-x为减函数；

当xG(0,D时，f(x)=x2-3x为减函数，

当xe(1,+8)时，y(x)=x2—3x为增函数；

当仲。，+叼时，/(加-为增函数;

当xG(0,+8)时，#x)=一|x］为减函数.故选C.

答案：C

2.判断函数g(x)=T彳在(1,十8)上的单调性.

解：法一：定义法

任取Xl,X2(1,+°°),且为<X2,

—2x\—2X2_2(九]—X2)

则双方)一8(及)

xi—1X2-l(汨-1)(X2-1)’

因为1<X\<X29

所以尤1-X2<0,(X1—1)(X2—1)>0,

因此g(Xl)—g(X2)<0,即g(Xl)<g(X2).

故g(X)在(1,+8)上是增函数.

法二：导数法

.-2(x—l)+2x2

3=K=E°

・・遭(%)在(1,+8)上是增函数.

〉〉规律方法

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1.定义法(基本步骤为取值、作差或作商'变形、判断).

2.导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断).

考点二舀数的单调区间的求决|HEZUO配器

［典题悟法］

典您求下列函数的单调区间:

(1)产T+2IX+1；

(2)y=log；(f—3x+2).

［解］⑴由于

-/+2%+1,工20,

y^='

'—x1-2x+\,x<0,

(x—1)2+2,

即y=，

［—(x+1)2+2,x<0.

画出函数图象如图所示，

单调递增区间为(一8,-1］和［0,1］,

单调递减区间为［-1,0］和［1,+8).

⑵令〃=f—3元+2,则原函数可以看作y=log^w与W=A2—3x+2的复合函数.

令u=x1—3x+2>0,则x<］或x>2.

/.函数产唾/%2—3x+2)的定义域为(-8,1)0(2,+°°).

3

又〃=/—3x+2的对称轴x=j,且开口向上.

...“二X2—3x+2在(-8,1)上是单调减函数，在(2,+8)上是单调增函数.

在(0,+8)上是单调减函数,

••.yulogT*2—3x+2)的单调递减区间为(2,+°°),单调递增区间为(一8,1),

>>规律方法

函数单调区间的四种求法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.

(3)图象法：如果大x)是以图象形式给出的，或者/(x)的图象易作出，可由图象的直观性

写出它的单调区间.

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

［演练冲关］

函数y=|R(l—x)在区间A上是增函数，那么区间4是()

A.(—8,0)B.0,g

C.[0,+0°)

解析：y=|x|(l-x)

X1-x)(x20),f—x2+《》0),

.-M1—x)(x<0)(x2—x(x<。)

一(x-

92Tx<o).

画出函数的草图，如图.

由图易知原函数在10,9上单调递增.

答案：B

考点三函数单调性的应用|含。需器

函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容.归纳起来，常见的命题探

究角度有:

1.求函数的值域或最值.

2.比较两个函数值或两个自变量的大小.

3.解函数不等式.

4.求参数的取值范围或值.

探究一求函数的值域或最值

x+匕一3,X，],

1.(2015•高考浙江卷)已知函数式x)=fx’则欢—3))=，火x)

.lg(f+l),x<l,

的最小值是.

解析：由题知，f(-3)=1,/(1)=0,即胆一3))=0.又/(力在(一8,0)上单调递减，在(0,1)

上单调递增，在(1,也)上单调递减，在(g,+8)上单调递增，所以/(外皿产min{f(0)，7(S)}

=26—3.

答案：02s—3

探究二比较两个函数值或两自变量的大小

2.己知函数/(x)=1og2x+T「，若为右(1,2),X2《(2,+°°).则()

1—X

A./(x))<0,/(X2)<OB./(xi)<0,/(%2)>0

C./(X1)>0,/(X2)<0D./(X!)>0,,/(X2)>0

解析：•.•函数/(X)=k»g2x+'j■^在(1,+8)上为增函数，且/(2)=0,

/.当»e(l,2)时,/(XI)勺(2)=0,

当及6(2,+8)时，/(及)/2)=0,

即/(Xl)<0,犬X2)>0.

答案：B

探究三解函数不等式

3.(2015・西安一模)已知函数段)={'['若贝2—犬)/x),则实数x的取值

」n(x+l),x>0,

范围是()

A.(—8,—1)u(2,+°°)

B.(-8,-2)U(1,+8)

C.(-1,2)

D.(-2,1)

解析：•..当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零，，函数的图象是一条连续的曲

线.：当xWO时，函数/(%)=^为增函数，当x>0时,f(x)=ln(x+l)也是增函数，且当%)<0,

芯>0时，./Ui)勺&2),...函数Kr)是定义在R上的增函数.因此，不等式/(2—x2)次x)等价于

2—K>x,即f+x—2<0,解得一2<x<l,故选D.

答案：D

探究四利用单调性求参数的取值范围

(2—a)x+1(x<1),

4.(2015•江西新余期末质检)已知f(x)=<、满足对任意即WX2,都有

a

如二辿>0成立，那么a的取值范围是()

Xl—X2

入［|，2)B.(l.|_

C.(1,2)D.(1,+8)

2—。>0,

解析：依题意，/(力是在R上的增函数，于是有<«>1,解得|<a<2,故

.(2-a)Xl+lW3

选A.

答案：A

>〉规律方法

函数单调性应用问题的四种类型及解题策略

(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函

数的单调性解决.

(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将炉'符号

脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调

区间比较求参数；

②需注意若函数在区间［。，b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.

答题模板系列।

nL/ATIMUBANXILIEI1.确定抽象函数的单调性以及解含，广的不等式

【典例】(12分)函数/")对任意a,h&R,都有/(a+协=/•(“)+/(打-1,且当”>0时，

有

(1)求证：/(x)是R上的增函数；

(2)若/(4)=5,解不等式121-1)一用+。<2.

［思路点拨］(1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含y’的不等

式大2/—1)一/(1+，)<2转化为人”。勺⑺的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解.

［规范解答］(1)证明：设Xl,X2ER且则X2—Xl>0,

%1)>1.(2分)

根据条件等式有

/(X2)—<(X1)=/(X2-Xl+即)-/U1)=八及-Xl)+/Ul)—1—/X1)=/(X2—JC1)—1>0,

•••/(M)勺'(©),，/㈤是R上的增函数.(6分)

(2)由/(。+力=式")+/^)—1,得犬〃+加一犬")=/(b-I,

：.f(2t-1)-/(1+2)-1,(8分)

.-./(2r-l)-/(1+/)<2,即左-2)—1<2,

又/(2+2)=/(2)+九2)—1=5,

•V(2)=3,

•••/«-2)<3=/(2).(10分)

：/(x)是R上的增函数，

.,./-2<2,故不等式的解集为(-8,4).(12分)

［模板形成］

A组考点能力演练

1.（2015・吉林二模）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A.y=e-xB.y—x

C.>=lnxD.y=|.r|

解析：因为定义域是R,排除C,又是增函数，排除A、D,所以选B.

答案：B

2.（2015•河南信阳期末调研）下列四个函数：

①y=3-x；②y=4p

—x（xWO）,

③,二/十级一10；④y=<1

―;（x>0）.

其中值域为R的函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

—xawo),

解析:依题意，注意到y=3—x与函数1(〉o)的值域均是R,函数y=Spy

、x

的值域是(0,1],函数yuf+Zx-lOna+lA—11的值域是[-11,4-00),因此选B.

答案：B

3.若函数/(x)=—£+2ax与函数g(x)=M在区间口,2]上都是减函数，则实数。的取

值范围为()

A.(O,1)U(O,1)B.(O,1)U(O,1]

C.(0,1)D.(0,1J

解析：注意到f(x)=一(九一〃>+层；依题意得彳即0<aWl,故选D.

/z>0,

答案：D

/-4工+3,x<0,

,；.''则不等式式/—4)>穴30的解集为()

{—X--2x+3,x>0,

A.(2,6)B.(-1,4)

C.(1,4)D.(-3,5)

解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数/(x)在R上是单调递减\T

的.由/(〃一4)/3a),可得"一4<3。，整理得标一3“一4<0,即(〃+1)(“-4)<0,K

解得一l<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).