数列解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))

数列解答题

一、解答题

1.(浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题)已知等差数列｛©｝的

公差不为零，04=1,且04,%,S成等比数列，数列出“｝的前"项和为s"，满足S"=2瓦

-4("CN*).

(1)求数列｛%｝和｛M｝的通项公式；

(2)若数列｛以｝满足c]=M，以+尸以-?(“GN*),求使得成立的所有〃值.

2bn16

【答案】⑴a,,=n-3,儿=2叫(2)”的值为3,4.

【分析】

(1)根据已知条件求得d,由此求得应；先求得白，然后利用S“-S,i求得2.

(2)利用累加法，结合错位相减求和法求得c,,由此解不等式£,==>塔，求得

216

«的所有可能取值.

【详解】

(1)设等差数列｛%｝的公差为4(存0),由题意得。；=田。7,

即(1+02=1+3%整理得摩=",解得d=l,

所以〃〃=々4+(〃-4)d=n-3,

因为b]=S\=2b]-4,所以Z?i=4,

当n>2时，由bn=Sn-Sw-i,得bn=2brl-2bf,-1,B|Jblt=2ht,-1,

所以｛6｝是以4为首项,2为公比的等比数列,所以6二2"L

〃一3

(2)由Cn+l=Cn-U■，得Gi+1-Cn=-

一]一2—1〃一4

_

所以Cn=(CnCn-|)+(cn-I-C”-2)+…+(。2~Cl)+C]=~~(彳+...+2t)

、江十-2-1〃-4e1--2-1〃-4

设「尸齐+声+……+~r~'则亍+下+……

两式相减得

11

〃一41232w+,

H---+

2〃~T^~-211

1—

2

所以刀尸一31-于H—2，所以c，，=-g1-T，尸77号—2

〃一271—2

因为q,=3一>/-，所以(〃-2)(2:"-1)>0,

当”=1时,不满足题意;

当〃=2时,不满足题意;

当论3时，24"-1>0,解得把底4,

所以满足题意的所有n的值为3,4.

【点睛】

当4,一%一不是常数时，可利用累加法来求数列的通项公式.

2.(浙江省丽水、湖州、衢州三地市2021届高三下学期4月教学质量检测数学试题)

已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，若6=2,生+%是%与生的等差中项.数列

也｝的前〃项和为S,,且S“+当辿=2%-2.求证:

(1)数歹支为一包｝是等差数歹!J;

(2)—+—+•••+—<21--L

hb2bn【a,J

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)利用给定条件求出数列｛。“｝的公比可得4,再由前n项和的递推关系求出b,即可得

解；

(2)利用已成立的不等式放缩，再借助裂项求和即可得解.

【详解】

(1)由已知4+%=2(%+/)，得%-%-2生=0,

设数列｛《,｝的公比为4,则/-q-2=0,解得q=2或q=-l(舍去)，即得q=2"；

,n(n+l).n(n-l)2

由S.+-^~^=2a“-2,当叱2时，5„.|+-^-=2«„.,-2，

+l

两式相减得b„+n=2an-2*=2"-2"=2",

解得5=2"-〃，而"+1=20-2,即加=1满足上式，所以。=2"-〃,

故4-2=n,于是(4用-%)—(4-2)=1为定值，

因此数列｛%-4｝是等差数列；

(2)令%=2"T-〃("eN"),贝ijC“M-g=[2"-(〃+1)]-(2"i-")=2"*'-1>0,UP>c”,

W〃eN*,c,2q=0,即2向-〃20=(2"-2'"')-n>0^2"-n>T-',

1111-F=2(l-±)=2(l-±),

4人L+l+...+l<1+--1--r+…H----

b,.2"-n4bb.2222”T

2'4

所以'+'+…+工

b\bba

2nIn)

【点睛】

思路点睛：给出S"与小的递推关系，求小，常用思路是：一是利用S“+1-S“=a"转化为

。“的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S,的递推关系，先求出S,与〃之间的关

系，再求。

3.(浙江省嘉兴市2021届高三下学期4月教学测试数学试题)已知数列｛q｝的前,项

和为S“，公比为q(q>())的等比数列｛〃｝的前〃项和为并满足

2sqi+()=2*(〃eN"),且q=0,a2=-l,7；=7.

(I)求1与求;

(H)若不等式(4+1)+5,,+S“+1>()对任意的正整数"恒成立，求实数r的取值范围.

Q

【答案】(1)«„=-«+l,bn=2'-'：(II)/>-.

【分析】

(I)代入〃=1,计算伉=1,利用(求出4=2,求出7；代入条件可求出｛4｝的通项公

式；(H)代入S.,Z,化简可知即求，>［焉］,令%=吗，做差判断c“的单调性，求

V)max2

出最大值，即可得出f的范围.

【详解】

(I)在2s”“(l+7；)=2s”(〃eN*)中令a=］得：

2s11+7；)=25n2*-&0+7；)=］n2%(l+7；)=ln〃=1

£=4(l+q+q2)=7n<?=2,因此么=2"。7；=2"-1

S,,+I

2(1+4)=2‘"=>2"*'-2~"=an+l——n=>an——n+l(n>2)

4=0,也满足上式，.'.”“=-"+1.

粽，…T,代人可得—n(n-\\n(n+\]

——L一一——!->0,r1口rl">

22

图x/max

〃+l)2n2_-n2++1

令q.=恭令cn.「c.>0=>7?<2

2〃+i2〃2"+i

所以，时q,+i>c“；3时c“+|<c“

99

因此，（GnaxJ

oo

【点睛】

思路点睛：⑴因为2与“（1+北）=2*（〃€川），结合q，4，q,可代入具体值〃=1,然

后求出各个通项公式再代入计算.（2）证明数列的单调性，常用做差或做比的方法进行

计算.

4.（浙江省数海漫游2021届高三下学期第二次模拟考试数学试题）正实数列｛勺｝满足

4与，且对任意正整数“，a„+l=Vl+2a„-l.

（D证明:对任意正整数”，a„>an+li

（2）记5“为数列｛4｝的前〃项之和，若S3+2%=3,求品1+2%的值.

【答案】（1）详见解析；（2）3.

【分析】

（1）根据条件化简得见-《用>0,即可证明；（2）根据已知条件化简可得

<,=2（%一%」），结合条件化简可得+2a「3=0,同样的方法化筒可求九+24。的

值.

【详解】

（1）an>0,an+i=+2a“—1,•1.ci,,^>°,

(1+“)-(1+2%)

4-ae=%-(Jl+2all-1)=l+a“-Jl+2a.

]+4,+Jl+2。“

1+a”+Jl+2«„

van>0,:.an-a„+t>Q,即a”>4”；

(2)由a“+i=Jl+2a.T=>a,,”+1=Jl+2a“，两边平方，

则a*+2an+1+1=1+4na；”=2(a“-a„+l),

3=S3+=2%+q+药+d=a；+2(4—4)+2(w—%)+,

得。：+2q-3=0,解得4=1或q=-3,

421,^,=1,

Ro+240=ciy+a；+…+<7]Q+2〃]0=4~+2(4—6/2)+2(%—%)+…+2(〃9—4o)+24。

=，+2al=3

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据递推公式，推理证明，以及化简求值，本题第二问的关键是

由条件两边平方后得到q；7=2(4-4+J,运用这个式子，证明结论.

5.(浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题)设正项数

列｛《,｝前〃项和为S“，满足j4S,,+l=q,+l(〃wN'),等比数列出｝满足％=4,%=%.

(1)求数列｛%｝、也｝的通项公式；

(2)设也｝前〃项和为7.，记的=17'二(〃'N),证明：q+c?+…+c.>2-竽.

2，“十“〃乙

【答案】⑴a„=2n,勿=2"；(2)证明见解析.

【分析】

(1)对递推关系多递推一项可得4s“+1=(a“+l)2,4\.,+1=(«„_,+1)2,再将两式相减，

从而求得数列（«„｝的通项公式，再利用公式进一步求数列｛为｝的通项公式；

（2）由（|）得（,=2（2"-1）,再利用不等式的放缩法，结合错位相减，即可证明结论;

【详解】

解：（1）：J4s“+1=q+1,

.•.当〃=1时，J4$+1=4+1,4=2

当〃22,•••4号+1=（4+1）2虫，4S,I+1=（%T+1）2②

①-②得4（S“-S,i）=（。：+24+1）-+2a,z+1）

他,=a：+2""一”3-2a,.,•（a,2）=0

Va„>0,Aa„-a„-1-2=0,

•••｛4｝数列是首项为2公差为2的等差数列，；♦4=2〃

♦勿=。2=4,"="4=8,

公比4=3=2,：.b„=2".

b2

（2）由⑴得7；=2（2"-1）.

c-4_2〃〉2〃_〃

nH

二"lr+b（2-l）+22"+2"2"

2""

.123n-\n公

令A4=要+溟+百+…+'FT+?7③

EI1A123n-\it不

则5A丁牙+丁…+才广④

ZTXZQ1.1111〃1n[〃+2

③-④得J=-^—=--------j-----------------=1---------,

"2"”2〃+i

2

.c2+n

••c\+。2+…+c”>2--—•

【点睛】

本题考查数列的通项公式和前〃项和，求解时注意先进行放缩，再利用错位相减法求和,

进而证明不等式.

6.（浙江省绍兴市噪州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）设数列｛%｝

的前〃项和为S“,q=2,S向=25“+2,数列也｝满足:仇=1,%=f+如其中〃wN*.

（I）证明：数列｛《,｝是等比数列；

（ED记北="+其+…+片，证明：Sn-2Tn<2.

【答案】（I）证明见解析：（II）证明见解析.

【分析】

（I）当“22时，S“=2S,i+2,与已知条件结合，两个式子相减，证明数列｛4｝是等

比数列：（H）首先不等式转化为证明（22"-2,再结合数学归纳法证明.

【详解】

（I）•・$=25.+2,当心2时,S“=2S,i+2,两式相减得

an+i=2an,（n>2）,且S?=2$+2=24+2=6,即4+%=6,

:.a2=6-a.=4,R|J&=2,

a\

•・・数列｛%｝是公比为2的等比数列；

（n）s=g=2"+s

〃1-2

要证明斗-27；W2,即证明21-2-2北42,即7；；2“一2,

当〃=1时，工=b；=1,2'-2=0»此时工＞212成立,

假设〃=%时,等式成立,即422*-2,

那么”1"=&+1时，TM=b；+%+…+%+匕；+|22*+纥+1—2,

•・・々=1也+1=北+勿士公，

22?4428

:.b2=b;+b,=2,b}＞b；＞2,/?4＞/?;＞（2）=2,b5＞Z?；＞（2）=2,

……，瓦：,

设"=2*T_A,k＞2,4+「4=2*_（Z+l）_2i+&=2i_］＞0,

所以2*22%即4M22。

所以当〃=左+1时，I；”=6：+£+...+”+此|±2'+%-2z2卬-2成立,

综上可知当“21,”GN*时，不等式成立，

即5“-27；42.

【点睛】

关键点点睛：本题第二问的关键是不等式的转化，并结合数学归纳法证明，其中根据条

件推理可得＞2户＞2*是关键.

7.（浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期统测数学试题）在等比数列列“}

中，S“为其前〃项和，q=2,数列［竽］是等差数列.

（1）求知;

⑵若4⑶证明：3卡也+自+一^^（3（"。）

【答案】（1）。“=2或q=2"；（2）证明见解析.

【分析】

(1)设等比数列｛%｝的公比为,根据已知条件得出9+基空=空凸，可得

a｛%a2

出关于q的等式，求出4的值，即可得出数列｛%｝的通项公式；

(2)分析得出$g_〃)<矛=/2"_(〃+1)("23)，然后利用放缩法可证得所证不等

式成立.

【详解】

(1)设等比数列｛q｝的公比为4，

因为数列［鼠丑］是等差数列，.•.9+3=26+2),

即2+1/+"+2)=2R4+4),整理得d-34+2=。，解得4=1或4=2.

2q2q

n

当4=1时，a“=2；当q=2时,an=a］q'-'=2,

令c,=2"一〃，则q向一c“=(2用-〃-1)-(2f)=2一>0,

所以，数列｛c,,｝单调递增，则%2q=l>0,故对任意的〃wN*,2"-n>0.

"2"2"-1(3-”>2"-2

_n+-n+l+l<

二心3时，2„+i_22'-(n+l)(2-2)[2"-(n+1)]'

%2_______T-\_________l__________[

即S.(《,-〃)-(2,,+l-2)(2"-n)<p+'-e+l"*")―2"-n~2',+l-(«+l)-

=1<3：

当〃=1时，M^1)

当〃=2时，一/—r+-#----r=1+-=—<3.

inJ,

S,(«,-1)S2(a2-2)33'

当时’二（；-1）+邑2）+S?（出13）+…+S“（J〃）

<1+_!____1_+_!____L_+...+_>_____!_）___!_<3

323-324-424-425-52"-n2）,+'-（n+l）152"+l-（n+l）

综上所述,对任意的〃0.，肃可+肃可+[为+…+录f<3.

【点睛】

结论点睛：几种常见的数列放缩方法:

1111/、…

（）<（=

1n~[~n-----l7）\n~n----\.n

1111

/9\—>=-----------.

n2+nn+1*

144J11

n24n24/72-112〃-12〃+1

（4）9=谷vr2bg+五）（〃臼

-U=厂？{->—（=-2=2（->fn+J〃+l）

（5）

y]nn+7n〃++l'7

2&

=母（72n-l+J2”+1）

J2H—1+J2〃+1

2"2",2"_2"T11

（7）（2"-17一（2n-l）（2n-l）<（2"-l）（2n-2）一（2"-l）（2,,-'-l）-2"-1-1~2"-1

("22)；

11I222

2"-「（l+l）"_lC；+C：+C；—1-”（/1+1）一〃n+l:

111

（"22）.

⑼（2,,-l-l）（2n-l）-2"-l-l2"-\

8.(浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学试题)对任意非零数列｛q｝,

定义数列｛〃4)｝,其中｛/&)｝的通项公式为〃。,,)=1+，1+，…1+!

(I)若a“=n,求/(%);

（ID若数列｛叫，也｝满足｛4｝的前“项和为S,,,且〃4）=2M'叫，bn-a^=S„.求

4

证/电）<§.

【答案】（I）/（a“）=〃+l（〃eN*）；（II）证明见解析.

【分析】

（I）利用相乘相消法求出通项公式即可；

（II）由/（4）=2小）可求出q=-J-,利用1+（=*,由相乘相消法求出〃力），

根据4"-1>3x4-'进行放缩，即可证明出结论.

【详解】

、

(I)因为勺=〃,/(%)=1+一1+-I…I1+二,

I%

1W1〃+i

所以〃%)=1+—1+一…X----------=〃+1,

4人引423

故/(%)="+l(〃eN")；

(H)因为"4)=2"^),所以1+』=4,«,=-L,

44—1

又当“N2时，1+J=4"，a„=-^—,

所以对任意n£N*,4=

4J—1.

又由豆

111

----1------卜…H-------

于是f(2)=*=4T42-1——421^1

4-1

3

33x4w+,

由4"-123x4"T得/H-----------1----------+•••d-----------

3x43x423x4”

【点睛】

关键点点睛：根据所给条件求通项公式，相乘相消法是解题的关键，在证明不等式中,

恰当放缩4"-123X4"T是难点.

9.(浙江省宁波市2021届高三二模数学试题)设S“为等差数列｛4｝的前"项和，其中

(1)求常数2的值，并写出｛4｝的通项公式;

(2)设7.为数列的前〃项和，若对任意的都有以北-2归1,求实数〃

的取值范围.

【答案】(D4=3，a„=n.(2)[-6,-4].

【分析】

s

(1)由肃=24M可求得生，的，根据等差数列定义可求得公差&，结合/可求得义和为；

(2)由等比数列求和公式可求得进而得到7；的范围，解绝对值不等式可求得结果.

【详解】

(1)由4=1及鼠=2a”“(〃eN*)得：—=A«2=1,幺±&=彳%,

a“ata2

解得：4=；,”3=；+1，

又｛%｝为等差数列，，｛%｝的公差d=4一%=1，

c^—ciy=——1=1,解得：丸二;；=q=〃.

A,，

•.•|p7；,-2|<l,解得：14p7；43,

“3.i<•

<——,..----S----1-即.”<0,

-223

解得：-6<p<-4,即实数P的取值范围为[-6T].

10.（浙江省台州市高三下学期4月二模数学试题）已知数列｛七｝前〃项和为

5„,2S„=3%-2〃,〃eN”,数列｛勿｝是等差数列，4=%,2=%.

（1）求数列｛〃“｝,｛a｝的通项公式;

11

—,72=1

（2）设%="求证：仿+c?+…c”

-------,n>212

an-b„

【答案】（1）4=3加+2,我=2"；⑵证明见解析.

【分析】

（1）先利用。“=5,,-5,一求出仅“｝的通项公式，再用基本量代换求出也,｝的通项公式;

（2）先验证”=1,2时不等式成立，当〃22时，由3"-3"T=2・3"T>2”+1,证明

C"=3"」,LI〈击'可以得到q+6+…+£,<；+；+*■+最+…+击，即可证明・

【详解】

解：（1）2〃]=34-2,4=2,

时，J。“_]—

72>22S〃=3an—2n,2SM_=32(〃-1)

得%=3《i+2,

4+1=3（%+1）,

所以｛4+1｝是等比数列，6+1=3,4=3"-1,

等差数列｛2｝中，瓦=%=2,"=%=8,

所以公差d=2,b„=2n.

当〃=1时，

311

当"=2时，，。|+。2=彳<五,

当“22时，由3"—3"T=2-3"T>2〃+1,

得3"-2〃-l>3"T>0,

所以。二心才击，

廿…11111

当"23时，q+Cz+…++*+于+…+干

3

所以对于任意的。+。2+•••+&<£.

【点睛】

(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由5,求凡；④由递推公式

求通项公式；

(2)数列求和常用方法：

①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法.

11.（浙江省杭州市高三下学期4月二模数学试题）已知数列｛«,,｝,也｝,满足a„=2-2,

为I=4（%WN*），砥…%，%华成等差数列.

（1）证明：他｝是等比数列；

,、〃+2,、

（2）数列匕,｝满足c“=8〃（〃+I）3,_b,J'记数列£｝的前n项和为S“，求s”.

【答案】（1）证明见解析；（2）1-（口；）£

【分析】

（1）由已知得砥T=2=,根据等差中项的性质有砥=3-2"3,由等比数列的定义即可

证｛%｝是等比数列；

（2）由⑴得%-%i=2"T,写出匕｝通项，根据裂项相消法求S“.

【详解】

（1）证明：由数列｛“,,｝,｛4｝,满足4=27,瓦i=4（kGN*）,

.--2,由砥…%，%”成等差数列，则有％=3・2~,整理得9=2（常

%-2

数），

，数列｛砥｝:以1为首项，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知：电—%I=3-2-3—2"2=2"-3（〃eN*）,

•c=______________=_"2=岂竺1匚=_；_______｝_（“泊

•"8〃（〃+1）（%-%_Jn（n+l）-2n+n-2"~'（”+1b2八一''

.s=±__L+-L=J_+L+_^_______!=i1

..“202-212-213-22n-2"-1（«+1）­2"（«+1）-2"'

12.（浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟测试数学试题）已知数列a｝和抄“｝的

前"项和分别是S“，T„,其中q=3,an+l=an+2,27；=3"-1（〃eN*）.

(I)求与％的值;

(II)若%=(4'[1)”",对任意的“eNL均有q+Cz+L+c,；h2”-[,求实数人的

，14

取值范围.

【答案】(I)4=2〃+1,2=3"T(〃GN,)；(H)kg.

o

【分析】

(I)根据等差数列的通项公式可求出根据2〃=27；-2T„.,(n>2)可求出bn:

(II)利用裂项求和法求出9+。2+…+%，再将不等式G+ca+L+。“2加2"-；化为

图(4〃+5)然后构造函数[I)-〃+5)判断其单调

25+1)5+2)1)八町一2(〃+1)("+2)1)

性，根据单调性求出其最小值，即可得解.

【详解】

(I)a,=3,4+|-0“=2,%=3+(〃-l)x2=2〃+l,

V27],=3,,-1,，4=7；=V=1，

,1

当”22时，27],.|=3--1,

/.2a=27；—27；_1=3"-3"T=2x3,"',

：.b„^3n-'(n>2),

乂々=1适合上式，所以包=3"I"eN*).

(H)由(1)知S"="(3+；"+l)="5+2),

(4〃-1)X3"T

所以q,=

〃(〃+2)

(4%-l)x3j1(9__口X3〃T=][3〃”3—

+2(〃+2nJ2(〃+2n

••G+c[+,•,+c=—+―—+-^――—++・•.++―)

231425364n+\n-\〃+2n

、](3\3〃__3肃_3”(3।115=3〃(4〃+5)5

21〃+2〃+12)2[〃+2n+1)42(〃+1)(〃+2)4

所以由题意外

2(«+1)(/?+2)

记〃〃卜(I)N)

2(〃+1)(〃+2)

+2(〃+2，(〃+3)3(4〃+9)(〃+1)(8〃2++34〃+30)+(4“2+5〃-3)

则>1,

/(«)(|卜〃+5)2(4〃+5)(〃+3)8〃2+34〃+30

2("+1)(〃+2)

所以/(〃+1)>/(〃)>0,即/(〃)单调递增,

ao

故源5)"(1)=［，所以

O